2017年北京市东城区高考数学一模试卷(理科)

1、2017 年北京市东城区高考数学一模试卷（理科）一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选 出符合题目要求的一项1（5 分）设集合 a=x|（x+1）（x2）0，集合 b=x|1x3 ，则 ab= （ ）ax|1x3 bx|1x1 cx|1x2 dx|2x32（5 分）已知命题，则p 是（ ）abcd3（5分）已知圆的参数方程为 的距离为（ ）（ 为参数），则圆心到直线 y=x+3a1 bc2 d4（5 分）已知 m 是直线， 是两个互相垂直的平面，则“m”是“m”的 （ ）a充分而不必要条件 b必要而不充分条件c充分必要条件d既不充分也不必要条件5 （5

2、 分）已知向量 ， 满足 2 + =0， =2，则（3 + ）（ ）=（ ） a1 b3 c4 d56 （5 分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）第 1 页（共 22 页）nn3 2 46abc1d7（5 分）将函数函数 y=f（x）图象在区间的图象向左平移 m（m0）个单位长度，得到上单调递减，则 m 的最小值为（ ）abcd8（5 分）甲抛掷均匀硬币 2017 次，乙抛掷均匀硬币 2016 次，下列四个随机事 件的概率是 0.5 的是（ ）1 甲抛出正面次数比乙抛出正面次数多；2 甲抛出反面次数比乙抛出正面次数少；3 甲抛出反面次数比甲抛出正面次数多；4 乙抛出正面次数与

3、乙抛出反面次数一样多abcd二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 9（5 分）已知复数 z 满足 z（1+i）=2，则|z|=10（5 分）在的展开式中，常数项为 （用数字作答）11（5分）已知a 为等差数列，s 为其前 n 项和若 s =12 ，a +a =4，则 s =12（5 分）天干地支纪年法，源于中国中国自古便有十天干与十二地支十 天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、 卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥天干地支纪年法是按顺序以一个天干和 一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起， 比如第一年为 “

4、甲子 ” ，第二年为 “ 乙丑 ” ，第三年为 “ 丙寅 ”，以此类推排列 到“癸酉 ”后，天干回到 “ 甲”重新开始，即 “ 甲戌 ” ，“ 乙亥 ”，之后地支回到 “ 子”重 新开始，即“丙子”，以此类推已知 2017 年为丁酉年，那么到新中国成立100 年时，即 2049 年为年13（5分）双曲线的渐近线为等边三角形 oab 的边 oa，ob 所在直线，直线 ab 过双曲线的焦点，且|ab|=2，则 a=第 2 页（共 22 页）2 214（5 分）已知函数和则 g（2x）=；若 m，nz，且 mg（nx）g（x）=f （x），则 m+n=三、解答题共 6 小题，共 80 分解答应写出文

5、字说明，演算步骤或证明过程15（13 分）在abc 中，（）若 c =5a +ab ，求 ；（）求 sinasinb 的最大值16（13 分）近年来共享单车在我国主要城市发展迅速目前市场上有多种类型 的共享单车，有关部门对其中三种共享单车方式（m 方式、y 方式、f 方式）进 行统计（统计对象年龄在 15 55 岁），相关数据如表 1，表 2 所示三种共享单车方式人群年龄比例（表 1）方式m y f方式方式方式年龄分组15，25） 25，35） 35，45） 45，5525%50%20%5%20%55%20%a%35%25%20%20%不同性别选择共享单车种类情况统计（表 2）性别使用单车 种

6、类数（种）123男20%35%45%女50%40%10%第 3 页（共 22 页）（）根据表 1 估算出使用 y 共享单车方式人群的平均年龄；（）若从统计对象中随机选取男女各一人，试估计男性使用共享单车种类数大 于女性使用共享单车种类数的概率；（）现有一个年龄在 2535 岁之间的共享单车用户，那么他使用 y 方式出行 的概率最大，使用 f 方式出行的概率最小，试问此结论是否正确？（只需写出结 论）17（14 分）如图，在三棱锥 pabc 中，平面 pab平面 abc，apbp，ac bc，pab=60，abc=45，d 是 ab 中点，e，f 分别为 pd ，pc 的中点（）求证：ae平面

