常州数学卷小

1、2013 届高三调研测试试卷(常州)数学(满分160 分，考试时间120 分钟 )2013 01一、填空题：本大题共14 小题，每小题5 分，共70 分1. 设集合A1，a ，B a ，若BA ，则实数a 的值为_ 2. 已知复数 z 1 i(i 为虚数单位 )，计算： zz _z zx2y23. 已知双曲线2 2 1(a 0， b 0)的一条渐近线经过点 (1， 2)，则该双曲线的离心率 a b为 _ (第4题)4. 根据右图所示的算法，输出的结果为_5. 已知某拍卖行组织拍卖的 6 幅名画中， 有 2 幅是赝品 某人在这次拍卖中随机买入了两幅画，则此人买入的两幅画中恰有一幅画是赝品的概率为

2、_6. 函数 f(x) cosx cos( x 1) 的最小正周期为 _ 2 27. 函数 f(x) log 2(4 x2) 的值域为 _ 8. 已知点 A(1 ，1)和点 B( 1， 3)在曲线 C： y ax3 bx2 d(a，b，d 为常数 )上，若曲线 C 在点 A 、 B 处的切线互相平行，则a3 b2 d _ 9. 已知向量 a、b 满足 a 2b (2， 4)，3a b( 8，16)，则向量 a、b 的夹角的大小为 _10. 给出下列命题： 若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； 若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； 若两条平行直线

3、中的一条垂直于直线m，那么另一条直线也与直线m 垂直；若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直其中，真命题是 _ ( 填序号 )211. 已知函数 f(x) x， x 2，若关于 x 的方程 f(x) kx 有两个不同的实根，（ x 1） 3，0 x 2，则实数 k 的取值范围是 _412*n1 _ 12. 已知数列 a n 满足 a1 ， 2an 1(n N )，则ai3n 6ia113. 在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C： x2y2 4 分别交 x 轴正半轴及 y 轴负半轴于 M 、N 两点，点P 为圆 C 上任意一点，则PM PN的最大值为 _14.

4、 已知实数 x、y 同时满足 4 x 27 y 5，log 27y log 4x 1，27y 4x1，则 x y 的取66值范围为 _ 二、 解答题：本大题共6 小题，共 90 分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15. (本小题满分 14 分 )已知 、 均为锐角，且31sin ， tan( ) .53(1)求 sin( )的值；(2)求 cos 的值( 本小题满分14 分)如图，在四棱锥PABCD 中， PD底面 ABCDCD 3，直线 PA 与底面 ABCD 所成角为60，点，AD AB ，CDAB ，AB 2AD 2，M 、 N 分别是 PA、 PB 的中点求证：(1) MN 平

5、面 PCD；(2) 四边形 MNCD 是直角梯形；(3) DN 平面 PCB.17. (本小题满分 14 分 )第八届中国花博会将于2013 年 9 月在常州举办， 展览园指挥中心所用地块的形状为矩形ABCD ，已知 BC a，CD b， a、b 为常数且满足b a.组委会决定，从该矩形地块中划出一个直角三角形地块AEF 建游客休息区 (点 E、F 分别在线段AB 、AD 上 )， AEF 的周长为l(l 2b)，如图设AE x， AEF 的面积为S.(1) 求 S 关于 x 的函数关系式；(2) 试确定点E 的位置，使得直角三角形地块AEF 的面积 S 最大，并求出S 的最大值18. (本小

6、题满分16 分 )分别是椭圆 E： x2y2如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知 F 、 F22 1(a b 0)的左、12a b右焦点， A、 B 分别是椭圆E 的左、右顶点，且2 0.AF2 5BF(1) 求椭圆 E 的离心率；(2) 已知点 D(1 ， 0)为线段 OF2 的中点， M 为椭圆 E 上的动点 (异于点 A 、 B) ，连结 MF 1并延长交椭圆 E 于点 N ，连结 MD 、ND 并分别延长交椭圆E 于点 P、 Q，连结 PQ，设直线、 k ，试问是否存在常数，使得 k k 0 恒成立？若存MN 、 PQ 的斜率存在且分别为 k1 212在，求出 的值；若不存在，说明理

