等腰三角形三线合一典型题型[1]

1、等腰三角形三线合一典型题型1等腰三角形三线合一专题训练姓名例1:如图，四边形 ABCD中，AB II DC, BE、CE分别平分/ ABC、/ BCD，且点E在AD上。求证：BC=AB+DC。变 1:如图，AB II CD，/ A = 90 AB = 2, BC = 3,CD=1,E是AD边中点。求证: Q C :ACE 丄 BE。变2：如图，四边形 ABCD中，AD II BC, E是CD上一点，且 AE、BE分别平分/ BAD、/ ABC.(1)求证：AE丄BE ;(2)求证:E是CD的中点；(3)求证：AD + BC=AB.变3: ABC是等腰直角三角形 ，/ BAC=90,AB=AC.

2、若mD为BC的中点，过D作DM丄DN分别交AB、 AC于 M求证：(1) DM = DN。若DM丄DN分别和BA、AC延长线交于 M、N。o 已知：如图，AB=AC , E为AB上一点，F是AC延长线上一点，且 BE=CF , EF交BC于点D . 求证：DE=DF .A(2)已知：如图，AB=AC , E为AB上一点，F是AC 延长线上一点，且，EF交BC于点D，且D为EF的 中点. 求证：BE=CF .A利用面积法证明线段之间的和差关系1、如图，在 ABC中，AB=AC P为底边BC上的一点，PD1AB于D, PEL AC于E, ?CF丄 AB于F,那么PD+PE与 CF相等吗？变1:若P

3、点在直线BC上运动，其他条件不变，则PD、PE与CF的关系又怎样，请你作 图，证明。1、已知等腰三角形的两边长分别为 4、9,则它的周长为（）A 17 B 22 C 17 或 22 D 13根据等腰三角形的性质寻求规律例 1. 在 ABC中, AB=AC / 1=2 / ABC / 2=2 / ACB BD与CE相交于点 Q 如图，/ BOC勺大小与/ A的大 小有什么关系？若/ 1=1 / ABC / 2=! / ACB 则/ BOC与/A大小 关系如何？若/ 1=1 / ABC / 2=丄 / ACB 则/nnABOC与/ A大小关系如何？A会用等腰三角形的判定和性质计算与EL pC证明例

4、2如图,等腰三 一腰上的中线BD? 周长分成15和6 形的腰长及底边角形 ABC中 , AB=AC 将这个等腰三角形 两部分,求这个三角 长.利用等腰三角形的性质证线段相等例3如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PAPB PC, ?以BP为边作/ PBQ=60，且BQ=BP连结 CQ(1)观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证 明你的结论.(2)若 PA PB: PC=3 4: 5,连结 PQ 试判断 PQC勺形状，并说明理由.例1、等腰三角形底边长为5cm,腰上的中线把三角形 周长分为差是3cm的两部分，则腰长为()A、2cmB 、8cm C 、2cm或 8cm D 、不能确定例2、已

5、知ABC的高，AB=AC ABC周长为20cm, ADC的周长为14cm,求AD的长。例3、如图，已知BC=3 / ABC和/ ACB的平分线相交 于点Q OE/ AB, OF/ AC求厶OEF的周长。例4、如图，已知等边 ABC中, D为AC上中点，延长BC至U E，使 CE=CD连接DE试说明DB=DE例5、等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为45，则这个三角形是()A、锐角三角形 B 、钝角三角形C 、等边三角形D 、等腰直角三角形 例6、(1)等腰三角形的腰长为10,底边上的高为6,则底边的长为(2)直角三角形的周长为12cm斜边的长为5cm 则其面积为；(3 )若直角三角形三边为1 ,

6、 2 , c,则c=。例7、下列说法：若在 ABC中a2+b2 c2,则厶ABC 不是直角三角形； 若 ABC是直角三角形C=90，则a2+b2=c2; 若在 ABC中, a +b =c ,则/ C=90; 若两直角边的平方和等于斜边的平方，可以判定这个三角形是直角三角形。正确的有 (把你认为正确的序号填在例8、正三角 ACC横线上)。平面内有一点则这样使得点有(A)1 个(B) 4 个(C) 7 个(D) 10 个BE)例 9.四边形 ABC中, AB=BC / ABC/ CDA90, 丄AD于点E且四边形ABC啲面积为8,则BE=(A. 2 B. 3C. 2迈D. 2J3A ED例10.已