7、pcd ；（）求二面角 bpac 的余弦值；（）在棱 pb 上是否存在点 m ，使得 cm平面 aef？若存在，求 不存在，说明理由的值；若18（13 分）已知函数 f（x）=2lnx+ mx（mr）（）当 m=1 时，求曲线 y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程； （）若 f（x）在（0，+）上为单调递减，求 m 的取值范围；（）设 0ab，求证：19（14 分）已知椭圆经过点 ，且离心率为 （）求椭圆 c 的方程；（）设 a，b 是椭圆 c 的左，右顶点，p 为椭圆上异于 a，b 的一点，以原点 o 为端点分别作与直线 ap 和 bp 平行的射线，交椭圆 c 于 m，n 两点，求证：

8、 omn 的面积为定值第 4 页（共 22 页）1 2n i1 2n1 2n+1 22mii 11 2m20（13 分）已知集合 a=a ，a ，a ，a r，i=1，2，n，并且 n2 定义（例如 ：）（）若 a=1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，m= 1，2，3，4，5，集合 a 的子集 n 满足：nm，且 t（m）=t（n），求出一个符合条件的 n；（）对于任意给定的常数 c 以及给定的集合 a=a ，a ，a ，求证：存在 集合 b=b ，b ，b ，使得 t（b）=t（a），且 （）已知集合 a=a ，a ，a 满足：a a ，i=1，2，2m1，m2， a =a，a =b

9、，其中 a，br 为给定的常数，求 t（a）的取值范围第 5 页（共 22 页）2017 年北京市东城区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选 出符合题目要求的一项1（5 分）设集合 a=x|（x+1）（x2）0，集合 b=x|1x3 ，则 ab= （ ）ax|1x3 bx|1x1 cx|1x2 dx|2x3【分析】求解不等式得出集合 a=x|1x2，根据集合的并集可求解答案【解答】解：集合 a=x|（x+1）（x2）0，集合 b=x|1x3， 集合 a=x|1x2，ab=x|1x3，故选：a【点评】本题考查了

10、二次不等式的求解，集合的运算，属于容易题2（5 分）已知命题，则p 是（ ）abcd【分析】利用全称命题的否定是特称命题，可以求出p【解答】解：因为命题 p 是全称命题，所以利用全称命题的否定是特称命题可得： p故选：c【点评】本题主要考查了含有量词的命题的否定，要求掌握含有量词的命题的否 定的两种形式，全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题3（5分）已知圆的参数方程为 （为参数），则圆心到直线 y=x+3第 6 页（共 22 页）2的距离为（ ）a1 bc2 d【分析】参数方程化为普通方程，即可求出圆心到直线 y=x+3 的距离【解答】解：圆的参数方程为（ 为参数），普通方程为（

11、x+1）2+y =2，圆心到直线 y=x+3 的距离为 d=，故选：b【点评】本题考查参数方程化为普通方程，考查点到直线距离公式的运用，属于 基础题4（5 分）已知 m 是直线， 是两个互相垂直的平面，则“m”是“m”的 （ ）a充分而不必要条件 b必要而不充分条件c充分必要条件d既不充分也不必要条件【分析】由 m， m 或 m 即可判断出结论【解答】解：由 m， m 或 m “m” 是“m”的既不充分也不必要条件条件故选：d【点评】本题考查了空间位置关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计 算能力，属于基础题5（5 分）已知向量 ， 满足 2 + =0， =2，则（3 + ）（ ）=（

