第十四章 整式的乘法与因式分解 最新人教版初二数学八年级上册考点知识点精讲

1、第十四章 整式的乘法与因式分解第十四章 14.1.1 同底数幂的乘法知识点：同底数幂的乘法法则同底数幂相乘,底数不变,指数相加,即 aman=am+n(m,n 都是正整数). 关键提醒:(1)同底数幂是指相同的底数,如 23 与 24 ,(ab) 2 与(ab)5,(x-y)5,(x-y)3 与(x-y)2.底数可以是任意的有理数,也可以是单项式、多 项 式.(2)运用同底数幂的乘法法则计算的关键是:底数相同,可直接运用公式计算; 若底数不同又可化为相同的底数,必须先变异底为同底,再用此法则运算;三个或三个以上同底数幂相 乘时,也是有同一性质,如 amanap=am+n+p(m,n,p 都是正

2、整数);逆用这个性质,可以把一个幂分解成两个同底数幂的积,其中它们的底数与原来的 底数相同.它们的 指数之和等于 原来的幂的指数,如 35=3233,a 3=aa2.考点 1：逆用同底数幂的乘 法法则解决问题【例 1】已知 xa=5,xb=7,求 xa+b 的值.解:xa+b= xax b=57=35.点拨： 因为 am an=am+ n,所以 am+n=ama n,本题逆用同底数幂的 乘法法则求解.考点 2：底数为多项式的同底数幂相乘【例 2】计算:(1)(a+b)3(a+b)4;(2)(m-n)2(n-m)3.解:(1)(a+b)3(a+b)4=(a+b)7.(2)(m-n)2( n-m)

3、3=(n-m)2(n-m)3=(n-m)5.点拨：当底数为多项式时,我们可将其看作一个整体,利用同底数幂 的乘法法则求解.第十四章 14.1.2 幂的乘方知识点：幂的乘方幂的乘方,底数不变,指数相乘,即(am)n=amn(m,n 为正整数).关键提醒:(1)幂的乘方法则是根据乘方的定义及同底数幂的乘法法则得到 的结论:(am)n= =amn.(2)不要把幂的乘方性质与同底数幂的乘法性质混淆.幂的乘方运算 ,转化为指数乘方运算(底数不变);同底数幂的乘法,是转化成指数的 加法运算(底数不变).(3) 公式的逆运用:amn=( am)n=(an)m.考点 1：逆用幂的乘方法则解决问题 【例 1】(

4、1)若 =a9,求 n;(2)已知 5m=8,求 25m.解:(1)因为(an)3=a3n,所以由 3n=9 得 n=3;(2)25m=(52)m=(5m)2=82=64.点拨：对于“5 的几次方等于 8”的问题,我们将在高中阶段学习, 本题利 用数学中的整体思想,将 5m 看作 整体进行代换.考点 2：幂的乘方与同底数幂相乘的混合运算【例 2】计算:( 1)y(2)2m3m5- (m2) 4. ;解:(1)y(2)2m3m5- =y y6y6=y13;=2m8- m8 = m8.点拨：本题运算顺序是先乘方,再乘法,最后加减.第十四章 14.1.3 积的乘方知识点：积的乘方积的乘方,等于把积的

5、每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘,即 (ab)n=anbn (n 为正整数).关键提醒:( 1)积的乘方法则是用乘方的意义推理得到的.如:(ab) n= =anbn.(2)此性质可以逆运用 anbn=(ab)n.(3)三个或三个以上因式的积 的乘方,也有这一性质,如(abc)n =anbncn.考点 1：逆用积的乘方巧解题【例 1】计算:(1) 0.125299(-8) 299;(2) .解:(1)0.125299(-8) 299= 0. 125(-8)299=(-1)299=-1;(2) = = = .点拨：因为本题两算式中的数据是互为倒数的形式, 所以可逆用积的乘方法则,先进行乘法运算

6、,再进行乘方运算,这是一种较为简便的运 算方法.考点 2；有关乘方的混合运算【例 2】计算:(1)-(2ax2)4;(2)-a3a4a+(a 2)4+(-2a4)2.解:(1) -(2ax2)4= a4x8-16a4x8=- a4x8; (2)-a3a4a+(a 2)4+(-2a4)2=-a8+a8+4a8=4a8.点拨：本题的运算 顺序是先乘方,再 乘法,最后加减.第十四章 14.1.4 单项式乘单项式知识点：单项式与单项式相乘单 项式与单项式相乘,把它们的系数、同底数 幂分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式.归纳整理:(1)积的系数等于各项系数、相同 字