7、由19. (本小题满分 16 分 )已知数列 a n 是等差数列，a1 a2a3 15，数列 b n 是等比数列， b1b2b327.(1) 若 a1b2 ，a4 b3，求数列 a n 和 b n 的通项公式；(2) 若 a1b1 ，a2 b2， a3 b3 均为正整数且成等比数列，求a3 的最大值20. (本小题满分 16 分 )已知 a 为实数，函数f(x) x|x a| lnx.(1) 若 a1，求函数 f(x) 在区间 1， e(e 为自然对数的底数 ) 的最大值；(2) 求函数 f(x) 的单调区间；(3) 若 f(x) 0 恒成立，求 a 的取值范围 .2013 届高三调研测试试卷

8、(七 )数学附加题 (满分 40 分，考试时间30 分钟 )21. 【选做题】 本题包括 A 、 B、 C、 D 四小题，请选定其中两题作答若多做，则按作答的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A. 选修 4 1：几何证明选讲 (本小题满分 10 分 )如图， AB 是 O 的直径， C、 F 是 O 上的两点， OCAB ，过点F 作 O 的切线 FD交 AB 的延长线于点 D.连结 CF 交 AB 于点 E.求证： DE 2 DB DA.B. 选修 4 2：矩阵与变换 (本小题满分 10 分 )33为实数 )，若矩阵 A 属于特征值6 的一个特征向量为11已知矩阵 A(c、

9、d，cd1属于特征值1 的一个特征向量为3.求矩阵 A 的逆矩阵2 2C. 选修 4 4：坐标系与参数方程 (本小题满分 10 分 )已知曲线C1 的极坐标方程为cos () 1，曲线C2 的极坐标方程为 223cos () ，判断曲线C1 与 C2 的位置关系4D. 选修 45：不等式选讲 (本小题满分 10 分 )已知 x、 y、 z 均为正实数，且 x y z 1.求证： x2 y2 z2 1. y z xz x y 2【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10分，共 20分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22. 已知一个口袋中装有黑球和白球共9个 (这些球除颜色外完全相同

10、)，从中任取 2 个球都是白球的概率为512.现甲、乙两人从该口袋中轮流取球，甲先取， 乙后取， 然后甲再取， ，每次取出 1 个球，取出的球不放回，直到其中有一人取到白球时终止用X 表示取球终止时取球的总次数(1) 求袋中原有白球的个数；(2) 求随机变量X 的概率分布及数学期望E(X) 空间内有n(n N * )个不重合的平面，设这n 个平面最多将空间分成an(n N *)个部分(1) 求 a1， a2，a3， a4；(2) 写出 an 关于 n(n N * )的表达式并用数学归纳法证明2013 届高三调研测试试卷(七 )(常州 )数学参考答案及评分标准87. (， 2 8. 7 9. 1

11、0. 1. 02. i3.5 4.115.6. 215112.23n n 213. 44 214.511.0， 24615. 解： (1) ， ， .又 tan( ) 1 0， 0.(4 分 )3 sin( )10.(6分 )103 10(2) 由 (1) 可得， cos( ) 10 .(8 分 ) 为锐角， sin 3， cos 4.(10 分 )55 cos cos ( )cos cos( ) sin sin( )(12分 )4310 3 10 910.(14 分 )5105105016. 证明： (1) 因为点 M 、 N 分别是 PA、PB 的中点，所以 MN AB.因为 CD AB

12、，所以 MN CD.(2 分 )又 CD平面 PCD， MN平面 PCD，所以 MN 平面 PCD.(4 分 )(2) 因为 AD AB ，CD AB ，所以 CD AD.因为 PD底面 ABCD ， CD平面 ABCD ，所以 CDPD.因为 AD PDD ，所以 CD平面 PAD.(6 分 )因为 MD平面 PAD ，所以 CD MD.又 MN CD， MNCD，所以四边形MNCD 是直角梯形(8 分 )(3) 因为 PD底面 ABCD ，所以 PAD 就是直线 PA 与底面 ABCD 所成的角，从而 PAD 60 .(9 分 )在 Rt PDA 中， AD 2， PD 6，PA 22，M

13、D 2.在直角梯形 MNCD 中， MN 1，ND 3，CD 3，CN MD 2（ CD MN ） 26，从而 DN 2 CN 2 CD 2，所以 DN CN.(11 分 )在 Rt PDB 中， PD DB 6，N 是 PB 的中点，则DN PB.(13 分 )又 PB CN N，所以 DN 平面 PCB.(14 分 )17. 解：(1) 当 l a ba2 b2时，不能构成满足条件的三角形；当 l a ba2 b2时，设 AF y，则 x yx2y2 l ，整理，得 y2lx l2.(2 分)2（ xl ）1l （2x 2lx ）S 2xy 4（ x l）， x (0， b (4 分)l2

