立体几何知识点题型整理

1、(1)空间几何体的知识点:空间儿何体立体几何总结考点一空间几何体与三视图1 .一个物体的三视图的排列规则是：俯视图放在正视图的F面，长度与正视图的长度空间儿何 体的结构柱=锥、台、球 的结构特征三视图与直 观图的画迭空间几何体的体积、表面积(2)点、直线、面的位置关系:（3）平面的基本性质样，侧视图放在正视图的右面，高度与正视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度一样.即“长对 正、高平齐、宽相等”.2.画直观图时，与坐标轴平行的线段仍平行，与x轴、z轴 平行的线段长度不变，与 y轴平行的线段长度减半.点、线、面的位置关系空间中的平行关系空间中的垂直关系直线与直线平行 直线与乖面玮 平面与平面平存

2、直理昌直线垂苴 直线与平面垂直 平面与平面垂直题型一 三视图的考察cm2）为（）D . 36 + 24 2几何体的正视图是平行四边形，侧视图和俯视图都是矩形，则该几何体的空间角直线与平面所成的角异面宜线所成的角二面角空间直角坐标系：空间宜甫坐标系加减运算数乘运算I-数量积运算空间向屋 及其运算空间向 屋运算 的坐标 表示2、如图所示，某侧视圏-1A. 6 3【方法技巧】B. 9 3 C . 12 3D. 18 3立体几何中的向呆方法直线的方向向量与平面的法向量用空间向量证明平行与垂直用空间向量求空间角用空间向量求空间距离1求三棱锥体积时，可多角度地选择方法如体积分割、体积差等积转化法是常用的方

3、法.2与三视图相结合考查面积或体积的计算时，解决时先还原几何体，计算时要结合平面图 形，不要弄错相关数量.3求不规则几何体的体积常用分割或补形的思想将不规则几何体转化为规则几何体以易于 求解.4对于组合体的表面积要注意其衔接部分的处理14题型二平面图的直观图（斜二测面法）1如图所示的直观图，其平面图形的面积为A . 3B竽C.6答案：C4 .正四面体的外接球与内切球的半径之比为3 : 1.若正四面体的棱长为a则正四面体的高为 a,正四面体的外接球的半 径R 6 a,正四面的内切球34f的半径为一6 a12（熟悉常见的补体，特殊的几何体如正三棱柱、正四棱柱、正六棱柱，注意如何确定球心的位置）1.

4、 已知三棱锥S- ABC的三条侧棱两两垂直，且 SA二2 , SB= SC= 4，则该三棱锥的外接球的半径为（）A.3B.6C.36D.92、在三棱锥 A - BCD中，AB二CD = 6, AC二BD二AD二BC = 5，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A.2 . 10二B.4. 5二C. 21 D. 43变式：在三棱锥A - BCD中,AB = CD = 6, AC = BD = 4, AD = BC = 5，则该三棱锥的外接2、球的表面积为（卫二）2答案：2 n如图，长方体 ABCD A1B1C1D1中，交于顶点的最短距离为（5 2A的三条棱长分别为 AD = 3 , AA1 = 4 ,

5、 AB )2、棱长为 2的正四面体（四个面均为正三角形）外接球的表面积是（）B. 743、在三棱柱 ABC - A B C 中，已知 AA _ 平面 ABC , AB 二 AC 二 AA = 2, BC = 2 3 ,且此三棱柱的各个顶点都在一个球面上，则球的表面积为 .题型四其他类型：展开、投影、截面、旋转体等1面积为 W的等边三角形绕其一边中线旋转所得圆锥的侧面积是 考点三 球与空间几何体的“切”“接”问题1 .长方体、正方体的外接球其体对角线长为该球的直径.2. 正方体的内切球其棱长为球的直径.3. 正三棱锥的外接球中要注意正三棱锥的顶点、球心及底面正三角形中心共线.4.新课标(11)已

6、知三棱锥 S-ABC的所有顶点都在球 0的求面上，ABC是边长为1的正三角形，SC为球0的直径，且SC =2 ;则此棱锥的体积为()(A)辽(B)匕(C) 2(D)!6632【解析】选A8.【2012高考真题辽宁理16】已知正三棱锥 P_ABC点P, A，B C都在半径为 J3的求面上,若PA PB PC两两互相垂直，则球心到截面ABC勺距离为 。【答案】_!35.(辽宁理)已知球的直径则棱锥S- ABC的体积为SC=4, A, B是该球球面上的两点,()A. 3 3AB . 3 , ASC = BSC = 30 ,B. 2 . 3 C . 3 D. 1JT(重庆理)高为 的四棱锥S-ABCD