7、母分别相乘,对于只在一个单项式里含 有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式.(2) 相同字母相乘,是 同底数幂的乘法,按照“底数不变,指数相加” 进行计算.(3) 只在一个单项式里含有的字母,要连同它的指数写在积里,注意 不要把 这个因式丢掉.(4) 单项式与单项式相乘的乘法法则对于三个或三个以上的单项 式相乘同样适用.(5) 单项式与单项式的积仍是单项式.考点：单项式乘单项式的计算【例】计算:( 1)10x2yz3;(2) ;(3)3ab2解:(1)10x2yz3 =-5x3y5z3;2abc;(4)(- 2xn+1yn)(-3 xy) .= (x2x)(yy4)z3(2)(3) 3ab2

8、 =2abc=(aa2 )(b2b)=-a3b3;(aa2a)(b2bb)c=-2a4b4c;(4)(-2xn+1yn)(-3xy)=(xn+1xx2)(yny)z=-3xn+4yn+1z.点拨：(1)系数参与运算时,正确理解系数是参与乘方运算还是乘法运算.(2)凡是单项式中出现过的字母,在结果中也要再出现,不能遗 漏.第十四章 14.1.5 单项式乘多项式知识点：单项式与多项式相乘单项式与多项式相乘,就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所 得的积相加.用式子表示 为 m(a+b+c)=ma+mb+mc.归纳整理:(1)单项式与多项式相乘的法则,实质是利用分配律将其 转化为单项式乘以单项式的问

9、题;(2) 单项式与多项 式相乘,结果仍是多项式, 其项数与因式中多项式 的项数相等,因此可以以此来检验在运算中是否漏乘某些项;(3) 计 算时要注意符号问题,多项式中 每一项都包括它前面的符号, 同 时还要注意单项式的符号.考点:单项式乘多项式的计算【例】计算:(1)2xy(5 xy2+3xy-1);(2)(a2-2bc)(-2ab)2.点拨: (1)中单项式为 2xy,多项式含有三项,分别为 5xy2,3xy,-1,乘积 仍为三项;(2)中应先算(-2ab)2.解:(1)原式=2xy5xy2+2xy3xy+2x y (-1) = 10x2y3+6x2y2-2xy;( 2)原式=(a2-2b

10、c)4a2b2=4a2b2a2+4 a2b2(-2bc)=4a4b2-8a2b3c.第十四章 14.1.6 多项式乘多项式知识点：多项式与多项式相乘多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式 的每一项,再把所得的积相加.用式 子表示为关键提醒:(1)运用多项式乘法法 则时,必须做到不重不漏,为此,相 乘时,要按照一定的顺序进行;(2)多项式 乘以多项式,仍得多项式.在合并同类项之前,积的项数应 该 等于两个多项式项数之积.考点 1：多项式与多项式相乘的计算【例 1】计算:(1)(3x-2y)(2a+3b);(2)(x-y)(x2+xy+y2).解:(1)原式=3x2a+3x3b+

11、(-2y) 2a+(-2y)3b=6ax+9bx-4ay-6by;(2)原式=xx 2+xxy+xy2+(-y)x2+(-y)xy+(-y) y2=x3+x2y+xy2-x 2y-xy2-y3=x3-y3.点拨:(1)中先用 3x 分别与 2a,3b 相乘,再用-2y 分别与 2a,3 b 相乘,然后把所得的积相加;(2)中可先用二项式(x-y) 中的 x 分别与三项式中的各项相乘,再用-y 分别与三项式中的各项相乘,然后把所得的积相加. 考点 2：整式乘法的实际应用【例 2】为应对国际金融危机,2009 年我国出台了一系列刺激住房消费的优惠政策.李小雨家刚刚买了一套房 子,房子的结构如图所示

12、 (单位:m),他家打算在房子里铺满地砖.(1) 他家至少需要购买多少平方米的地砖?(2) 如果铺设的这种地砖的价格是每平方米 3n 元,请你帮他家算一 算至少需要花 多少钱?解:(1)4a2b+(2a+a)(4b-2b)+b(4a-2a-a)=8ab+3a2b+ba=8ab+6ab+ab=15ab(m2);(2)3n15ab=45abn(元).点拨 ：此种解法是把整个图形分成若干个小长方形,分别计算它们的面积,再把结果相加.分割的方法不同,所列的整式也就不同.第十四章 14.1.7 整式的除法知识点 1：同底数幂的除法同底数幂相除,底数不变,指数相减.用式子表示为 aman=am-n(a 0

