初中因式分解详解及提高篇

1、因式分解详解及提高篇及练习因式分解作为初中代数中一门重要的内容，在因式分解之前的整式运算是因式分解的反方向，而一元二次方程则是以因式分解作为基础，因式分解起到了承上启下的作用，而且因式分解学习的好坏不仅影响到对方程的了解，同时对今后高中学习内容也会有或多或少的影响，学好因式分解十分重要。1. 提公因式法（所有学生必须掌握）典型形式： ma mb mc m(a b c)注意上面的 m 是一个数也可以是一个整式，再比如( xy)a(xy)b( xy)c(xy)(abc)2. 平方差（所有学生必须掌握）典型形式： a2b2(ab)( ab)同样上面的a、 b 既可以是数也可以是一个整式3. 配方法（

2、所有学生必须掌握）对于因式分解的配方法主要是搭配平方差进行应用，比如下面的两个例子x26x 8 ( x2 +6x9) 1( x 3)2 1 ( x 2)( x 4)祖冲之杯奥赛题： x47 x21（这个问题在下面的试根法中叙述会更好，所以在这里不给出具体做法）4. 十字相乘法（所有学生必须掌握）十字相乘法是初中数学中因式分解的难点和重点，在此首先说明x2 前系数为 1 的处理方法， 我们先观察整式运算 ( xa)( x b)x2(ab)xab通过上面的式子可以看出x 的一次项是a b ，纯数的那一项是ab ，所以可以进行猜测试a、 b 的值，一般是根据 ab 项进行推测，要是用ab推测会很麻烦

3、。举个例子： x26x 8 ，在这其中先猜8的由来， 8 只能是 18 和 2 4 （分式什么的不讨论） ，而 1 89 不符合，所以只能是( x+2)( x4)批注：通过上面的3 的叙述可以知道，其实只要能用十字相乘法解决的问题，都是可以用配方法和平方差两种方法综合起来解决，而且可以发现，利用配方法和平方差更为简单，不用动脑，但是计算量可能会大一点。当 x2 前的系数不为1 的时候，就应该从十字相乘法的原理入手，十字相乘法的图示如下图所示：(axm)(bxn)axmbxn2abx(an bm)x mn图 1我们来看看整式运算图 2 是一个整式运算的规则，其中的 ax要与另一个括号里的所有数相

4、乘，在图 1 中的箭头也是分别指向bx、 m ，同理 n 也是如此。那么这种前面的系数不为1 到底该怎么做呢？同前面的x2 系数为 1 一样，我们也可以从乘作为入手点，但是需要考虑的就不仅仅是纯数的加减来凑x前面的系数，因为x 前面的系数与 a、 b 也是有关的。 举个例子来说2x27 x3，首先从积来看，212 ， 31 3 ，总共有四组数，怎么样两两相乘之后的两个数加起来是7 ？可以想到 231 17 ，这说明 2x 和 3 是不会在一个括号里的因为前面的图2 中可以知道， a 是没有办法乘到b 的，所以 2x 和 3 不会在一个括号里，也即2x27x3(2 x1)(x3)批注：对于系数不

5、为1 的问题其实是可以化为系数为1 来进行计算的，为什么这么说， 就拿 (2 x1)( x3)来说，可以提出一个2，则写成 2( x+ 1 )( x3) ，具体做法如下所示：22x27x 3 2( x27 x3 )2233 2 不合理的，因为 x 前面的系数7 ，怎么可能是注意猜分数的积的时候不要乱猜，比如上面的猜242？3或者 3=31 ，于是就可以得出，所以可以猜 3 =1422222( x27 x3 )=2( x1)( x3) ，再把 2 乘进去就可以了。2225. 换元法（对于想考到 90 分以上的学生可以学习，满分 120）所谓换元就是将整式中的一部分利用一个字母进行代换，从而减小因

