人教版九年级下册数学《相似三角形的判定》复习课学案与检测题(含答案)

1、相似三角形的判定本周教学内容：相似三角形的判定重点、难点重点：掌握相似三角形的判定方法。难点：灵活运用相似三角形的判定方法解决有关问题。教学过程（一）复习1. 相似三角形的定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。2. 注意：（ 1）定义中对应角相等，对应边成比例，是指3 组对应角分别相等，三组对应边成比例。（ 2）ABCA B C 读作ABC 相似于A B C ，与全等三角形一样，表示对应顶点的字母应写在对应位置上。（ 3）所谓相似三角形是指两个三角形形状一样，大小不一定一样。（ 4）相似三角形定义本身揭示了相似三角形的性质：相似三角形对应角相等，对应边成比例。（ 5）相似比带

2、有顺序性，如ABCA BC 的相似比为ABBCCAkA BBCC A反过来A B CABC 的相似比为A BBCC A1ABBCCAk（ 6）全等三角形是相似比为1 的相似三角形，但相似三角形不一定是全等三角形。（二）三角形相似的判定方法（ 1）定义法： 对应角相等， 对应边成比例的三角形相似。AAA如图，若，ABB， CC， ABBCCAA BBCCA ，则ABCA BC 。BCBC与三个角对应相等， 三条边对应相等， 两个三角形全等类似， 定义法在计算和证明中一般用得较少。（ 2）三角形相似的判定定理：平行于三角形一边的直线和其他两边 （或两边的延长线） 相交，所构成的三角形与原三角形相似

3、。推理格式：如图ADE / / BC，ADEABC图 2（ 3）判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的DE两个角对应相等，那么这两个三角形相似。推理格式：如图，AA， BB，BCABCA BC。AA简单地说：两角对应相等，两三角形相似。（ 4）判定定理 2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例， 并且夹角相等， 那么这两个三角形相似。BCBC推理格式：如图，AABACAA BAC ，且 AAABCA BC可简单说成：两边对应成比例且夹角相BCBC等，则两三角形相似。（ 5）判定定理 3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。

4、A推理格式：如图5，ABACCBAA BA CCB，ABCA BCBCBC简单地说：三边对应成比例，则两三角形相似。（ 6）直角三角形相似的判定定理：A如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个A直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。推理格式：如图 6在 RtABC 和 Rt A BC中，CBCBCC ABACC90 ，A CA BABCA BC推论：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似（如图） 。ADB说明：灵活运用相似三角形的判定方法解决相关问题，其关键是确定相似三角形，通常按下列思路来分析：1. 有平行线（有时要构造平行线）时，可选择平行

5、法判定三角形相似。2.若已经有一组角相等，可再找另一组角相等，运用判定定理1；或再证明夹这组角的两边对应成比例，运用判定定理2。3.若已知两条对应边成比例，可找夹角相等，运用判定定理2。4. 若是两个直角三角形，可找一对锐角相等或夹直角的两直角边对应成比例，或应用斜边、直角边对应成比例来判定相似。5. 利用相似三角形的传递性证相似，如：若 ABCA1 B1 C1 、 A1B1C1 A2 B2C2 ，则 ABCA2 B2C2。6. 注意：仅两边成比例，一对角相等的三角形不一定相似。【典型例题】例 1.如图 8，四边形 ABCD的对角线相交于点 O， BACDACCBD 。分析： 欲证DACCBD

6、 ，可寻求它们所在的三角形OAD 与OBC 相似，BAODO而 AODBOC ，故只需证 BOCO ，AODO由已知可得AOBDOC ，从而有 BOCO 成立。证明：AOBDOC， BACCDBAOBDOC ，AODOBOCOAODBOCAODBOC，DACCBD说明： 由于相似三角形的对应角相等，所以经常运用此法证明角的相等。例 2. 如图 9，平行四边形 ABCD中， E 是 AB延长线上一点，连结DE，交 AC于 G，交 BC于 F，那么图中相似三角形 （不含全等三角形）共有（）对。A. 6B. 5C. 4D. 3ECDB。求证：ADOCADGBFC分析： 找相似形一找平行线、二找角相等