13、,m,n 都是正整数,并且 mn).关键提醒:(1)同底数幂的乘法与 同底数幂的除法是互逆运算;(2) 被除式、除式的底数相同,被除式的指数大于除式指数,0 不能作 除式;(3) 底数可以 是一个数,也可以是单项式或多项式,运用性质时要注 意指数为“1”的情 况.(4) 法则可以逆用,即 am-n=aman;(5) 当三个或三个以上同底数幂相除时,也有这一性质,即 ama n ap=am-n-p(a0,m,n,p 为正整数,mn+p).知识点 2: 0 指数幂的意义任何不等于 0 的数的 0 次幂都等于 1,即 a0=1(a0).(1) 根据同底数幂的除法法则可得 a mam=am-m =a0

14、=1.(2) a0 中,底数不能为 0.知识点 3：单项式与单项式除法法则单项 式相除,把系数与同 底数幂分别相除作为商的因式,对于只 在被除式里含有的字母,则连同它 的指数作为商的一个因式.归纳整理:(1)单项式除法的实质即有理数除法(系数部分)和同底数 幂的除法的组合,单项式除以单项式的结果仍为单项式.(2) 系数部分相除时包括前面的符号.(3) 不要遗漏只在被除式中含有的字母.知识点 4：多项式除以单项式法则多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商相加.即(am+bm+cm)m=(amm)+(bmm)+(cm m)=a+b+c.归纳整理:(1)多项式除以单项式

15、,是将其转化为多个单项式除以单 项式.(2)多项 式除以单项式所得的商式的项数与多项式的项数一致,不 要漏项.考点 1：同底数幂的除法法则的灵活应用【例 1】已知 3m=6,9n=2,求 32m-4n+1 的值.解: 32m-4n+1=32m334n=3 ,3m=6,9n=2,32m-4n+1=36222=27.点拨：欲求 32m-4n+1 的值,应逆用同底数幂的乘除法法则,将其转化 为关于 3m 和 9n 的表达式后,利用整体代换的数学思想求.考点 2：整式除法的计算【例 2】计算:(1)(25x2+15x3y-20x4)(-5x2);(2)2(m+n)5-3(m+n)4+(-m-n)3 2

16、(m+n)3.解:(1)原式=25x2(-5x2)+15x3y(-5x2)-20x4(-5x2)=-5-3xy+4x2;(2)原式=2(m+n)52(m+n)3-3(m+n)42(m+n)3-(m+n)32(m+n)3 =(m+n)2- (m+n)- =m2+2mn+n2- m- n- .点拨:(1)先写成单项式除以单项式和的形式,再按单项 式和单项式 除法法则计算;(2)注意运算顺序.考点 3：整式除法 的实际应用【例 3】某高分子聚合材料的性质优于铝合金材料,且密度为 9102kg/m3,已知铝的密度为 2.7103kg/m3.铝的密度是这种材料密度的 多少倍?解:(2.7103)(910

17、2)=(2.79)(103102)=0.310=3.点拨:应用单项式除法法则进行化简计算.第十四章 14.2.1 平方差公式知识点 1：平方差公式两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差,即 (a+b)(a-b)=a2-b2,这个公式叫做(乘法的)平方差公式.归纳整理:在根据平方差公式进行计算时,要注意必须满足以下条件:公式的 左边是两个二项式相乘,并且这两个二项式中有一个是相同的项,另一个是互为相反数的项;公式的右边是两个数的平方的差的形式,而且是用 相同的项的平方减去互为相反数的平方.用式子可以这样表示:( - 2 2,此时的和 可以代表单项式,也 可以代表多项式.知识点 2：利

18、用平方差公式进行简便运算利用平方差公式,可把相乘两数转化成两数和与两数差的乘积形 式,从而达到简便运算的目的,此法体现了转化的思想 .考点：利用平方差公式计算【例】计算:(1)100.599.5;(2)(a+3)(a- 3)-(a+2)(a-5); (3)(x2+yz)(x2-yz).解:(1)100.599.5=(100+0.5)(1 00-0.5)=1002-0.5 2=9999.75;(2)(a+3)(a-3)-(a+2)(a-5)=a2-32-(a2-3a-10)=a2-9-a2+3a+10=3a+1; (3)(x2+yz)(x2-yz)=(x2)2-(yz)2=x4-y2z2.点 拨