6、式分解的运算难度。例 1： ( x2x1)(x2x2)12本题中要是直接展开这些式子进行因式分解会很难算，而且不容易处理式子之间的联系，那么这题该怎么处理呢？答，换元！可以发现上面括号里都有x2x 这一项，所以可以令tx2x ，代入上式中可以知道(t1)(t2)12 t5 (t2)代换回来有 t 5 (t2)( x2x5)(x2x 2)( x2x 5)(x2)( x 1)需要注意的问题是换元在代换回来的时候要注意是否还可以进行因式分解，因为要是没有分解到不能分解，因式分解就是不正确的，所以一定要进行验证。6. 试根法（对于想考到 90 分以上的学生可以学习，满分 120）所谓试根法其实很简单，

7、我们先来看一下因式分解最后的形式：( x2x5)( x2)( x1) 可以知道，要是我们把这个式子看成一个方程，也即( x2x5)( x2)( x1)0 ，当 x 取2 或者是 1 的时候等式都是成立的，因为0？=0 ，所以对于某些高次因式分解可以使用换元的方法处理，比如x33x2先进行试根，假设x1 ，可以发现 1320 ，等式成立，所以必有x1 这一项，因为1 10 ，于是根据这个思想，我们就应该去凑x1着这一项，具体步骤如下x3 3x 2x3x2x23x 2x2 ( x 1)x2x x 3x 2x2 ( x 1)x( x 1) 2( x 1)(x2x2)(x1)(x2)( x1)2上面的

8、每一步都是在凑x1这一项，只要利用提公因式法将这些式子提出即可。批注：一般题目在考试根法的时候，根的大小不会很大，一般在55 左右，也可能是分数，但是不会很难猜，要是试了几次还不出来，说明这个问题不是用试根法处理，比如上面配方法里叙述的祖冲之杯那道奥数题 x47x21这道题试根法就没办法做，那么这题该怎么做呢？十字相乘也没法做？前面的叙述中可以知道，其实十字相乘法可以转化为配方法和平方差法，那我们可以试试配方法和平方差结合的方法x47 x21x47 x24945 ，显然不对， 因为结果太难看， 一般奥数题是难， 但是结果不会很难看，44所以这样分是有问题的，那么该怎么分？答案 : x42x21

9、9x27. 双十字相乘法 （对于想考到 110 分以上的学生可以学习，满分 120）所谓双十字相乘法就是十字相乘法的延伸，它的基本形式是(abc)(xyz)由于前面对十字相乘法进行了很系统的讲解，在此只叙述具体该怎么做这些题目。例 1： a22b23c23ab4ac5bc首先观察式子， a23ab2b2 中是不含 c 的，所以将其进行因式分解有a23ab2b2(ab)(a2b) ，此时再对 c进行因式分解就涉及到双十字相乘法，同样先看积3c23cc ，所以按照十字相乘法的原理画出图示（不理解可以看上面十字相乘法中的图1、图 2）a b3ca2bc4ac 7bc不符合题意！换位置继续计算！ ！a

10、 bca 2b3c4ac 5bc符合题意！所以答案为 ( abc)( a2b3c)小结：以上是十字相乘法中常用的方法，对于竞赛所用的方法也都进行和涵盖，还有8、整式除法 , 感兴趣的学生可以去问老师，这个东西老师都懂，会整式除法主要是在试根法上不需要进行拼凑，这样有助于提高计算效率。因式分解培优练习题1若，则的值为（）AB5CD 22是完全平方式，则m=（）。2若 x +mx+1A、 2B、 -2C、 2D、 43若 a b3, ab 2 ，则 a2b2， a b 24已知 a1=3，则 a2 1的值等于aa 25如果 x2 kx9y2 是一个完全平方式，则k _；a b16若，则 a2 b2

11、；7下列变形，是因式分解的是（）A( x4)(x4)x216B x23x16 (x2)( x5)6C x216 ( x4)( x4)D x26x16 ( x 8)( x 2)8下列各式中，不含因式 a 1的是（）3 a2a25a3 a22a 3 a24a 3 a21ABCD229下列各式中，能用平方差分解因式的式子是（） a216B a2b24a3( ab)227 a3b3ACD10若 mn10 ， mn24 ，则 m2n2.11已知 ab9， ab3 ，求 a23abb2 的值.12已知： x x1x 2y2 ，则 x 2y 2xy =.213 8(172 )(174 )(178 )(1 7

