导数及其应用.板块三.导数的应用1-导函数图象及单调性.学生版

1、板块三 .导数的应用知识内容1利用导数判断函数的单调性的方法：如果函数yf ( x) 在 x 的某个开区间内，总有f ( x)0 ，则 f ( x) 在这个区间上是增函数；如果函数yf (x) 在 x 的某个开区间内，总有f ( x)0 ，则 f (x) 在这个区间上是减函数2利用导数研究函数的极值：已知函数 y f (x) ，设 x0 是定义域内任一点，如果对 x0 附近的所有点 x ，都有 f ( x) f ( x0 ) ，则称函数 f ( x) 在点 x0 处取极大值，记作 y极大 f ( x0 ) 并把 x0 称为函数 f ( x) 的一个极大值点如果在 x0 附近都有 f ( x)

2、f (x0 ) ，则称函数 f (x) 在点 x0 处取极小值，记作 y极小 f (x0 ) 并把 x0 称为函数 f (x) 的一个极小值点极大值与极小值统称为极值极大值点与极小值点统称为极值点3求函数 yf ( x) 的极值的方法：第 1步 求导数 f ( x)；第 2步 求方程 f ( x)0 的所有实数根；第 3 步 考察在每个根 x0 附近，从左到右，导函数f (x) 的符号如何变化如果f (x) 的符号由正变负，则 f (x0 ) 是极大值；如果由负变正，则f ( x0 ) 是极小值如果在f ( x) 0 的根 x x0 的左右侧，f ( x) 的符号不变，则f ( x0 ) 不是

3、极值4函数 f ( x) 的最大（小）值是函数在指定区间的最大（小）的值求函数最大（小）值的方法：第 1 步 求 f ( x) 在指定区间内所有使f ( x)0 的点；第 2 步 计算函数 f (x) 在区间内使 f ( x) 0 的所有点和区间端点的函数值，其中最大的为最大值，最小的为最小值典例分析题型一：原函数与导函数的图象【例 1】函数 f ( x) 的导函数图象如下图所示，则函数f (x) 在图示区间上（）yOxA 无极大值点，有四个极小值点B有三个极大值点，两个极小值点C有两个极大值点，两个极小值点D有四个极大值点，无极小值点【例 2】函数 f ( x) 的定义域为开区间(a ，b)

4、 ，导函数f ( x) 在 (a ，b) 内的图象如图所示，则函数f (x) 在1开区间 (a ，b) 内有极小值点（）A1 个B2 个C3 个D4 个ybaOx【例 3】 若函数 f ( x)2bxc 的图象的顶点在第四象限，则函数f ( x) 的图象不过第几象限 ?x【例 4】 若函数 f ( x)x2bxc 的图象的顶点在第四象限，则函数f ( x) 的图象可能为（）yyyyOxOxOxOxA.B.C.D.【例 5】汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间 t 的函数，其图象可能是（）ssssOt OtOt OtA.B.C.D.【例 6

5、】 设 f ( x) 是函数 f (x) 的导函数， yf ( x) 的图象如下图所示，则 yf ( x) 的图象可能是（）yO12x- 1yyyyOxO 12O 12 x1 2xO12xA.B.C.D.【例 7】 已知函数 fx 的导函数 fx 的图象如右图所示， 那么函数 fx 的图象最有可能的是 （）2yf (x)O1x- 1【例 8】 已知函数 yxf ( x) 的图象如右图所示（其中f ( x) 是函数 f (x) 的导函数），下面四个图象中yf (x) 的图象大致是（）y1- 2- 1 O12x- 1yyyy22221111-2-1 O12x-2 -1O 1 2x-2-1 O1 2

6、x- 2 - 1 O 1 2x- 1- 1- 1- 1- 2- 2- 2- 2A.B.C.D.【例 9】f ( x) 是 f (x) 的导函数， f ( x) 的图象如图所示，则f ( x) 的图象只可能是（）yO2 xyyyyO2 x O2 x O2 xO2 xA.B.C.D.【例 10】 如果函数 yf x 的图象如图，那么导函数y f (x) 的图象可能是（）3yy=f(x)xyyyyxxxxABCD【例 11】 设 f ( x) 是函数f (x) 的导函数，将 yf (x) 和 yf ( x) 的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）yyyyOxOxOxOxA.B.C.D.【例

7、 12】 如图所示是函数yf ( x) 的导函数 yf ( x) 图象，则下列哪一个判断可能是正确的（）y- 23O24 xA 在区间 ( 2 ，0) 内 yf ( x) 为增函数B在区间 (0 ，3) 内 yf (x) 为减函数C在区间 (4 ，) 内 yf (x) 为增函数D当 x2 时 yf (x) 有极小值【例 13】 如果函数 yf (x) 的导函数的图象如图所示，给出下列判断：4y3- 3- 2 - 1 1 01245x2函数 yf ( x) 在区间3 ,1内单调递增；2函数 yf ( x) 在区间13内单调递减；,2函数 yf ( x) 在区间 (4 , 5)内单调递增；当 x

