浅析用轴对称知识求线段和的最小值

1、浅析用轴对称知识求线段和的最小值求线段和的最小值问题， 在初中数学中经常会遇到， 利用轴对称 知识可以比较简单的解决。 我们先通过一个非常典型的例题来推导一 个性质：一、性质推导例题：如图所示，在河岸L的一侧有两个村庄A、B，现要在河 岸L上修建一个供水站，问供水站应建在什么地方，才能到 A，B两 村庄的距离之和最短？首先，我们来推导一个轴对称的性质，如图，作 B 点关于 L 的 对称点Bi,在直线L上任意定一点M，连接B Bi，BM，B1M，根据 轴对称知识，我们可以求证 BM = BiM ,所以，我们可以得出这样的性质： 成轴对称的两个对应点到对称 轴上任意一点的距离相等。在该例题中，利用

2、这一性质，我们可得出：点 B 到河岸 L 上任 意点M的距离等于对称Bi到点M的距离。要使AM+ BiM最小，必须使A、M、Bi三点共线，也就是说，必须使点 M，与A Bi连线和L的交点N重合， 所以，河岸上的 N 点为到 A、 B 的距离之和最小的点。B证明：M为L上的任意点因为BM = BiM所以，BM+AM = BiM+AM，而 BiM+AM 大于 BiA,所以，结论成立二、应用1 :在图（1）中，若A到直线L的距离AC是3千米，B到直 线L的距离BD是1千米，并且CD的距离4千米，在直线L上找一 点P,使PA+PB的值最小。求这个最小值。解：作出AiB （作法如上图）过Ai点画直线L的

3、平行线与BD的延长线交于H，在 Rt AiBH 中，AiH=4 千米，BH=4 千米，用勾股定理求得AiB的长度为4池千米，即PA+PB的最小值为4,2千米。2、如图（1）,在直角坐标系XOY中，X轴上的动点M （x, 0）到定点P （5, 5）和到Q （2, 1）的距离分别为MP和MQ，那么当MP+MQ取最小值时，点M的横坐标x=P (5,5)(2,1) Q-1 O-1 -图（1）3214-1 O-1图（2）(2,1) Q56X1Q1P (5,5)解：如图（2），只要画出点Q关于x轴的对称点Q1（2, -1）， 连结PQ1交x轴于点M，则M点即为所求。点M的横坐标只要先 求出经过PQ1两点的

4、直线的解析式，（y=2x-5），令y=0，求得x=5/2 （也可以用勾股定理或相似三角形求出答案）。3、求函数yiX? 6x 1 +/ 6x 34的最小值。解：方法（I）2 2 2把原函数转化为y=x 3） 1 + （x 3） 5 ，因此可以理解为 在X轴上找一个点，使它到点（3, 1 ）和（-3, 5）的距离之和最小。（解法同上一题）。方法（H）如图（9）,分别以PM= （3-x）、AM=1为边和以 PN= （x+3）、BN=5为边构建使（3-x）和（x+3）在同一直线上的两个直角 PAM、 PNB,两条斜边的长就是PA= & 3）2 1和PB=/x 3）2肝，因 此，求y的最小值就是求PA

5、+PB的最小值，只要利用轴对称性质求 出BA1的长，就是y的最小值。（6 2）。A1图（9 ）三、拓展（一）三条线段的和最小的问题：如图3,已知甲、乙、丙三人做接力游戏，开始时，甲站在/ AOB 内的P点，乙站在0A边上，丙站在0B边上，游戏规则：甲将接力 棒传给乙，乙将接力棒传给丙，最后丙跑至终点P处。如果三人速度 相同，试作图求出乙丙站在何处，他们比赛所用时间最短。析解：三人的速度一定且相同，要使比赛时间最短，只需三人所走的路程最短，因此可以利用轴对称知识，作点P关于OA 0B的对称点P、P，连接PP，交0A于O，交0B于0，则点0和点0应分别是乙、丙的位置。这样连接 PO、PO 则三人行

6、的路程和为 P0 00 PO P0 00 P 0 PP。规律总结：轴对称在本题中的主要作用是将线段在保证长度不变的情况下改变位置，要注意体会轴对称在这方面的应用。（二）利用菱形的对称性，求线段和的最小值1、如图（5），在菱形 ABCD 中，AB=4a,E 在 BC 上，EC=2a,/ BAD=1200,点P在BD上，贝S PE+PC的最小值是（）(A)6a ,(B) 5aB(C) 4a ,(D) 2 3a 。解：如图（6）,因为菱形是轴对称图形，所以BC中点E关于对 角线BD的对称点E 一定落在AB的中点E1,只要连结CE1, CE1 即为PC+PE的最小值。这时三角形 CBE1是含有300角

7、的直角三角 形，PC+PE二CE1=23a。所以选（D）。2、已知在菱形 ABCD中，/ A=600 , AD=8 , M、N分别是AB ,BC边上的中点，P是对角线AC上一动点，求PM + PN的最小值。分析：因为动点P在菱形ABCD的对角线AC上，而CD边的中点G,是N关于对称轴AC的对应点所以，PG= PN,因此求PM + PN的最小值就转化为求PM + PG的最小值，连接 MG，在 PMG中，PM + PG的最小值就是 MG，即PM + PG MG （仅 当M、P、G三点共线时取得最小值）。A解：取CD的中点G,连接PGv AC是菱形ABCD的对角线:丄 PCG=Z PCN又CB =