12、16 ) 的结果为.14因式分解（ 1） a2 (xy) 3b( yx) 2 ；（ 2） 2x4 y4x2 y 32x 3 y 212xy4 ；（ 3） ( x2y)2 64 x2（4）2xn6xn 18xn 2（ 5） 4x224xy36y2（ 6）（ x2+y 2 ） 2 -4x 2 y22222（ 7） 9 a b6 a b 1（ 8） 3 p x 1 y6 p x 1 y 3p x 1（ 9） x2-7x+12；（ 10）（ y2 +y）2+7（ y2 +y） -18ab3（ 11）11111111112232429921002（ 12）_15已知 a 2b216a 8b 80 0 ，

13、求代数式 ba 的值。ab16、求证：不论x、 y 为何有理数，x2y210x8 y45的值均为正数。17、若 a 为整数，证明 2a 121能被 8 整除。20023220022200022、已知二次三项式ax2bx1 与 2x23x1 的乘积展开式中不含x3 项，也不含x 项，求 a、 b 的值。23、已知 3x312 x217x10 能被 mx2mx2 整除，其商式为x5n ，求 m、 n 的值。24、现规定一种运算ababab ，其中 a， b 为实数，则 abbab 等于多少？25、当 a、 b 的值为多少时，多项式a2b23a6b25 有最小值，并求出这个最小值。18、计算：200

14、2320022200326、若一个三角形的三边长a， b， c，满足 a22b2c22ab2bc0 ，试判断三角形的形状。19已知：x 2y 26 y2x100 ，则 x_， y_。20已知： a 、 b 、 c是三角形的三边，且满足a 2b2c 2abbcac0 ，判断该三角形的形状21已知x2x，求 x 21的值。310x 227、已知 a、 b、 c 分别为 ABC 的三边，你能判断 a22c224a22的符号吗？bb因式分解小结【知识精读】因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，它和整式乘法互为逆运算，在初中代数中占有重要的地位和作用，在其它学科中也有广泛应用，学习本章知识时，

15、应注意以下几点。1. 因式分解的对象是多项式；2. 因式分解的结果一定是整式乘积的形式；3. 分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止；4. 公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式；5. 结果如有相同因式，应写成幂的形式；6. 题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解；因式分解的一般步骤是：（ 1）通常采用一“提” 、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；（ 2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、

16、拆项（添项）等方法；1. 分解因式：（1） 3x510x48x 33x 210x 8（ 2 ） (a 23a3)( a23a1)5（ 3） x22 xy3y 23x5y2（ 4 ） x37 x6【分类解析】1. 通过基本思路达到分解多项式的目的分解因式 x5x 4x 3x 2x 12. 通过变形达到分解的目的分解因式 x 3 3x 2 43. 在证明题中的应用求证：多项式( x 24 )( x210x21)100的值一定是非负数4. 因式分解中的转化思想分解因式：(a2bc) 3(ab) 3( bc) 3其它：1、利用因式分解说明： 367-612 能补 140 整除2. 已知： x12，则x

17、 31_xx 33、 若 x 为任意整数，求证：(7x)( 3x)( 4x2 ) 的值不大于100。4、 已知： xy6， xy1，求： x3y 3 的值。5 、 若 x 为任意整数，求证：(7x)( 3x)( 4x2 ) 的值不大于100。因式分解小结【知识精读】因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，它和整式乘法互为逆运算，在初中代数中占有重要的地位和作用，在其它学科中也有广泛应用，学习本章知识时，应注意以下几点。1. 因式分解的对象是多项式；2. 因式分解的结果一定是整式乘积的形式；3. 分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止；4. 公式中的字母可以表示单项式，也可以表示

18、多项式；5. 结果如有相同因式，应写成幂的形式；6. 题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解；7. 因式分解的一般步骤是：（ 1）通常采用一“提” 、二“公” 、三“分” 、四“变”的步骤。即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；（ 2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法；下面我们一起来回顾本章所学的内容。【分类解析】1. 通过基本思路达到分解多项式的目的例 1. 分解因式 x 5x 4x 3x2x1分析：这是一个六项式，很显

