数学研讨 专题三导数及其应用第八讲导数的综合应用

1、p( 1, )()专题三 导数及其应用第八讲 导数的综合应用2019 年1（2019 天津理 8）已知 a r ，设函数 f ( x ) =x2 -2 ax +2 a, x 1, x -a ln x, x 1,若关于 x 的不等式f ( x )0在 r上恒成立，则 a的取值范围为a.0,1b.0,2c.0,ed.1,e2.（2019 全国理 20）已知函数f ( x ) =2 x3-ax2+b.（1）讨论f ( x )的单调性；（2）是否存在a , b，使得f ( x )在区间0,1的最小值为 -1且最大值为 1？若存在，求出 a , b 的所有值；若不存在，说明理由.3.（2019 浙江 2

2、2）已知实数 a 0 ，设函数 f ( x)= a ln x +x +1, x 0.（1）当a =-34时，求函数f ( x )的单调区间；（2）对任意 x 1e2, +)均有xf ( x ) , 2a求 a的取值范围.注：e=2.71828为自然对数的底数.4.（2019 全国理 20）已知函数f ( x ) =sin x -ln(1+x )，f (x)为f ( x )的导数证明：（1）f(x)在区间 -2存在唯一极大值点；（2）f ( x )有且仅有 2 个零点5.（2019 全国理 20）已知函数 f x =ln x -x +1x -1.（1）讨论 f(x)的单调性，并证明 f(x)有且

3、仅有两个零点；（2）设 x 0是 f(x)的一个零点，证明曲线 y=lnx在点 a(x ，ln x 0 0)处的切线也是曲线y =ex的切线.( ) e cos , n6.（2019 江苏 19）设函数 f ( x ) =( x -a )( x -b )( x -c ), a , b, c r、 f ( x ) 为 f（x）的导函数（1） 若 a=b=c，f（4）=8，求 a 的值；（2） 若 ab，b=c，且 f（x）和 f ( x) 的零点均在集合 -3,1,3 中，求 f（x）的极小值；（3）若 a =0,0 b 1, c =1 ，且 f（x）的极大值为 m，求证:m4277.（2019

4、 北京理 19）已知函数1 f ( x ) = x43-x2+x .（）求曲线 y = f ( x)的斜率为 1 的切线方程；（）当 x -2,4时，求证：x -6 f (x)x.(iii)设 f ( x ) = f (x)-x+a(ar )，记f ( x )在区间 -2,4上的最大值为 m (a)，当 m (a)最小时，求 a 的值.8.（2019 天津理 20）设函数 f x = x xg ( x) 为 f (x)的导函数.（）求f (x)的单调区间；（）当 x ,4 2 时，证明 f ( x) +g ( x ) -x 02 ；（）设 xn为函数u( x ) = f ( x) -1在区间

5、2m + , 2m +4 2内的零点，其中 n n ，证明 e -2np 2 np + -x 0时，xf ( x ) - f ( x ) 0 成立的x的取值范围是a(-,-1)(0,1)b(-1,0)(1,+)c(-,-1)(-1,0)d(0,1)(1,+)6（2015 新课标）设函数 f x =e x x - -ax +a，其中a 1，若存在唯一的整数x0，使得 f ( x ) ln x -ln x b e 2 -ex x x x的是c y =1 1 1 x -x d y = x + x4 4 22-2 x9（2014 新课标）设函数 f x =3 sinp xm若存在f (x)的极值点x0

6、满足x02+f (x)m2 0，则m的取值范围是a(-,-6)(6,+)b(-,-4)(4,+)c(-,-2)(2,+)d(-,-1)(1,+)10（2014 陕西）如图，某飞行器在 4 千米高空水平飞行，从距着陆点 a 的水平距离 10 千米处下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分，则函数的解析式为y2ay =5o-5a-2地面跑道1 3 2 4x - x b y = x - x 125 5 125 5x3 3 1 c y = x -x d y =- x + x125 125 511（2014 辽宁）当x -2,1时，不等式 ax3-x2+4 x +3 0恒成立，则实数 a 的取值范

7、围是a-5, -3b9 -6, - 8c-6, -2d-4, -312（2014 湖南）若 0 x x 11 2，则a ex x x x2 1 12 1x e 2 d x e 1 0 ， b 0 ，且函数 f ( x) =4 x3 -ax 2-2bx +2 在 x =1 处有极值，则 ab 的最大值等于a2 b3 c6 d9() (， g ( x ) =x12a20（2011 浙江）设函数 f x =ax 2 +bx +c a, b, c r)，若x =-1为函数f (x)ex的一个极值点，则下列图象不可能为y = f (x)的图象是a b c d21（2011 湖南）设直线x =t与函数 f