7、知 ABC为正三角形，P为其内一点，且AP=4 BP壬3, CP=2则厶ABC的边长为 ()(A)2 5( B) 2、7( C) 4( D) 4 2三.巩固练习1、已知等腰三角形的一边等于5,另一边等于9,求 它的周长。2、 在厶 ABC中，AB=ACZ B=4(0，则/ A 。3、等腰三角形的一个内角是700 ,则它的顶角4、片为0 40。的等腰三角形的另外两个内角的为有.。.度数5、如图，在Rt ABC中，/ C- 105：直线BD交AC 于D,D把直角三角形沿着直线BD翻折，点C恰好落在斜 边 AB上,BA如果 ABD是等腰三角形，那么/ A等于( )(A)40(B) 30 0(C) 2

8、5o (D )156、若 ABC三边分别为 a、b、c ,且满足 a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,则厶 ABC的形状为()(A)等腰三角形(B)直角三角形(C)等腰直角三角形(D)等边三角形7、判定两个等腰三角形全等的条件可以是 ()A、有一腰和一角对应相等B 、有两边对应相等C 、有顶角和一个底角对应相等D 、有两角对应相等&等腰三角形一腰上的高线与底边的夹角等于（）A、顶角 B 、底角 C、顶角的一半 D、底角的一半2,或9、在等腰三角形ABC中，/ A与/ B度数之比为5 : 则/A的度数是（）A 100 B 、75 C 、150 D 、7510010、如图，P、Q是厶ABC

9、边BC上的两点，且 QC= AP0、90=AQ= BP= PQ 则/ BAC=（）A、125B、130C120BD CE为中线，图11、如图， ABC中，AB= ACD10题11题12题12、如图，AB= AC AE= EC / ACE= 280，则/ B 的度数是（）A、6O0B、70C、76D45013、如图是一个等边三角形木框,，甲虫 P 在边框 另上边距离之禾C为除夕d）等边三虫形人ABC的 则为与, 的大小关系是（）/ B C【解题方法指导】例1.已知，如图，AB = AC = CD，求证：/ B = 2/ D例2.已知，如图， ABC是等边三角形，AD/BC , AD 丄 BD,

10、BC = 6,求 AD 的长。C【考点指要】等腰三角形、等边三角形及含 30角的直角三角形是应用非常广泛的图形，因此，在中考试题中经常 以证明题或计算题频频出现，而且经常把它们结合在 一道题中加以应用，虽然题目的难度不是很大，但也 要善于分析，找出图形中有关的性质。【典型例题分析】例1.（2005年苏州）如图，等腰三角形ABC的顶角为120，腰长为10,则底边上的高AD =例2.已知，如图， ABC中，/ C = 90，AB的 垂直平分线交 AB于E，交AC于D，AD = 8，/ A = 30，求CD的长。B例3.已知，如图， ABC是等边三角形，E是ABCE上一点，D是AC上一点，且 AE

11、= CD，又BD与 交于点F，试求/ BFE的度数。【综合测试】1.已知，如图，AB = AC , / ABD =Z ACD ,求证:DB = DCD2.已知，如图，D、E是BC上两点，AB = AC ,AD = AE，求证：BD = CE3.已知，如图， ABC 中，DE/BC , AB = AC，求证：AD = AEABC4.已知，如图， ABC中，AB = AC , D是AB上 一点，E是AC延长线上一点，DE交BC于F，又BD =CE，求证：DF = EF5.已知，如图，D是BC上一点， ABC、 BDE 都是等边三角形，求证：AD = CEC6.已知，如图， ABC中，/ B = 9

12、0，AC的垂 直平分线交 AC于D，交BC于E，又/C = 15，EC=10，求AB的长CDF，求证:图5例6、如图11，在 ABC中，/AB = AC , D为BC边中点，E、 AB、AC 上，且 DE 是一个定值.证明：连接AD为BC中点， AD丄BC ,AB = AC ,B = Z C = 45，/ CAD = 45, AD = BD = ，/ EDA + Z ADF = 90, 得/ BDE +Z ADE = 90, BDE = AB = AC , D/ BAC = 90CD,/ BAD = 45/ EDF = 90又由AD丄BC/ ADF ,在厶 BDE 和厶ADF 中，/ B =

13、Z DAF , BD = AD，/BDE =Z ADF，二 BDE ADF , BE = AF，二 AE + AF = AE + BE = AB （定值）. 思考：四边形 AEDF的面积是否也是定值呢？为什 么？例4、如图9，已知AD为仏ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且有 BF = AC , FD = CD，你认为BE与AC之间有怎样的 位置关系？你能证明它吗？ 证明：线段BE丄AC ,理由如下： AD 丄BC ,/ ADB =Z ADC = 90/ FBD +Z BFD = 90在 Rt BDF 和 Rt ADC 中，BF = AC , FD = CD , Rt BDF 也 R