19、然要先进行分组，此题可把x 5x 4x 3 和x2x 1 分别看成一组，此时六项式变成二项式，提取公因式后，再进一步分解；也可把x5x 4 ， x 3x 2 ， x1分别看成一组，此时的六项式变成三项式，提取公因式后再进行分解。解一：原式(x5x43)(x2x1x)x 3 (x 2x1)(x 2x1)(x 31)( x 2x1)(x1)( x 2x1)( x2x1)解二：原式=( x54)( x3x2)(x1x)x 4 ( x1)x 2 (x1)( x1)(x1)( x 4x1)(x1)( x 42x21)x 2 (x1)( x 2x1)( x2x1)2. 通过变形达到分解的目的例 1.分解因

20、式 x 33x 24解一：将 3x 2 拆成2x 2x2 ，则有原式x 32x 2(x 24)x 2 (x2)(x2)( x2)( x2)( x 2x2)( x 1)( x2) 2解二：将常数4 拆成13 ，则有原式x 31( 3x 23)( x1)( x2x1)(x1)(3x 3)( x1)( x24 x4)( x1)( x2) 23. 在证明题中的应用例：求证：多项式( x 24)( x 210x21)100 的值一定是非负数分析：现阶段我们学习了两个非负数，它们是完全平方数、绝对值。本题要证明这个多项式是非负数，需要变形成完全平方数。证明： ( x24)( x210x21100)(x2)

21、( x 2)( x3)( x7)100(x2)( x 7)( x2)( x3)100(x 25x14)( x 25x6)100设 y25xx ，则原式( y14)( y 6) 100y 28y 16 ( y 4) 2无论 y取何值都有 ( y4) 20( x 24)( x 210x21)100的值一定是非负数4. 因式分解中的转化思想例：分解因式： (a 2 b c) 3(a b) 3(b c) 3分析：本题若直接用公式法分解，过程很复杂，观察a+b， b+c 与 a+2b+c 的关系，努力寻找一种代换的方法。解：设 a+b=A， b+c=B，a+2b+c=A+B原式 (AB) 3A 3B 3

22、A33A 2B3AB 2B 3A 3B 33A 2B3AB 23AB(A B)3(ab)(bc)( a2 bc)说明：在分解因式时，灵活运用公式，对原式进行“代换”是很重要的。中考点拨：例 1.在ABC 中，三边 a,b,c 满足 a216b 2c26ab 10bc 0求证： ac2b证明：a216b 2c26ab10bc0a 26ab 9 b 2c210bc25b 20即 ( a3b )2(c 5b) 20( a 8bc)( a2bc)0abca8bc，即 a8bc 0于是有 a2bc0即 a c 2b说明：此题是代数、几何的综合题，难度不大，学生应掌握这类题不能丢分。例 2. 已知： x1

23、2，则 x 31_xx 3解： x 3 1( x1)(x 21 1 )x 3xx( x11)22 1)( xxx212说明：利用 x 21(x1) 22 等式化繁为易。x 2x题型展示：1. 若 x 为任意整数，求证：(7x)( 3x)( 4x 2 ) 的值不大于100。解：(7x)(3x)(4x2 )100(x7)(x2)( x3)( x 2)100(x 25x14)( x 25x6)10032230( x 25x)8( x25x)163. 矩形的周长是28cm，两边 x,y 使 xx yxyy，求矩形的面积。(x 25x4) 20(7 x)( 3x)( 4x2 )100说明：代数证明问题在

24、初二是较为困难的问题。一个多项式的值不大于把它们的差用因式分解等方法恒等变形成完全平方是一种常用的方法。2. 将 a2(a1) 2(2) 2分解因式，并用分解结果计算 627 2aa解： a 2(a1) 2(a2a) 2a2a 22a1 (a 2a) 22( a 2a)1(a 2a) 2(a 2a1) 2627 2422(3661) 24321849说明：利用因式分解简化有理数的计算。【实战模拟】1. 分解因式：（1） 3x510x48x 33x 210x 8（ 2 ） (a 23a3)( a23a1)5（ 3） x22 xy3y 23x5y2（ 4 ） x37 x6100 ，即要求它们的差小