8、 ( x) =x2，g ( x) =ln x的图像分别交于点m , n，则当 mn 达到最小时 t 的值为a1 b12c52d22二、填空题22（2015 安徽）设 x3+ax +b =0 ，其中 a , b 均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是 （写出所有正确条件的编号）a =-3,b =-3；a =-3,b =2；a =-3,b 2；a =0, b =2；a =1,b =223（2015 四川）已知函数 f ( x ) =2x 2+ax （其中 a r ）对于不相等的实数f ( x ) -f ( x )x , x ，设 m = 1 2x -x1 2，n =g ( x ) -

9、g ( x ) 1 2x -x1 2，现有如下命题：对于任意不相等的实数 x , x ，都有 m 0 ；1 2对于任意的 及任意不相等的实数 x , x ，都有 n 0 ；1 2对于任意的a，存在不相等的实数 x , x12，使得m =n；对于任意的a，存在不相等的实数 x , x ，使得 m =-n1 2其中的真命题有 （写出所有真命题的序号）24（2015 江苏）已知函数f ( x ) =|ln x |， g ( x) =| x0,0 1，则方程( )| f ( x ) +g ( x) |=1实根的个数为 25（2011 广东）函数 f ( x) =x3 -3 x 2+1在x=_处取得极小

10、值三、解答题26(2018 全国卷)已知函数f ( x )(1)讨论的单调性；f ( x) =1x-x +a ln x(2)若f ( x )存在两个极值点 x , x1 2，证明：f ( x ) -f ( x )1 2 a -2 x -x1 227(2018 全国卷)已知函数 f ( x ) =ex-ax2(1)若a =1，证明：当x 0时，f ( x) 1；(2)若f ( x) 在 (0, +)只有一个零点，求a28(2018 全国卷)已知函数 f ( x) =(2 +x +ax2)ln(1 +x ) -2 x(1)若a =0，证明：当-1x 0时，f ( x) 0时，f ( x ) 0；(

11、2)若x =0是f ( x )的极大值点，求a29(2018北京)设函数 f ( x) = ax 2 -(4 a +1) x +4 a +3e x(1)若曲线y = f ( x )在点(1, f (1)处的切线与x轴平行，求a；(2)若f ( x )在x =2处取得极小值，求a的取值范围30(2018 天津)已知函数 f x =ax，g ( x ) =log xa，其中a 1(1)求函数h( x ) = f ( x) -x ln a的单调区间；(2) 若曲线y = f ( x )在点 ( x , f ( x ) 1 1处的切线与曲线y =g ( x )在点( x , g ( x ) 2 2处的

12、切线平行，证明 x +g ( x ) =-1 22ln ln aln a；(3)证明当 a e1e时，存在直线l，使l是曲线y = f ( x )的切线，也是曲线y =g ( x )的切线31 (2018 江苏 ) 记f(x), g(x)分别为函数f ( x ), g ( x )的导函数若存在 x r0，满足1m n1( ) ( 2 1)f ( x ) =g ( x ) 0 0且f(x ) =g 0(x )0，则称x0为函数f ( x )与g ( x)的一个“s点”(1)证明：函数f ( x ) =x与 g ( x ) =x2+2 x -2不存在“s点”；(2)若函数 f ( x) =ax 2

13、 -1与g ( x) =ln x存在“s点”，求实数 a 的值；(3)已知函数 f ( x ) =-x2+a ， g ( x ) =bexx对任意a 0，判断是否存在b 0，使函数f ( x)与g ( x)在区间(0, +)内存在“s点”，并说明理由32(2018 浙江)已知函数f ( x ) =x -ln x(1)若f ( x )在 x =x1，x2(x x1 2)处导数相等，证明：f ( x ) + f ( x ) 8 -8ln 2 1 2；(2)若a 3 -4ln 2，证明：对于任意k 0，直线y =kx +a与曲线y = f ( x )有唯一公共点33（2017 新课标）已知函数 f

14、( x ) =ae2 x+( a -2) ex-x(1)讨论f ( x)的单调性；(2)若f ( x )有两个零点，求a的取值范围34（2017 新课标）已知函数 f ( x ) =ax 2 -ax -x ln xa(1)求；，且f ( x) 0(2)证明：f ( x )存在唯一的极大值点 x0，且e-2 f ( x ) 20-235（2017 新课标）已知函数f ( x) =x -1-a ln x(1)若f ( x) 0 ，求 a 的值；(2)设 为整数，且对于任意正整数 ，(1+ )(1+21 1) (1+) 0, b r )有极值，且导函数f(x)a zpq0()( )()a的极值点是f