12、） a1 b3 c4 d5【分析】根据 2 + = 得出 =2 ，根据 =2 得出 （ ）的值【解答】解：向量 ， 满足 2 + = ， =2 ；第 7 页（共 22 页）=1；再计算（3 + ）又 =2，2 =2，解得=1；（3 + ）（ ）=（3 2 ）（ +2 ）=3=3故选：b【点评】本题考查了平面向量的线性运算与数量积运算问题，是基础题6（5 分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）abc1 d【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以侧视图中右下角的三角形为 底面的三棱锥，代入棱锥体积公式，可得答案【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以侧视图中右下角的

13、三角 形为底面的三棱锥，其底面面积 s= 22=2，高 h=2 ，故棱锥的体积 v= ，故选：d【点评】本题考查的知识点是棱柱的体积和表面积，棱锥的体积和表面积，简单 几何体的三视图，难度中档7（5 分）将函数函数 y=f（x）图象在区间的图象向左平移 m（m0）个单位长度，得到上单调递减，则 m 的最小值为（ ）第 8 页（共 22 页）abcd【分析】由题意利用函数 y=asin（x+）的图象变换规律，正弦函数的单调性，可得 ，kz，由此求得 m 的最小值【解答】解：将函数得 y=sin（2x+2m+ ）的图象；的图象向左平移 m（m0）个单位长度，可再根据得到函数 y=f（x）=sin（

14、2x+2m+ ）在区间上单调递减， ，kz ，求得 m=k + ，则 m 的最小值为 ，故选：c【点评】 本题主要考查函数 y=asin（x+ ）的图象变换规律，正弦函数的单调 性，属于基础题8（5 分）甲抛掷均匀硬币 2017 次，乙抛掷均匀硬币 2016 次，下列四个随机事 件的概率是 0.5 的是（ ）1 甲抛出正面次数比乙抛出正面次数多；2 甲抛出反面次数比乙抛出正面次数少；3 甲抛出反面次数比甲抛出正面次数多；4 乙抛出正面次数与乙抛出反面次数一样多abcd【分析】甲抛掷均匀硬币 2017 次，乙抛掷均匀硬币 2016 次，每次抛掷时出现正 面的概率都是 0.5，出现反面的概率也都是

15、 0.5，由此能求出结果【解答】解：根据题意，甲抛掷均匀硬币 2017 次，乙抛掷均匀硬币 2016 次， 每次抛掷时出现正面的概率都是 0.5，出现反面的概率也都是 0.5，在中，甲比乙多抛掷一次硬币，甲抛出正面次数比乙抛出正面次数多的概 率为 0.5，故正确；在中，甲比乙多抛掷一次硬币，甲抛出反面次数比乙抛出正面次数少的概第 9 页（共 22 页）r 10 5rr 1率不是 0.5，故错误；在中，甲抛掷均匀硬币 2017 次，甲抛出反面次数比甲抛出正面次数多的 概率是 0.5，故正确；在中，乙抛掷均匀硬币 2016 次，乙抛出正面次数与乙抛出反面次数一样多的概率为，故错误故选：b【点评】本

16、题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意概率的 意义的合理运用二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分9（5 分）已知复数 z 满足 z（1+i）=2，则|z|=【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的公 式求解【解答】解：z（1+i）=2，则|z|=故答案为：【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础的计算 题10（5 分）在的展开式中，常数项为40 （用数字作答）【分析】在展开式的通项公式中，令 x 的幂指数等于零，求出 r 的值，即可求出展开式的常数项 【解答】解：由于展开式的通项公式为 t = 2 x ，+令

17、105r=0，解得 r=2，故展开式的常数项是 40， 故答案为 40第 10 页（共 22 页）nn32 46n32 41116【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中 某项的系数，属于中档题11（5 分）已知a 为等差数列，s 为其前 n 项和若 s =12，a +a =4，则 s =6【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出 【解答】解：设等差数列a 的公差为 d，s =12 ，a +a =4， 3a +3d=12 ，2a +4d=4，解得 a =6，d= 2则 s =（2）=6故答案为：6【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能