14、x2 4lx l 2(2) S ， x (0， b (6 分 )4（ x l ） 2令 S 0，得 2x24lx22 2 l0， x2l.(8 分 )因为 0 x b l ，所以2当 2b l (22)b 时， b2 22 22 22l， S 在 0，2l 上单调递增，在2l， b上单调递减；所以当x2 23 22 2；(10分 )2l 时， S 的极大值也是最大值，Smaxl4当 l (2 2 2bl（ 2b l）2)b 时， b2l ，S 在 (0，b上单调递增，当x b 时， Smax；4（b l ）(12 分)故当 AEF 的周长 l 满足2b l (22)b 时，取 AE 2 2l

15、，直角三角形地块AEF232 22；当 AEF的周长 l 满足 (22)b l a b22的面积 S 最大， Smax4lab 时，取AE b，直角三角形地块AEF 的面积 S 最大， Smaxbl（ 2b l）.(14 分)4（ b l ）0，18. 解： (1) AF 25BF2AF2 5F2B . a c 5(a c)，化简， 2a3c，故椭圆的离心率 ec2 .(3 分)a34(2) 存在满足条件的常数 ， 7. 点 D(1 ， 0)为 OF2 的中点， c2，从而 a 3， b5，左焦点 F1( 2，0)，x2y2椭圆 E 的方程为9 5 1.(5 分 )设 M(x 1，y1)， N

16、(x 2， y2)， P(x3， y3)， Q(x 4， y4)，则直线 MD 的方程为 xx1 1y 1，y1225 x12x1 1代入椭圆方程x y 1，整理，得2 yy 4 0.(7 分 )95y1y1 y1 y3 y1（ x1 1）， y3 4y 1 .x1 5x1 55x1 95x1 94y1.(9 分)从而 x3，故点 P，x1 5x1 5x1 5同理，点 Q5x2 94y2.(10 分)，x2 5x2 5 三点 M 、F1、 N 共线，y1y2，从而 x1y2 x2y1 2(y 1 y2 ) (12 分 )x1 24y 1 4y2y3 y4x1 5x2 5从而 k2x3x45x1

17、 95x2 9x1 5x2 5 7 y1 y2 7k1.(15 分) 4 x1 x2 4x2 2x1y2 x2y1 5（ y1 y2 ）4（ x1 x2）44故 k1 k2 0.从而存在满足条件的常数， .(16 分 )7719. 解： a n 是等差数列， a1 a3 2a2. a1 a2 a3 15， a2 5.(2 分 ) b 是等比数列，b b b2.n132 b1b2b327， b23.(4 分 )(1) 由题设， a1 b2 3，从而等差数列 a n 的公差等于 2，故等差数列 a n 的通项公式为an 2n 1.(6 分)进而 a4 9， b3 a49，等比数列 b n 的公比等

18、于3，故等比数列 b n 的通项公式为bn 3n 1.(8 分 )(2) 设等差数列 a n 的公差为d，等差数列 a n 的公比为q，则 a1 5 d， b13， a35q d， b3 3q. a1 b1， a2 b2， a3 b3 成等比数列， (a1b1) (a3 b3 )(a2 b2)2 64.设 a1 b1 m， a3 b3 n， m、 n N* ，则 mn 64，35 d qm，5 d 3qn.整理，得 d2(m n)d5(m n) 80 0.(10 分 ) a3 5 d， 欲使得 a3 最大，必须且只须d 最大，上面方程必有解，从而d（ m n）（ m n） 2 20（m n）

19、3202(舍去较小者 )，n m （ m n 10） 2 36.(12 分) d2欲使得 d 最大，必须且只须nm 及 (m n 10)2 取最大值， m、 n N* ， mn 64， 当且仅当n 64 且 m 1 时， n m 及 (m n 10)2 取最大值 (14 分 )（当初做试卷时缺）从而最大的d63761，2所以，最大的a37376116 分220解：（ 1）若 a=1,则 f ( x)x x1ln x 当 x 1,e 时 ,f ( x)x2xln x , f ( x)2x112x2x10 ，xx所以 f ( x) 在 1,e 上单调增 ,f (x)maxf (e)e2e1 .2