15、 ( x)的零点（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）（1）求 b 关于 a 的函数关系式，并写出定义域；（2）证明： b23a；（3）若f ( x ) ， f(x)这两个函数的所有极值之和不小于7- ，求 a 的取值范围 238（2017 天津）设 ，已知定义在 r 上的函数 f ( x) =2 x (1,2)间内有一个零点 x， g ( x )为 f ( x )的导函数04+3 x3-3 x2-6 x +a在区（）求g ( x )的单调区间；（）设m 1, x ) ( x , 20 0，函数h ( x) =g ( x)( m -x ) - f ( m )0，求证：h ( m ) h(

16、x ) 1x-e1-x在区间(1,+)内恒成立(e=2.718为自然对数的底数)4x -2 0x()()e -ax -a()42(2016 年天津)设函数f ( x ) =( x -1)3-ax -b ,x r ，其中a, b r(i)求f ( x)的单调区间；(ii)若f ( x)存在极值点 x ，且 f ( x ) = f ( x )0 1 0，其中x x1 0，求证： x +2 x =3 1 0；()设 a 0 ，函数 g ( x ) =| f ( x) |，求证：g ( x)在区间-1,11上的最大值不小于 43(2016 年全国) 已知函数 f ( x) =( x -2) e （i）

17、求 a 的取值范围；x +a ( x -1)2有两个零点（ii）设 x ， x 是 f ( x )1 2的两个零点，证明：x +x 0 时， ( 2)ex+x + ；(ii)证明：当 a 0,1) 时，函数h( a ) ，求函数 h ( a ) 的值域g x = ( x 0) 有最小值设 g x 的最小值为x 245(2016 年全国) 设函数f ( x) =acos 2 x +(a-1)(cos x +1)，其中a0，| f ( x ) |的最大值为 a 记f(x)（）求；a（）求；|f (x)| 2 a（）证明46（2016 年浙江高考）已知 a 3 ，函数f ( x )=min2 | x

18、 -1|, x 2 -2 ax +4 a -2，其中min p , q=p，p q q, p q（i）求使得等式 f ( x ) =x 2 -2 ax +4 a -2成立的x的取值范围；（ii）（i）求f ( x )的最小值m( a)；（ii）求f ( x )在区间 0,6 上的最大值m ( a)47(2016 江苏) 已知函数f x =ax+bx(a0, b 0, a 1,b 1)a 0 ( ) sin ( 0, )axn ( )()ln )（1）设 a =2 ，1b = 21 求方程 f (x)=2的根；2 若对于任意 x r ，不等式 f (2x)mf (x)-6恒成立，求实数 m 的最

19、大值；（2）若 0 a 1 ，函数 g (x)=f(x)-2有且只有1个零点，求 ab 的值48(2015 新课标）设函数 f ( x ) =emx+x2-mx()证明：f ( x ) 在 ( -,0) 单调递减，在 (0, +)单调递增；()若对于任意 x ， x -1,1，都有 | f ( x ) - f ( x ) | e -1，求 m 的取值范围1 2 1 249(2015 山东)设函数 f ( x ) =ln( x +1) +a ( x2-x )，其中 a r （）讨论函数f ( x)极值点的个数，并说明理由；（）若x 0 ， f ( x) 0 成立，求 a 的取值范围50（2015

20、 湖南）已知 ，函数 f x =e x x + 记 x 为 f ( x )n的从小到大的第 ( n n*)个极值点证明：（1）数列 f xn是等比数列；（2）若 a e12-1，则对一切 n n*，x | f ( x ) | n n恒成立51（2014 新课标）已知函数 f ( x ) =x3-3 x2+ax +2，曲线y = f ( x )在点（0，2）处的切线与 x 轴交点的横坐标为2（）求a；（）证明：当k 1时，曲线y = f ( x )与直线y =kx -2只有一个交点52(2014 山东）设函数 f x =e x 2-k ( + x x 2 x（k为常数，e =2.71828是自然

21、对数的底数）（）当 k 0 时，求函数f (x)的单调区间；（）若函数f (x)在(0,2)内存在两个极值点，求k的取值范围()( )00x -xx + ，使得 f ( x ) a (-x与 e -153（2014 新课标）设函数f x =a ln x +1 -a1x2-bx a 1 ，曲线 y = f ( x )在点(1, f (1)处的切线斜率为 0（）求 b ；（）若存在 x 1, 使得 f (x)0 0aa -1，求 a 的取值范围54（2014 山东）设函数f ( x) =a ln x +x -1x +1，其中 a 为常数（）若a =0，求曲线y = f ( x )在点(1, f (1)处的切线方程；（）讨论函数f ( x )的单调性155(2014 广东) 已知函数 f ( x ) = x33+x2+ax +1(a r )（）求函数f ( x)的单调区间；（）当a 0，存在唯一的s，使t = f ( s )（）设（）中所确定的s关于t的函数为s =g (t )，证明：当 t e2时，有2 ln g (t ) 1 0 时， ( x -k ) f(x) +x +1 0 ，求 k 的最大值63