25、于零，422 。4.求证： n35n 是 6的倍数。（其中 n 为整数）5. 已知： a、 b、 c 是非零实数，且2b2c2111111，求 a+b+c 的值。a1，a() b(c) c(a) 3bcab6. 已知： a、 b、 c 为三角形的三边，比较a2b2c2和4 22的大小。ab【试题答案】331. （ 1）解： 原式x3 (3x 210x8)(3x 210 x 8)2. 已知： x y 6，xy，求：xy的值。1(x 31)( 3x 210x8)(x1)( x 2x1)( x4)( 3x2)（ 2）解： 原式( a2332315a)( aa) (a 23a) 22( a23a)8(

26、a 23a4)( a 23a2)(a4)( a1)(a1)( a2)（ 3）解： 原式( x3y)( xy)3x 5y 2(x3y1)(xy2)x-3y1x+y2（ 4）解： 原式7 x 36x 37x67x 37x6x367x(x 21)6( x31)7x(x 1)( x1)6(x1)( x 2x 1)(x1)( 7x27x6x 26x6)(x1)( x 2x6)(x1)( x3)( x2)2. 解： x 2y 2( x y) 22xy36238x3y 3( xy)( x 2xyy2 )6(381)2343. 解： x 3x2 y xy 2y30( x 3y3 ) xy (x y) 0即 (

27、 xy) 2 (x y)0xy0又xy14xy7面积为 49cm 24. 证明： n 3 5nn 3n6nn( n1)( n1)6n当 n为整数时， n( n1)( n1)是 6的倍数。n 35n是 6的倍数5. 解：abc0， 用 abc 乘以第二个条件等式的两边，得：a 2ca2 bab 2b2 c bc2ac23abc即ab(ab)bc(bc) ac(ac)abcabcabc 0( abc)(abbcac)0则abc或abbcac00若abbcac0则( abc) 2(a 2b2c2 )2(ab bcac)0a 2b 2c 21( abc) 21abc1说明：因式分解与配方法是代数式化简

28、与求值中常用的方法和手段，应当熟练掌握。6. 分析：比较两式大小最基本的方法是作差看它们与零的大小。解： ( a2b 2c2 ) 24a2 b 2(a 2b2c22ab)( a 2b 2c 22ab)( ab) 2c2 ( a b) 2c 2 (ab c)( abc)( abc)( ab c)a, b, c为三角形三边，且由三角形两边之和大于第三边可知a b c 0，a b c0，ab c 0 ，a b c 0(a 2b 2c2 ) 4a2 b 20a 2b 2c24a2 b 2因式分解培优提高题1、因式分解：（ 1） x34x（2） 8a42a2（3） m2n23m 3n（ 4） x22xy

29、 y24（ 5） 2x25xyx（ 6） 2x2 y5xy2xy（7）4x46x32x2（ 8）4 x4 y 6x2 y3 2xy4（ 9） 2a x2 y3b x2 y（ 10） 2a x 2 y 3b 2 y x 4c x 2y22（11） 4 a 2b9 2a b（ 12） 9 a b6 a b 1（13）1 x21 xy1 y2243922（ 14） 3 p x 1 y26 p x 1 y 3p x 12、求证：不论x、 y 为何有理数，x2y 210x8 y45 的值均为正数。3、若 a 为整数，证明 2a 121能被 8 整除。2002322002220004、计算：200232002220035、已知 a22ab26b100 ，求 a、 b 的值。6、计算：先化简，再求值： x 2 y 2x 4 y9x3 y 12xy33xy23xy ，其中 x1, y 237、下列运算正确的是（）、a63a18、a6a 3a9、6a3a2、a 6a 3a9AaBCaD8、下列运算中，正确的是（）、x23x6、23x25x2、x2 3x8D、 x y 2x2y2AxB 2xC9、下列多项式中，能够因式分解的是（）A、 x2y2B、 x2xyy2C、 p2p1D、 m