7、、三找线段成比例，本题只能从前两方面入手。解：AE / / DC，AEGCDG， DFCEBFBC / / AD，BFEADE， FCGDAGBEFAED， BEFCDFAEDCDF 共有 5 对，选 B。例 3.已知：如图10，ABCCDB90 ， ACa， BCb ，（ 1）当 BD与 a、 b 之间满足怎样的关系时，ABCCDB？Ca（ 2）当 BD与 a、 b 之间满足怎样的关系时，ABCBDC ？Ab（ 3）当 BD与 a， b 之间满足怎样的关系时，这两个三角形相似？解：（ 1）ABCCDB90BDACBC当 BCBD 时， ABCCDBabABCCDB，b 2即 bBDBD 时，

8、ab2BDa 时，ABCCDB故当（ 2）ABCCDB 90 ，ABAC当 BDBC 时， ABCBDCa 2b 2a即 BDb 时，ABCBDCBDba2b2ab a 2b2BDaABCBDC当时，（ 3）综合（ 1），（ 2）可知：BDb 2BDba 2b 2当a或a时这两个三角形相似。【模拟试题】（答题时间： 20 分钟）一 . 选择题：1. 在直角三角形中，两直角边分别为3、 4，则这个三角形的斜边与斜边上的高的比是（）25555A.12B. 12C.4D.32.ABC 中，D是 AB上的一点，在 AC上取一点 E，使得以 A、D、E 为顶点的三角形与ABC相似，则这样的点的个数最多是

9、（）A. 0B. 1C. 2D. 无数3.FC1 BCA如图 1，正方形 ABCD中， E 是 CD的中点，4，下面得出六个结论：（ 1）ABFAEF ；（ 2）ABFECF ；（ 3）ABFADE ；（ 4）AEFECF ；（5）AEFADE ；（ 6）ECFADE 。其中正确的个数是（）A. 1个B.3 个C.4 个D.5 个B4.（哈尔滨市，2002）已知，如图 2，ABC中， P 为 AB上一点，在下A列四个条件中：（1）ACPB ；（2）APCACB ；（ 3）AC2AP AB；（）AB CPAP CB 。能满足APCACBP和相似4的条件是（）BA.（ 1）（ 2）（ 4）B.（

10、1）（ 3）（ 4）AC.（ 2）（ 3）（ 4）D. （ 1）（ 2）（ 3）图 25. 如图 3，正方形 ABCD的对角线 AC、 BD相交于点 O，E 是 BC的中点， DE交 AC于 F，若 DE12，则 EF 等于（）OA. 8B. 6C. 4D. 3BE二.解答题：1.已知：ABC 中， BAC90 ，AD BC 于 D， E为 AC中点， ED的延长线交 AB 的延长线于 F。求证：（1） FD 2FB AF ；（2） AB AF AC DF 。DEFCCDFC2. 如图 4，ABC 中， ACB 90，CDAB 于 D，E 是 CD 的中点， AE 的延长线交BC于 F， FH

11、AB ，垂足为 H，若 CF3， FB12 ，求 FH。图 43.如图 5，N为求证： AB AEABC 的边 BC上一点，BC NE。BNAB ，D为AC的中点，并且AAN交BD于E。DEBNC图54.在ABC 中，ABC90 ，ABBC ，延长 BC至 E，使 CE 2 BC ，D 为 EC中点。求证：CADCEA 。【试题答案】12一. 1. A（可求斜边长为5，斜边上的高为5 ）2. C（可作 DE / /BC或ADEC ）3. B（设 CD=4，则 AE 220， EF 25，AF 225AF 2AE 2EF 2AEF90，从而得ADEECF又 AE2 20 AF ADAEADAFA

12、ERt ADERt AEF ，由传递性AEFECF 。故（ 4）、（ 5）、（6）正确。）4. D5. C （连结 OE，则 OE/CD 且OE1 CD2EFOE1由 DFCD2得 EF4 ）二 . 1. （1） E 为 AC中点， AD BCEDEC ，故EDCECD又FDBEDC， ECDFAD故FDBFAD而FF ，FBDFDAFDFBBDFAFDADFD 2FA FB（ 2）易得ABDCBABDAB ，FDABADACFAACFDACFA AB2. 延长 AC、 HF 交于 G。先证GCFBHF ，可得CFFB FH GFCEAEDE由 E 为 CD的中点得， GFAFFHFHGF ，FH 2CFFBF