20、分（ 2）由于 f ( x)x xaln x ， x(0,) （）当 a0时，则 f (x)x2axln x ， f ( x)2xa12x2ax 1，xx令 f ( x)0 ，得 x0aa280 （负根舍去），4且当 x (0, x) 时， f (x)0 ；当 x( x ,) 时， f ( x)0 ，00所以 f ( x) 在 (0, aa28 ) 上单调减，在 ( aa28 ,)上单调增 .4 分44（）当 a0时，当 x a 时，f (x) 2x a1 2x2ax 1 ,xx令 f ( x)0，得 x1aa28 （ xaa28a 舍），44若 aa28a ，即 a1 , 则 f ( x)0

21、 ，所以 f ( x) 在 ( a,) 上单调增；4若 aa28a ，即0a1, 则当 x(0, x1) 时， f (x)0 ；当 x(x1,) 时，4f ( x)0 ，所以f ( x) 在区间 (0, aa28 ) 上是单调减，在( aa28 ,) 上单调44增 .6 分当 0 x a 时 , f ( x)2 x a12x2ax 1,xx令 f ( x)0 ，得 2x2ax1 0，记a28 ，若a280，即 0a22 , 则 f ( x)0 ，故 f (x) 在 (0, a) 上单调减；若a280，即 a22 ,则由 f ( x)0得 x3aa28 ， x4aa28 且 0x3x4a ，44

22、当 x(0, x3 ) 时， f ( x)0 ；当 x( x3 , x4 ) 时， f ( x)0；当 x( x4, )时，f ( x)0，所以 f ( x) 在区间 (0, aa28 ) 上是单调减， 在 ( aa28 , aa2 8 ) 上444单调增；在 ( aa28 ,) 上单调减 .8 分4综上所述，当 a1 时 , f ( x) 单调递减区间是 (0, aa28 )， f ( x) 单调递增区间4是 ( aa28,) ；4当 1a22 时 , f (x) 单调递减区间是(0, a) ， f (x) 单调的递增区间是( a,) ；当 a22 时 ,f ( x) 单调递减区间是 (0,

23、aa28)和 ( aa28 , a) ，44f ( x) 单调的递增区间是( aa28 , aa28) 和 (a,).10分44（ 3）函数 f (x) 的定义域为 x(0,) 由 f (x)0，得 xaln x *x（）当 x(0,1) 时， xa 0， ln x0 ，不等式 * 恒成立，所以 aR ；x（）当 x1时， 1a 0， ln x0，所以 a1 ；12 分x（）当 x1 时，不等式 * 恒成立等价于 axln x 恒成立或 axln x 恒成立xx令 h( x)xln x ，则 h ( x)x21 ln x xx2因为 x1 ，所以 h ( x)0 ，从而 h( x)1 因为 a

24、xln x 恒成立等价于 a( h( x) min ，所以 a 1x令 g( x)xln x ，则 g ( x)x212ln x xx再令 e( x)x21ln x ，则 e ( x)2 x1在 x(1,) 上恒成立， e(x) 在 x(1, )上0x无最大值综上所述，满足条件的a 的取值范围是 ( ,1) 16 分2013 届高三调研测试试卷(七 )(常州 )数学附加题参考答案及评分标准21. A. 选修 4 1：几何证明选讲证明：连结OF.因为 OC OF，所以 OCF OFC.因为 DF 切 O 于 F，所以 OFD 90 .所以 OFC CFD 90 .(4 分 )因为 CO AB 于

25、 O，所以 OCF CEO 90.所以 CFD CEO DEF，所以 DF DE.(8 分 )2所以 DE2 DBDA.(10 分 )B. 选修 4 2：矩阵与变换A 属于特征值 6 的一个特征向量为 113311解：因为矩阵，所以cd 6，111化简，得 c d 6.(4 分 )因为矩阵 A 属于特征值1 的一个特征向量为233333 2，所以d 2，化简，c2即 3c 2d 2.(8 分 )21c 2，3332解得即 A，故 A 的逆矩阵是1.(10 分 )d 4，241 32C. 选修 4 4：坐标系与参数方程解：将曲线 C1、 C2 化为直角坐标方程，得C1： x3y2 0， C2：(x 1)2 (y 1)2 2， (4 分 )圆心C2到直线 C1|13 2|3 3的距离 d2，(8 分 )2（3）221 曲线 C1 与