18、力与计算能 力，属于中档题12（5 分）天干地支纪年法，源于中国中国自古便有十天干与十二地支十 天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、 卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥天干地支纪年法是按顺序以一个天干和 一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起， 比如第一年为 “ 甲子 ” ，第二年为 “ 乙丑 ” ，第三年为 “ 丙寅 ”，以此类推排列 到“癸酉 ”后，天干回到 “ 甲”重新开始，即 “ 甲戌 ” ，“ 乙亥 ”，之后地支回到 “ 子”重 新开始，即“丙子”，以此类推已知 2017 年为丁酉年，那么到新中国成立100 年时

19、，即 2049 年为 己巳年【分析】由题意可得数列天干是以 10 为等差的等差数列，地支是以 12 为公差的 等差数列，以 2017 年的天干和地支分别为首项，即可求出答案【解答】解：天干是以 10 为构成的等差数列，地支是以 12 为公差的等差数列， 从 2017 年到 2049 年经过 32 年，且 2017 年为丁酉年，以 2017 年的天干和地支 分别为首项，则 3210=2 余 2，则 2049 的天干为己，3212=2 余 8，则 2049 的地支为巳，故答案为：己巳第 11 页（共 22 页）【点评】本题考查了等差数列在实际生活中的应用，属于中档题13（5分）双曲线的渐近线为等边

20、三角形 oab 的边 oa，ob 所在直线，直线 ab 过双曲线的焦点，且|ab|=2，则 a=【分析】由等边三角形和双曲线的对称性，可得，oaf=30，再由渐近线方程， 可得 b= a，再由 a，b，c 的关系和 c 的值，即可计算得到 a【解答】解：由于oab（o 为坐标原点）是等边三角形，则由对称可得，aof=30，双曲线的渐近线方程为 y= x，即有 tan30= ，即 b=a，又 c= a=，则 a= 故答案为： 【点评】本题考查双曲线方程和性质，考查双曲线的渐近线方程和离心率的求法， 属于基础题14（5 分）已知函数和则 g（2x）=；若 m，nz，且 mg（nx）g（x）=f （

21、x），则 m+n= 4【分析】依次令 02x1，2x0 或 2x1 得出 g（2x）的分段区间，再得出 g （2x）；令 x=0，可求出 m，求出 f（x）+g（x）的解析式，根据 2g（nx）=f（x） +g（x）得出关于 n 的不等式组，求出 n 即可得出 m+n 的值第 12 页（共 22 页）2 22 2 22 2【解答】解：令 02x1 得 0x ，令 2x0 或 2x1 得 x0 或 x，g（2x）=令 x=0 得，mg（0）g（0）=f （0），即 m1=1， m=2，2g（nx）=f（x）+g（x）=， ，n=2 m+n=4 故答案为 g（2x）=；4【点评】本题考查了分段函数

22、的意义，函数值的计算，属于中档题三、解答题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15（13 分）在abc 中，（）若 c =5a +ab ，求 ；（）求 sinasinb 的最大值【分析】（）根据题意，结合余弦定理可得 5a +ab=a +b +ab，变形可得 b =4a ， 即 b=2a ，由正弦定理分析可得答案；（）根据题意， ，可得 b=a，将 sinasinb 变形可得 sinasinb= ，结合 a 的范围，分析可得 围，即可得答案第 13 页（共 22 页） 即 sinasinb 的范2 2 22 22 22 2 22【解答】解：（）由余弦定理可得：c =

23、a +b 2abcosc=a +b +ab ， 又由 c =5a +ab，则有 5a +ab=a +b +ab，变形可得 b2=4a2，即 b=2a，则= =2；（）根据题意，则 a+b=，即 b=a，sinasinb=sinasin（= sinacosa sin a= ，=a）=sina cosa sina又由 a+b=则 2a+，则 0a ，进而有 0 ，即 0sinasinb ，故 sinasinb 的最大值为 【点评】本题正弦、余弦定理的综合运用，涉及三角函数的恒等变换，关键是依 据余弦定理，发现 a、b 的关系16（13 分）近年来共享单车在我国主要城市发展迅速目前市场上有多种类型

