函数解析式的七种求法

1、函数解析式的七种求法一、待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。例 1设 f (x) 是一次函数，且 f f ( x)4x3 ，求 f (x)解：设 f ( x)axb(a0) ，则f f ( x)af ( x)ba(axb)ba2 xabba24a2a2ab b3b或b31f (x) 2x 1或f ( x)2 x 3二、配凑法：已知复合函数 f g( x) 的表达式，求 f (x) 的解析式， f g (x) 的表达式容易配成 g( x) 的运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数 f ( x) 的定义域不是原复合函数的定义域，而是 g( x) 的值域。例 2已知 f (x1

2、)x 21(x0)，求 f ( x) 的解析式xx 2解：f ( x1 ) ( x1 ) 22 ， x12xxxf ( x)x 22( x2)三、换元法：已知复合函数 f g ( x) 的表达式时，还可以用换元法求 f (x) 的解析式。与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。例 3 已知 f ( x 1)x2 x ，求 f ( x 1)解：令 tx1，则 t1， x(t1) 2Qf ( x1)x2xf (t )(t1) 22(t1)t 21,f (x)x 21(x1)f (x 1) ( x 1) 21 x22x ( x 0)四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入

3、法。例 4 已知：函数 yx 2x与 yg (x) 的图象关于点 ( 2,3) 对称，求 g( x) 的解析式解：设 M ( x, y) 为 yg (x) 上任一点，且 M ( x , y ) 为 M (x, y) 关于点 ( 2,3) 的对称点xx22xx4则，解得：6，yyyy23点 M ( x , y ) 在 yg ( x) 上y x 2 xxx 4把代入得：y6y6 y( x4) 2( x 4)整理得 yx 27 x6g( x)x27x6五、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。例 5 设 f (x)满足 f (

4、x)2 f ( 1 ) x, 求 f ( x)x解f ( x) 2 f ( 1 )x x显然 x0,将 x 换成 1 ，得：xf (11)2 f ( x)xx解 联立的方程组，得：f ( x)x233x例 6设 f (x) 为偶函数， g(x) 为奇函数，又 f (x) g( x)1 , 试求 f (x)和 g( x) 的解析式x1解f ( x) 为偶函数， g( x) 为奇函数，f ( x)f ( x), g (x)g ( x)又 f ( x)1 ，g( x)x1用 x 替换 x 得： f ( x) g ( x)1x 1即 f ( x)g( x)1x1解 联立的方程组，得f (x)1g (x

5、)1，xx21x2六、赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。例 7已知：f (0)1，对于任意实数x、y，等式f ( xy)f ( x)y(2 xy1) 恒成立，求f (x)解Q 对于任意实数 x、y，等式f (xy)f ( x)y( 2xy1) 恒成立，不妨令 x0 ，则有f (y)f (0)y(y1)1y( y1)y 2y1再令yx得函数解析式为：f (x)x2x1七、递推法：若题中所给条件含有某种递进关系，则可以递推得出系列关系式，然后通过迭加、迭乘或者迭代等运算求得函数解析式。例 8设 f ( x)是定义在N上 的 函 数 ， 满 足 f (1)1 ， 对 任 意 的 自 然 数 a, b都 有f (a)f (b)f (a b)ab ，求 f ( x)解f (a)f (b)f (ab)ab， a, bN，不妨令 ax, b1，得： f ( x)f (1)f ( x1) x ，又 f (1) 1, 故 f (x1)f ( x)x1分别令式中的 x1,2Ln1得：f (2)f (1)2,