19、:(1)可以变形为(100+0.5)(100-0.5)后用平方差公式;(2 )中前面一算 式可 以用平方差,后一算式用多项式乘法展开后合并同类项;(3) 中分别把 x2,yz 看作公 式中的 a,b,然后套用公式.第十四章 14.2.2 完全平方公式知识点 1：完全平方公式两数和(或差) 的平方,等于它 们的平方和,加(或减)它们的积的 2 倍.即(a+b )2=a2+2ab+b 2,(a-b)2=a 2-2ab+b2.这两个公式叫做(乘法的)完全 平方公式.公式的特点:两个公式的左边都是一个二项式的完全平方,二者仅差一个“符号”不同;右边都是二次三项式,其中 两项是公式左边二项式中每一项的平

20、方,中间一项是左边二项式中的两项乘积的 2 倍,二者 也仅差一个“符号”不同.知识点 2：添括号(1)添括号法则包括两种 情况,一种是括号前是正号时,括到括号里的各项都不变符号;另一种是括号前是负号时,括到括号里的各项都改变符号.所以,添括号时要分清括号前是什么符号.(2)使用添括号法则时,要分清括到括号里的项是哪些项.(3)添括号和去括号正好相反,添 括号是否正确可以用去括号来检验.知识点 3：三数和平方公式的简单应用完全平方公式的左边是两个相同的二项式相乘,而对于形如(a+b+c )2 的乘法运算,应考虑将其中两项结合运用整体思想看成一项, 即先变形为 或或,再进行计算.考点 1 ：利用完

21、全平方公式化简求值【例 1】已知 x2-5x=14,求- +1 的值.解: -+1=2x2-x-2x+1-(x2+2x+1)+1=2x2-x-2x+1-x2-2x-1+1=x2-5 x+1,当 x2-5x=14 时,原式=(x2-5x)+1=14+1=15. 点拨：本题利用公式化简后,再用整体代换的数学思想求值,不必将 已知等式中的 x 值求出.考点 2：完全平方公式的应用【例 2】如图,长方形 abcd 的周长是 20 cm,以 ab,ad 为边分别向外作正方形 abef 和正方形 adgh,若正方形 abef 和正方形 adgh 的面积之和为 68 cm2,那么长方形 abcd 的面积是(

22、 )a.21 cm2b.16 cm2c.24 cm2d.9 cm2答案:b点拨：设 ab=x cm,ad=y cm,由题意得 x2+y2=68,x+y=10,所以(x+y)2=100,即 x2+y2+2xy=100, 所以 2xy=32,xy=16,所以长方形 abcd 的面积是 16 cm2 ,选 b.此题是一道几何计算问题,运用方程的方法 可转 化为整式的运算问题.第十四章 14.3.1 提公因式法知识点 1：因式分解的定义把一个多项式化成几个整式的积的形式,像这样的式子变形叫做 这个多项式的因式分解,也叫做把这个多项式分解因式.关键提醒:分解因式是整式乘法的逆向变形.因式分解:等式左边是

23、一个多项式,等式右边是整式的积的形式;整式乘法:等式左边是几个整 式的积的形式,等式右边是一个多项式.知识点 2：提公因式法分解因式(1)多项式中各项都含有的公共的因式,叫做多项式的公因式.确定公因式的原则是:1 各项系数都是整数应提取各项系数的最大公约数;2 字母提取各项的相同的字母;3 各字母的指数取次数最低的.(2)如果多项式的各项有公因 式,可以把这个公因式提到括号外面,将多项式写成因式乘积的形式,这种分解因式的方法 叫做提公因式法.归纳整理:(1)当一个多项式的各项公因式是其中的单独一项时,提取公因式后该项应用 1 补上,不能漏掉;(2)如果多项式按一定顺序列出后,首项为负时,一般要

24、连同 “-”号提出,使括号内的第一项的系数为正的,但在提出“-”后括在括号内的各项与原来相比 要改变符号;(3)有时提取公因式后要对括号内的项进行适当的化简,发现公因式还要及时提取;(4)如果公因式含有多项式因式时,应注意符号的变换,如(a+b)2=(b+a)2,(a-b)3=- ( b-a)3;(5)因式分解的结果应将单项式写在前面, 多项式写在后面,相同的因式写成乘方的形式.考点 1：提公因式法分解因式【例 1】 把下列各式因式分解:(1)2a2bc+8a3b;(2)-a2xm+2+abxm+1-acxm-axm+3;(3)6q(p+q)-4p(p+q);(4)a(a-b)3+2a2(b-