24、的共享单车，有关部门对其中三种共享单车方式（m 方式、y 方式、f 方式）进 行统计（统计对象年龄在 15 55 岁），相关数据如表 1，表 2 所示三种共享单车方式人群年龄比例（表 1）方式m y f方式方式方式年龄分组15，25） 25，35）25%50%20%55%35%25%第 14 页（共 22 页）35，45） 45，5520%5%20%a%20%20%不同性别选择共享单车种类情况统计（表 2）性别使用单车 种类数（种）123男20%35%45%女50%40%10%（）根据表 1 估算出使用 y 共享单车方式人群的平均年龄；（）若从统计对象中随机选取男女各一人，试估计男性使用共享单

25、车种类数大 于女性使用共享单车种类数的概率；（）现有一个年龄在 2535 岁之间的共享单车用户，那么他使用 y 方式出行 的概率最大，使用 f 方式出行的概率最小，试问此结论是否正确？（只需写出结 论）【分析】（）由题意，a%=10.20.55 0.2=0.05 ，求出 a，利用组中值估算出 使用 y 共享单车方式人群的平均年龄；（）若从统计对象中随机选取男女各一人，分类讨论，即可估计男性使用共享 单车种类数大于女性使用共享单车种类数的概率；（）用 y 方式出行与使用 f 方式出行没有关系【解答】解：（）由题意，a%=10.20.550.2=0.05 ，a=5， 使 用 y 共 享 单 车 方

26、 式 人 群 的 平 均 年 龄 =+ +=31 ；（）记男性使用共享单车种类数大于女性使用共享单车种类数为事件 m，则 男性使用 2 种，女性使用 1 种的概率=0.35 0.5=0.175，男性使用 3 种，女性使用 1 种的概率=0.45 0.5=0.225，男性使用 3 种，女性使用 2 种的概率=0.45 0.4=0.18 ，p（m ）=0.175 +0.225+0.18=0.58 ；（）不正确第 15 页（共 22 页）【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查概率的计算，考查学生分析 解决问题的能力，属于中档题17（14 分）如图，在三棱锥 pabc 中，平面 pab平面 a

27、bc，apbp，ac bc，pab=60，abc=45，d 是 ab 中点，e，f 分别为 pd ，pc 的中点（）求证：ae平面 pcd ；（）求二面角 bpac 的余弦值；（）在棱 pb 上是否存在点 m ，使得 cm平面 aef？若存在，求 不存在，说明理由的值；若【分析】（）推导出 pd=ad，从而pad 是等边三角形，进而 aepd，再求出 cdab，从而 cd平面 pab，进而 cdae，由此能证明 ae平面 pcd （）以 a 为原点，作 axdc，以 ab 所在直线为 y 轴，建立空间直角坐标系， 利用向量法能求出二面角 bpac 的余弦值（）在平面 abp 中，延长 ae 交

28、 bp 为 g，取 bg 中点 m，推导出 g 为 pm 中点，此时，= 从而 dm 平面 aef，推导出面 cdm 面 aef，从而得到 cm面aef【解答】证明：（）ap bp，d 是 ab 中点， pd=ad，又pab=60，pad 是等边三角形，又 e 为 pd 的中点，aepd ，acbc，abc=45 ，又 d 是 ab 的中点，cdab，平面 pab平面 abc，又平面 pab平面 abc=ab，第 16 页（共 22 页）cd平面 pab，ae 平面 pab，cdae，又 cdpd=d，ae平面 pcd解：（）以 a 为原点，作 axdc，以 ab 所在直线为 y 轴，建立空间