7、的底面是边长为1的正方形，点4径为1的同一球面上，则底面 ABCD勺中心与顶点S之间的距离为(近42(A)(B)426.(C)1(D)S、A、B CD均在半2(A) 3二 a(B)【方法技巧】1 .涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点或线作 截面，把空间问题化归为平面问题.2 .若球面上四点 P、A B、C构成的线段 PA PB PC两两垂直，且 PA a, PB= b, PC= c,则 4R2 = a2+ b2+ c2(R为球半径)可采用“补形”法，构造长方体或正方体的外接球去处理.3.特殊棱锥的顶点在底面的射影位置： 棱锥的侧棱长均相等，则顶点在底面上的射影为底面

8、多边形的外心 棱锥的侧棱与底面所成的角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心 棱锥的各侧面与底面所成角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心 棱锥的顶点到底面各边距离相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心 三棱锥有两组对棱垂直，则顶点在底面的射影为三角形垂心 三棱锥的三条侧棱两两垂直，则顶点在底面上的射影为三角形的垂心7、一个半径为3的球的内接正六棱柱12个顶点都在球面上)当正六棱柱的体积最大时，其高为( )A. 3.3 B. 2.3C.2、3D.考点四 空间线线、线面位置关系线线平行线线垂直性质定理性质蓟判定定理超X a-LC, Zuw&c 共面面面平行线面垂直面面垂直线面

9、平行性质定理性质定理考点五三类角的疋义及求法(1)异面直线所成的角线线角:及其逆定理 三垂线定理考点六 点到面距离：作一证一求(2)等体积法考点七利用空间向量解决探索性问题(2)直线与平面所成的角9 , 0 3).因为57丄平而30E.所以因此Xo=4* 弓,BP点的坐标是4, -% Q),在平面直角坐标系=0中.Laob的内部区域可表示为不等式组芦叫 经检验，点”的坐标衙足上述不等式组.所以，在丄少內存在一点上使严”丄平面弓。瓦设平面 A DP法向量为m =X1 , y1, Z1 一 卫则严-2畑=06 ay12x1 ay1 =01捲=-ay1 q - -3a , 6, . 3a3.(本小题

10、满分12分)解：(1)证明：连接 AO,在L AOA中，作OE _ AA于点E，因为AA1/BB1，得OE_ BB1, 因为 AQ_ 平面 ABC，所以 AO_ BC ,因为 AB= AC,OB = OC ,得AO _ BC,所以BC _平面AAQ ,所以BC _ OE ,所以OE _平面BB1C1C ,=1,AA =、 5,又 AO 二 AB2 - BO2得AE二虫卫AA5假设平面 A DP与平面 ABE垂直，则 n n =0 , 3a 12 3a =0 , 6a =T2 , a =-2T 0cac3 不存在线段 BC上存在点 P，使平面 ADP与平面 ABE垂直。(2)如图所示，分别以 O

11、A,OB,OA1所在的直线 为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则 A(1,0,0), C(0,-2,0), AECAA11y1(0.0,2),B(0,2,0)O设平面A1B1CI n AB = 0 由| n A-|C = 0所以 cos ： OE,n-|OE| |n|14242由（1）可知AE AAA得点E的坐标为（一,0,）,由（1）可知平面BB1C1C的法向量是（一,0,）,55555的法向量n =（x, y,z）,x 2y = 0得，令 y=：1，得 x=2,z=：1，即 n =（2,1,-1）y z =0n.30=10j30即平面平面 ABiC与平面BBiCiC夹角的余弦值是104解：

12、（1）证明：如图，以 O为原点，以射线 OP为z轴的正半轴，建立空间直角坐标系O-贝IJ 0（0,0.0）, J to, 一3）, 3i4:2:0 Q-4r2t0）, P（0, 0h4就=：由此可得APBC=所丄益 即肿丄SC,（设FJf =莎，el,则PM= 7 一事BXf BP +BPR4=1 - 4）+ :.i 0, 3j 4；=: 4 2一丄；.“由一X1= 0, 即 2 + 3入z1=4ry1,2 + 3入可取 n1=（0,1，47）-3y2+ 4z2 = 0, 即*一 4x2 + 5y2 = 0,54y2，34y2,可取 n2 = （5,4 , - 3）.BH _ AD，/AHB 为二面角 A AQ白B平面角在 ：AA! D 中AA =i,AD =乜，AD 二乜，则 AH =2 52 25 ,BH= -5,co AHB52.5AHBH= _5=3、5X2 =得Z2 =2 + 3入 由 ni n2 = 0，得 4一3 = 0,4 4入2 ,解得入=?故AM= 3.5综上所述，存在点 M符合题意，AM= 3.5 解析：（1）连接 BiA 交 BA 于 0,： BP 面 BDA, BiPu 面 ABiP,面 ABiPD 面 BAD =0D, .BiP/0D,又0为BiA的中点，.D为AP中点，.G为 AP,. ： ACD 三：PCiD . CiD =