25、a)2-2ab(b-a).解:(1)2a2bc+8a3b=2a2bc+2a2b4a=2a2b(c+4a);(2) -a 2xm+2+abxm+1-acxm-axm+3=-axmax2+axmbx-axmc-axmx3 =-axm(x3+ax2-bx+c);(3) 6q(p +q)-4p(p+q)=2(p+q)3q-2(p+q)2p=2(p+q)(3q-2p); (4)a(a-b)3+2a2(b-a)2- 2ab(b-a)=a(a-b)3+2a2(a-b)2+2ab(a-b)=a(a-b)(a-b)2+2a(a-b)+2 b=a(a-b)(3a2-4ab+b2+2b).点拨：根据提公因式法的一般

26、步骤,先确定各题的公因式,再提取即可.在第(2)题中,因多项式的第一项系数是负数,一般要提出“-”号,使括号内的第一项系数是正数,在提出“-”号后,多项式的各项 都要变号;在 第(4)题中,将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为含有 公因 式,如:当 n 为正整数时,(a-b)2n=(b-a)2n;(a-b)2n-1=-(b-a)2n-1.考点 2：提公因式法的简便应用【例 2】计算 123+268 +456 +521 .解:原式=(123+268+456+521)= 1 368=987.点拨：算式中每一项都含有 再算出结果.,可以把它看成公因式提取出来,第十四章 14.3.2 公式法（一

27、）知识点：利用平方差公式分解因式两个数的平方差,等于这两个数的和与这两个数的差的积,即 a2-b2=(a+b)(a-b).归纳整理:对于利用平方差公式分解因式时一般要满足:要分解的因式是一个二项式,而且这两项都是一个数的平方的形式;含有的两项的符号还必须是相反的;当利用该方法分解因式时,如果 存在公 因式时,应先提出 公因式.考点 1 ：利用平方差公式因式分解【 例 1】分解因式:(1)(x+p)2-(x+q)2;(2)16(a-b )2-9(a+b)2. 解:(1)原式=(x+p+x+q)(x+p-x-q)=(2x +p+q)(p-q);(2)原式=4(a-b)2-3(a+b)2=4(a-b

28、)+3(a+ b)4(a-b)-3(a+b)= (4a-4b-3a-3b)=(7a-b)(a-7b). 点拨:(1)把(x+p)看作 a,(x+q)看成 b;(2)先把式子化成4(a-b)2-3(a +b)2 后,再用平方差公式分解.考点 2：利用平方差公 式因式分解解决问题【例 2】用因式分解法证明 499-71 4 能被 2400 整除.解:499-7 14=(72)9-714=718-7 14=714(74-1)=7142400, 499-714 被 2400 整除得 714.点拨:首先把底数化成相同的,然后再提公因式.第十四章 14.3.3 公式法（二）知识点 1：利用完全平方公式分解

29、因式两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的 2 倍,等于这两个数 的和(或差)的平方,即 a2+2ab+b2=( a+b)2,a 2 -2ab+b 2=(a-b)2.归纳整理:利用完全平方公式分解因式时,必须具备以下几点:首先利用完全平方公式分解因式的式子必须是三项式 ;在三项式中必须含有两项是平方的形式,而且这两项的符号相同,另一项是写成平方项的两项的积的 2 倍;当要分解的因式中含有公因式时,要先提出公 因式,然后再利用公式法分 解.知识点 2：x2+(p+q)x+pq 型式 子的因式分解一个含有一个字母的二次三项式,如 x2+ax+b=0,若 a=p+q,b=pq,则x2+ax+b

30、可以分解为(x+p)(x+q)的形式,即 x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q),利用这个公式可以将某些二次项系数是 1 的二次三项 式分解因式.关键提醒:x2+(p+q)x+pq 型的二次三项式的因式分解的关 键是合理地将一次项系数拆成两个数的和,而常数项恰好又是 这两个数的积, 然后直接套用公式即可.考点 1：利用完全平方公式法因式分解 【例 1】分解因式:(1)4x2-20x+25;(2) +ab+a2b2;(3)16(a+ b)2+40(a2-b2)+25(a-b)2.点拨:(1)式中 2x,5 分别为公式中的 a,b;(2)中 ab, 分别为公式中的 a,b;(3)中将 4(a+b)与 5(a-b)看作公式中的 a,b.解:(1)原式=(2x)2-22 x5+52=(2x-5)2;(2) 原式= +2 ab+(ab)2= ;(3) 原式=4(a+b)+5(a-b)2=(4a+4b+5a-5b)2=(9a-b)2.考点 2：因式分解的综合题【例 2】把 多项式 x3-2x2+x 分解因式结果正确的是( ) a.x(x