29、直角坐标 系，设 ab=2a，则 a（0，0，0），b（0，2a，0），c（a，a，0），d（0，a，0），p（0， ），cd平面 pab，平面 pab 的一个法向量为=（a，0，0），设平面 pac 的一个法向量为 =（x，y，z），则 ，令 x=1，得 =（1，1， ），设二面角 bpac 的平面角为 ，由图知，二面角 bpac 为锐角，cos= = =，二面角 bpac 的余弦值为 （）pb 上存在 m ，使得 cm平面 aef，此时证明：在平面 abp 中，延长 ae 交 bp 为 g， 取 bg 中点 m，m 为 bg 中点，d 为 ab 中点， dm ag，又 e 为 pd 中点，

30、g 为 pm 中点，此时，= ，dm ae，dm 面 aef，ae 面 aef，dm 平面 aef，e，f 分别是 pd ，pc 的中点，cdef，cd面 aef，ef 平面 aef，cd平面 aef，cddm=d ，cd 面 cdm ，dm 面 cdm， 面 cdm面 aef，cm 面 cdm ，cm面 aef第 17 页（共 22 页）maxmax【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查线满足线 面平行的点的确定与求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查转化化归思 想，是中档题18（13 分）已知函数 f（x）=2lnx+ mx（mr）（）当 m=1 时，求曲线 y

31、=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（）若 f（x）在（0，+）上为单调递减，求 m 的取值范围；（）设 0ab，求证： 【分析】（）求出函数的导数，计算 f（1），f（1）的值，求出切线方程即可；（）求出函数的导数，问题转化为 m 在 x（0，+）恒成立，令 g（x）= ，（x0），根据函数的单调性求出 m 的范围即可；（）取 m=1 ，根据函数的单调性得到 f（）f（1），即 2ln+ 0，从而证明结论即可【解答】解：（）m=1 时，f（x）=2lnx+ +x，f（x）= +1，f（1）=2，f（1）=2， 故切线方程是：y2=2 （x1），即 2xy=0；（）f（x）= m0 在

32、x（0，+）恒成立，即 m 在 x（0，+）恒成立，令 g（x）= ，（x0），mg（x） ，g（x）= +1，当 =1 时，g（x） =1，第 18 页（共 22 页）0 01 12 21 12 21212故 m1；（）证明：由（）m=1 时，f（x）=2lnx+ x 在 x（0，+）上递减，0ab，1，f（）f（1），2ln+ 0，lnb lna，即【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及不等式的证 明，是一道中档题19（14 分）已知椭圆经过点 ，且离心率为 （）求椭圆 c 的方程；（）设 a，b 是椭圆 c 的左，右顶点，p 为椭圆上异于 a，b 的一点，以原点 o

33、 为端点分别作与直线 ap 和 bp 平行的射线，交椭圆 c 于 m，n 两点，求证： omn 的面积为定值【分析】（）由椭圆经过点，且离心率为 ，列出方程给求出 a，b，由此能求出椭圆 c 的方程（）设 p（x ，y ），m（x ，y ），n（x ，y ），当 m（x ，y ），n（x ，y ）在x 轴同侧，不妨设 x 0，x 0，y 0，y 0，推导出 ， ，且 ，过 m ，n作 x 轴的垂线，垂足分别为 m，n，= ，由 ，得 ，第 19 页（共 22 页）1 12 20 01 12 21 12 21212由此求出 当 m（x ，y ），n（x ，y ）在 x 轴异侧，同理得，由此能证明omn 的面积为定值【解答】解：（）椭圆，经过点，且离心率为 ，解得 a=2 ，b=，椭圆 c 的方程为 证明：（）设 p（x ，y ），m（x ，y ），n（x ，y ），m（x ，y ），n（x ，y ）在 x 轴同侧，不妨设 x 0，x 0，y 0，y 0，射线 om 的方程为 y=，射线 on 的方程为 y=， ， ，且 ，过 m，n 作 x 轴的垂线，垂足分别为 m，n，= = = ，由 ，得 ，第 20