8、2 时，函数 yf (x) 有极小值；当 x1时，函数 yf ( x) 有极大值；2则上述判断中正确的是_【例 14】 函数 f ( x)x3x21的图象大致是（）2yyyyOxOx1xOOxABCD【例 15】 已知函数的图像如下图所示，则其函数解析式可能是（）A f xx2B f x2ln xx ln xC f xxln xD f xx ln xyO1x【例 16】 函数 f ( x)(x22 x)ex 的图象大致是（）5yyyyOxOxOxOxABCD【例 17】 如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记t 时刻五角星露出水面部分的图形面积为S t S 00 ，则导

9、函数 yS t 的图像大致为（）【例 18】 函数 y2 xx2 的图像大致是（）【例 19】 已知函数f (x) 的导函数f ( x) 的图象如图所示，那么函数f ( x) 的图象最有可能的是（）【例 20】 已知 R 上可导函数f (x) 的图象如图所示，则不等式( x22x3) f (x)0 的解集为（）A(,2)(1,)B(,2)(1,2)6C(,1)( 1,0)(2,)D(,1)(1,1)(3,)y1- 2- 1O2x【例 21】 己知函数 f xax3bx2c ，其导数 f ( x) 的图象如图所示，则函数 f x 的极小值是（）A a b cB 8a 4b cC 3a 2bD c

10、yO12 x题型二：函数的单调性【例 22】 函数 y 4 x21 的单调增区间为（）xA (0， )B 1，C (， 1)D， 122【例 23】 下列函数中，在区间(1，) 上为增函数的是（）A y2x1B yxxC y( x 1)2D ylog 1 (x 1)12【例 24】 函数 f ( x)x ln x( x0) 的单调递增区间是【例 25】 三次函数 yf (x)ax31在 (，) 内是减函数，则（）A a 1B a 2C a 0D a 0【例 26】 函数 f ( x)2(x 1) 的单调递减区间是 _x【例 27】 函数 f ( x)x33x21 是减函数的区间为（）A (2，

11、 )B ( ，2)C ( ，0)D (0 ，2)【例 28】 函数 yx cos xsin x 在下面哪个区间内是增函数（） 3B (，2 )3 5D (2 ，3)A ，C，2222【例 29】 若 yax 与 yb 在 0，上都是减函数，对函数y ax3bx 的单调性描述正确的是（）x7A 在，上是增函数B在 0，上是增函数C在，上是减函数D在，0上是增函数，在0 ，上是减函数【例 30】 函数 fx3a248 b 3xb 的图象关于原点中心对称，则fx（）ax1 xA 在43，3上为增函数4B在43，3上为减函数4C在43 ，上为增函数，在，43上为减函数D在，43上为增函数，在43，上为

12、减函数【例 31】 若 f ( x)32cxd (a0) 在 R 上是增函数，则（）axbxA b 24ac 0B b 24ac 0C b23ac 0D b 23ac 0【例 32】 若 f ( x)12b ln( x2)在 (1，) 上是减函数，则 b 的取值范围是（）2xA 1， )B( 1， )C( ，1D (， 1)【例 33】 函数 fxx2（）x 1A 在 0，2上单调递减B在，0和2 ，上单调递增C在0，2上单调递增D在，0和2 ，上单调递减【例 34】 若函数 fx2x，则 f x （）A在 (1x2B在 (，) 单调增加，)单调减少C在 ( 1 ，1) 单调减少，在 (， 1

13、)与 (1，) 上单调增加D在 ( 1 ，1) 单调增加，在 (， 1)与(1，) 上单调减少【例 35】 已知函数 f (x)1x3x2ax5 ，若 f (x) 的单调递减区间是 (3 ，1) ，则 a 的值是3【例 36】 已知函数f ( x)1 x3x2ax5 ，若 f (x) 在 1，) 上是单调增函数，则a 的取值范围3是【例 37】 已知 y1x3bx2(b2) x3是 R 上的单调增函数，则b 的取值范围是（）A b3B b 1 或 b 21 或 b2C 1 b 2D 1 b 2【例 38】 若函数 h( x)2xkk 在 (1,) 上是增函数，则实数k 的取值范围是（）A 2,