14、t ADC ,/ BFD =Z C,/ FBD + Z C = 9090/ BEC = 180 (/ FBD +Z C) = 18090 即 BE 丄AC.,AC =例 5、如图 10，在 ABC 中，/ ACB = 90BC , M 是 AB 上一点，求证：AM2 BM2 2CM2.点D,CD _CAM D图10证明：过C作CD丄AB于/ ACB = 90 AC = BC ,AB ,./A =Z B = 45 / ACDBCD = 45 / A =Z ACD，/ B = Z BCD , AD = BD , BD = CD，即 AD = BD = CD ,CD 丄 AB , DM 2 CD2

15、CM 2,AM 2 BM 2 (AD DM )2 (BD DM )2 2(DM 2 CD2) 2CM 2.思考：请同学们试试用另外的方法来证明本题A例1、如图5，在 ABC中，AB = AC，点0在厶ABC内， OB = 0C ,求证：A0 丄 BC.证明：延长A0交BC于点D,E AB = AC , OB = OC , OA = OA，二ABO ACO ,/ BAO =Z CAO，即/ BAD =Z CAD , AD丄BC，即AO丄BC.例2、如图6,在等边 ABC中，D、E分别在边BC、BA的延长线上，且AE = BD ,求证：CE =DE.证明：过E作EF丄CD于点F, ABC 是等边三

16、角形，/ B = 60/ BEF =30 BE = 2BF，即 BA + AE = BC + BD = 2BC + CD = 2(BC + CF), CD = 2CF , CF = DF ,在厶 CEF 和厶 DEF 中? CF = DF，/ CFE = Z DFE=90 , EF = EF , CEFDEF，二 CE = DE.例3、如图7,已知在 ABC中，AB = AC , P为底于图7解:连接AP，过点C作CF丄ABI由 S ABC1aB CF， S pab AB PD ,边BC上任意一点，PD丄AB于点D, 丄AC于点E ,求证：PD + PE是一个 值.DFC图8S PACS PA

17、C1AC PE 1AB PE， S abc S pab2 2 ?得： 1AB CF -AB PD 1AB PE，2 2 2 ?即，PD PE CF （定值）.等腰三角形说明：本例的结论可用文字语言叙述为: 底边上一点到两腰的距离之和等于腰上的高.拓展：如果点P不是在边BC上，而是在BC的延长 线上，其它条件保持不变，那么PD与PE之间又有怎样的关系 呢？解：连接AP，过点C作CF丄AB于点F,（如图8）由 S ABC 2aB CF , S PAB fAB PD ,Spac 1AC PE 1AB PE ,2 2 7S ABC S PAB S PAC ,得： 1AB CF 丄 AB PD 1AB

18、PE ,2 2 2 即，PD PE CF （定值）.即，当点P在BC延长线上时，PD与PE之差为 一定值.基础训练：1、填空题：（1） 等腰三角形中，如果底边长为6, 腰长为8,那么周长是。（2）如果等腰三角形有一边长是 6，另一边长是8，那么它的周长是 ；如果等腰三角形的两边长分别是4、8，那么它的周长是。（3） 等腰三角形的对称轴最多有条。2、填空题：（1）如果 ABC是等腰三角形，那么它的边长（或 周长）可以是（）A、三条边长分别是 5，5，11B、三条边长分别是4，4， 8C、周长为14,其中两边长分别是4, 5 D、周 长为24，其中两边长分别是6， 12(2) 等腰三角形一边长为

19、2,周长为5,那么它的腰 长为()A、3B、2 C、1.5D、2 或 1.53、已知等腰三角形的腰长是底边的3倍，周长为35cm, 求等腰三角形各边的长。4、已知：如图，AD平分/ BAC , AB=AC，请你说明 DBC是等腰三角形。x+2y= B5、已知等腰三角形的底边和一腰长是方程组 的解，求这个三角形的各边长。(1) 等腰三角形的顶角平分线、 、 互相重合。(2) 等腰三角形有一个角是120，那么其他两个角的度数是和。(3 ) ABC 中，Z A= Z B=2 Z C，那么 /C=。(4) 在等腰三角形中，设底角为 x，顶角为y，贝9用含x的代数式表示y，得y=;用含y的代数式表示 x，得 x=。2、选择题：(1) 等腰三角形的一个外角为140,那么底角等于( )A、40 B、100C、70D、40或70(2) 等腰三角形一腰上的高线与底边的夹角等于( )A、顶角B、底角C、顶角的一半