8、CD, N是BC边的中点 二CN = CG又 PC= PC,.PCGA PCN 二 PG= PN连接MG o v .四边形AMGD为平行四边形MG = AD = 8在厶PMG中，（仅当P、M、G三点共线时取等号）即，故PM + PN的最小值为&（三）利用正方形的对称性，求线段和的最小值已知如图：正方形 ABCD勺边长是3,E点分边BC为2:1,P为对角线BD上一点，求PE+PC勺最小值.分析：要想求PE+PC勺最小值，关键是确定点P的位置，根据对称的知 识我们知道点P的位置应是，点C关于直线BD的对称点和点E连线 与BD的交点.解：因为四边形ABCD为正方形，所以点C关于BD的对称点为A,连

9、接AE交BD于P点，则此时PE+PC的最小值最小，最小值为：PE+PC=AE=13（四）利用等腰梯形的对称性，求线段和的最小值如图，在梯形 ABCDK AD/ BC AB= CD= AD= 1,Z B= 60，直 线MN为梯形ABCD勺对称轴，P为MN上一点，那么PC+ PD的最小值 为。MADPC分析：在梯形ABC中，因为AB= CD=AD,易知梯形ABCD是等腰 梯形，又直线MN是梯形ABCD勺对称轴，所以直线 MN是底边AD BC 的垂直平分线，连接PA由线段垂直平分线上任一点，到已知线段 两端的距离相等知，PA= PD所以求PO PD的最小值就转化为求PC + PA的最小值，即求AC的

10、长度即可。解：连接PAv AB= CD= AD= 1,二梯形ABCD是等腰梯形又直线MN是梯形ABCD勺对称轴 PA= PD过点A作AEL BC过点D作DF丄BC E、F为垂足，易证 ABEA DCF 二 BE= CF在 Rt ABE中，v/ B= 60, AB= 1在Rt ABC中，由勾股定理，得即PA+ PC的最小值为（当A P、C三点共线时取得最小值）也可这样求AC的值：过A点作CD的平行线，交BC于 G,贝卩BG= AB= 1,GC= AD= 1 BC= 2而角 BCA= DAC= DCA 角 BCA= 30,角 BAC= 90 度在三角形ABC中，可求得AC（五）利用圆的对称性，求线

11、段和的最小值已知如图,AB是OO的直径，AB=2cm,0CLAB,点D是弧AC的三等 分点,P是0C动点，求PA+PD勺最小值.A图（16）BB分析：圆是一个轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的 对称轴，圆上任意一点的关于直径所在直线的对称点都在圆上。解:作点D关于0(的对称点F,连接AF，此时PA+PD勺最小值为AF.因为AB是圆0的直径,0C丄AB则弧AC的度数为90,因为D是 弧AC的三等分点，所以弧AD的度数是60,弧DC的度数是30,因 为点D与点F关于OC的对称，所以且弧DC与弧CF相等，都为30, / AOF=120 作 OE!AF,则/ AOE=6b 在 Rt AOE中,

12、 AO= 1cm / AOE=60 贝卩 AE= AF=3。(六) 利用坐标系的对称性，求线段和的最小值如图，在直角坐标系中，有四个点A(-8 , 3)、B(-4 , 5)、C(0, n)、D (m 0),求四边形ABCC周长最短时的值分析：因为A、B是定点且长度不变，四边形 ABCD勺周长最短, 需使AD+CD+BC的值最小，由于 C D两点未知，所以本题关键是 找C D两点，可考虑用轴对称的方法将 BC、CD、AD这三条折线 拉直。解：分别作A点关于x轴、B点关于y轴的对称点A（-8，-3 ）、B（4，5），连接AQ分别交x轴、y轴于D C点。设直线A的解析式为y=kx+b，把x=-8，y

13、=-3 ； x=4, y=5分别代入得：-8k+b=-34k+b =5解得k和b值，得到AH的解析式为：3y=2x+7令x=0，求得y,得到C点令y = 0,求得x，得到D点由以上几例可以看出，当求线段和的最小值时，常常借助轴对称 将两条线段转化到一条直线上，再利用“两点之间线段最短”进行求 解。四、链接看这样一题：要在一条河上架一座桥（桥须与河岸垂直，两河岸 平行），请提供一种设计方案，使从 A地到B地的路径最短，请说明 理由。AB请思考：1、这题为什么不能用轴对称知识解决？（认真理解我推 导出的性质就可明白）2、如何用平移知识解决此题？3、类似我推导出的轴对称性质，平移的知识能否推导出类似

14、的 性质？五、练习1、（2002湖北黄岗竞赛题）如图（10）, / AOB=45角内有一点 P, PO=10在角两边上有两点 Q R （均不同于点C）,则厶PQR的 周长最小值是。AQP10OR图（10 ）提示：画点P关于OA的对称点Pi,点P关于0B的对称点P2,T / AOB=450, a AP1OP2是等腰直角三角形，PiP2=1O 2。又问：当 PQF周长最小时，/ QPR的度数二。（答案：90）2、已知点A （-2, 1）,点B （3, 4）。在X轴上求一点P,使得PA+PB的值最小。这个最小值是 。（同例2）3、（北京市竞赛题）如图（11）,在矩形ABCD中，AB=20 cm, BC=10 cm,若在 AC、AB上各取一点 M、N，使BM+MN 的值最小，求这个最小值图（11）提示：要使BM+MN的值最小，应设法把折线 BM+MN拉直， 从而想到用轴对称性质来做。画出点 B关于直线AC的对称点Bi， 则BiN的长就是最小值；又因为N也是动点，所以，当BiN丄AB时这个值最小，利用 勾股定理和三角形面积公式可以求得这