14、)x3B2,)C (,2D (, 2【例 39】 已知 h( x)2xkk ， g (x)h(x)ln x ，且 g( x) 在 (1,) 上是增函数， 则此时实数 k 的取值x 3范围是 _8【例 40】 若函数 f ( x)x3ax21 在 (0 ，2) 内单调递减，则实数a 的取值范围是（）A a 3B a 3C a 3D 0 a 3【例 41】 若函数 f ( x)3ax21 的单调递区间为 (0 ，2) ，则实数 a 的取值范围是（）xA a 3B a 3C a 3D 0 a 3【例 42】 已知函数 f (x)4 xax22x3 在区间1 ，1上是增函数，则实数 a 的取值范围为

15、_3【例 43】 若函数 f ( x)4 xax22x3 在区间 (， 2)与 (2，) 上都是减函数， 则实数 a 的取值范围为_3【例 44】 函数 y21的单调增区间为（）4 xxA(0,)B 1,C (, 1)D,122【例 45】 对于 R 上可导的函数 f (x) ，若满足 ( x 1) f ( x) 0 ，则必有（）A f (0)f (2)2 f (1)B f (0)f (2) 2 f (1)C f (0)f (2) 2 f (1)D f (0)f (2)2 f (1)【例 46】 已知函数 fx是偶函数，在0 ,上导数 fx 0 恒成立，则下列不等式成立的是 （） f3f1f

16、2B f1f 2f3C f 2f3f1D f 2f1f3【例 47】 f ( x) 是定义在 (0 ,) 上的非负可导函数，且满足xf (x)f ( x) 0 ，对任意正数 a , b ，若 ab ，则必有（）A af ( a) bf (b)B bf (b) af ( a)C af (b) bf ( a)D bf (a) af (b)【例 48】 设 fx、 g x 是 R 上 的可导 函数， fx 、 gx 分 别是 f x、 g x的导函数，且f xgxfxgx0，则当 ax b 时，有（）A f x g xf b g bB f x g af a g xC f x g bf b g xD

17、f x g xf a g a【例 49】 函数 fxlnx1ax 在1，2 上单调递增，则实数a 的取值范围是【例 50】 已知函数 fxx3ax2x1 在，上是单调函数，则实数 a 的取值范围是（）A，33 ，B3，3C， 33 ，D3 ， 3【例 51】 若函数 f (x)x3x2mx1 是 R 上的单调函数，则实数 m的取值范围是（）A(1,)B (, 1)C1 ,)D(,133339【例 52】 已知对任意实数 x 有 f ( x)f ( x) ， g ( x)g ( x) ，且 x0 时， f (x)0 ， g (x)0 ，则 x 0时（）A f ( x)0 ， g (x)0B f

18、( x)0 ， g (x)0C f ( x)0 ， g (x)0D f ( x)0 ， g (x)012存在单调递减区间，求a 的取值范围【例 53】 已知函数 f (x) ln xax 2x a 02【例 54】 设函数 f ( x)x2b ln( x 1) ，其中 b1 ，判断函数 f ( x) 在定义域上的单调性2【例 55】 已知函数f (x)x3(1a )x2a(a2) xb (a ，bR ) 若函数 f ( x) 在区间 ( 1 ，1) 上不单调 ，求 a 的取值范围【例 56】 函数 yax3x2x5 在区间 (，) 上单调递增，求a 的取值范围【例 57】 已知函数 f (x)

19、 2ax12 ，x(0 ，2 ，若 f ( x) 在 x(0 ，1上是增函数，求 a 的取值范围x【例 58】 设a为实数，函数322f x xaxa 1 x在， 和1，都是增函数，求a的取值范围0【例 59】 已知函数 f (x)ax6的图象在点 M ( 1，f ( 1) 处的切线方程为 x 2y 5 02bx求函数 y f ( x) 的解析式； 求函数 yf ( x) 的单调区间【例 60】 已知函数fx2ln xx 写出函数fx的定义域，并求其单调区间；已知曲线 yfx 在点x0 ， fx0处的切线是ykx2 ，求 k 的值【例 61】 已知函数 f (x)ln x22ax， (aR ,

20、 e 为自然对数的底数） e求函数 f ( x) 的递增区间； 当 a1 时 ， 过 点 P 0, tt R 作 曲 线 yf ( x) 的 两 条 切 线 ， 设 两 切 点 为1112221x2 ，求证： x1x20 P x , f (x ) , P x , f ( x ) x【例 62】 已知函数f ( x)x2ax1 ln x 当 a 3时，求函数 fx的单调递增区间；若 f ( x) 在区间0,1上是减函数，求实数a 的取值范围210【例 63】 已知函数 fxln x x判断函数 fx 的单调性；若 y xfx1 的图像总在直线y a 的上方，求实数 a 的取值范围；x1m2 的图像有公共点，且在公共点处的切线相同，若函数 fx与 g xx6x3求实数 m 的值【例 64】 已知函数 f (x) ln(1 x)xk x2 （ k 0 ）2当 k 2 时，求曲线 yf ( x) 在点 1 , f 1处的切线方程；求 f