艺术生高考数学专题讲义：考点4 函数的概念及表示

1、x22考点四函数的概念与表示 知识梳理1函数的基本概念(1) 函数的定义设 a，b 是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 f，使对于集合 a 中的任意一个 数 x，在集合 b 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，称 f：ab 为从集合 a 到集合 b 的一个 函数，通常记为 f：ab，或 yf(x)(xa) (2)函数的定义域、值域：在函数 yf(x)，xa 中，x 叫做自变量，x 的取值范围 a 叫做函数的定义域；与 x 的值相对 应的 y 值叫做函数值，函数值的集合f(x)|xa叫做函数的值域显然，值域是集合 b 的子 集(3) 函数的三要素：定义域、值域和对应关系(4) 相等函

2、数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断 两函数相等的依据(5) 函数的表示法：表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法2. 分段函数在定义域内不同部分上，有不同的解析式，像这样的函数通常叫做分段函数分段函数的定 义域是各段自变量取值集合的并集，值域是各段上函数值集合的并集3. 映射的概念一般地，设 a、b 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系 f，使对于集合 a 中的 任意一个元素 x，在集合 b 中都有唯一确定的元素 y 与之对应，那么就称对应 f：ab 为从 集合 a 到集合 b 的一个映射4常见函数定义域的求法(1) 分式函数中分母不等于零(2

3、) 偶次根式函数被开方式大于或等于 0(3) 一次函数、二次函数的定义域为 r(4) ya (a0 且 a1)，ysin x，ycos x，定义域均为 r(5)ytan x 的定义域为x|x k ，kz5基本初等函数的值域(1) ykxb(k0)的值域是 r(2) yax bxc(a0)的值域是：4 ax222222 2 4 ac -b 2 当 a0 时，值域为 y y ；当 a0 时，值域为4 ac -b 2 y y 4 ak(3)y (k0)的值域是y|y0x(4) ya (a0 且 a1)的值域是y|y0(5) ylog x(a0 且 a1)的值域是 ra(6) ysin x，ycos

4、x 的值域是1，1(7) ytan x 的值域是 r典例剖析题型一 函数的概念例 1 下列各组函数中，表示同一函数的是_.(填序号)f(x)|x|，g(x) x f(x) x ，g(x)( x)x 1 f(x) ，g(x)x1 x1 f(x) x1 x1，g(x) x 1答案 解析 中，g(x)|x|，f(x)g(x)中，f(x)|x|(xr)，g(x)x (x0)，两函数的定义域不同中，f(x)x1 (x1)，g(x)x1(xr)，两函数的定义域不同中，f(x) x1 x1(x10 且 x10)，f (x)的定义域为x|x1；g (x) x 1(x 10)，g(x)的定义域为x|x1 或 x

5、1两函数的定义域不同故选.变式训练 下列四个图象中，是函数图象的是_.(填序号)答案 解析 由每一个自变量 x 对应唯一一个 f(x)可知不是函数图象，是函数图象22222222解题要点 1判断是否是同一函数关键看两点：定义域相同；2 对应关系相同 2.判断是否是函数图象，要看定义域和值域是否在所指定范围，同时每一个自变量应只对应 一个因变量题型二 函数解析式求法例 2 (1)已知 f( x1)x2 x，则 f(x)_.(2) 已知 f(x)是一次函数，且满足 3f(x1)2f(x1)2x17，则 f(x)_.(2) 已知 f(x)是二次函数，且满足 f(0)1，f(x1)f(x)2x，求 f

6、(x)答案 (1) f(x)x 1(x1)，(2) f(x)2x7，(3) f(x)x x1解析(1) (换元法)设 x1t(t1)，则 xt1.代入 f( x1)x2 x，得 f(t)t 1(t1)，f(x)x1(x1)(2)(待定系数法)设 f(x)axb(a0)，则 3f(x1)2f(x1)3ax3a3b2ax2a2bax5ab， 即 ax5ab2x17 不论 x 为何值都成立，a2， a2， 解得b5a17， b7，f(x)2x7.(3) (待定系数法) f(x)是二次函数， 设 f(x)ax bxc(a0)由 f(0)1，得 c1. 由 f(x1)f(x)2x，得 a(x1) b(x

7、1)1(ax bx1)2x，整理，得(2a2)x(ab)0，2a20， a1，比较系数得 ab0 b1， f(x)x x1.变式训练 定义在 r 上的函数 f(x)满足 f(x1)2f(x)若当 0x1 时，f(x)x(1x)，则 当1x0 时，f(x)_.x(x1)答案 2解析 当1x0 时，0x11，1 1由已知 f(x) f(x1) x(x1)2 2解题要点 函数解析式的求法(1) 待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法；(2) 换元法：已知复合函数 f(g(x)的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(3) 配凑法：由已知条件 f(g(x)f(x)

8、，可将 f(x)改写成关于 g(x)的表达式，然后以 x 替代 g(x)， 便得 f(x)的解析式；1x2222222 3 3 2 12 212(4)方程组法：已知 f(x)与 f或 f(x)之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出 f(x) 题型三 函数的定义域例 3 求下列函数的定义域(1)(2);答案 (1)，(2) ( 1，1)(1， )解析 (1) 使函数有意义，则且，得或 ，所以定义域为(2) 使函数有意义，则，解得：且 .所以定义域为( 1，1)(1， )变式训练 函数 f( )= 答案 0，1) (1， +)解析 由题意知的定义域为_.，所以

9、函数定义域为0，1) (1， +)解题要点 抓住常见函数有意义的约束条件是解题的关键，需要注意的是：函数定义域应写 成集合或区间的形式题型四 函数的值域例 4 求下列函数的值域(1) yx 2x，x0，3；(2)y =x - 3x -2;2x1(3) y ，x3，5；x1(4) f(x)x 12x.解析 (1) (配方法)yx 2x(x1) 1，y(x1) 1 在0，3上为增函数，0y15，即函数 yx 2x(x0，3)的值域为0，151 1 3 1 3(2) (换元法)设 3x2t，t0，则 y (t 2)t t ，当 t 时，y 有最小值 1 1 ，故所求函数的值域为 ， .12 4 2

10、22 22x342 3x1a a2x1 3(3) (分离常数法)由 y 2 ，结合图象知，函数在3，5上是增函数，所以 yx1 x1 max3 5 5 3 ，y ，故所求函数的值域是 ， .2 min 41(4) (单调性法)f(x)的定义域为 ， ，容易判断 f(x)为增函数，1 1 1所以 f(x)f ，即函数的值域是 ， .题型五 分段函数log3x，x0，例 5 (1)已知函数 f(x)2，x0，1则 f(f( )_. 92x ，x0，(2) 已知函数 f(x) 则 f ftan x，0x0，已知函数 f(x)x1，x0，若 f(a)f(1)0，则实数 a 的值等于_答案 3解析 (1

11、)由题意知 f(1)2 2.f(a)f(1)0，f(a)20.1 当 a0 时，f(a)2 ,2 20 无解；2 当 a0 时，f(a)a1，a120，a3.解题要点 1.分段函数是一个函数，“分段求解”是解决分段函数的基本原则2.在求分段 函数值时，一定要注意自变量的值所在的区间，再代入相应的解析式；自变量的值不确定时， 要分类讨论当堂练习1. 函数 f(x) x11的定义域为_ 2x答案 x|x1 且 x2222222x56 6 22222函数 y2 x 4x的值域是_ 答案 0，2解析 x4x(x2) 44，0 x 4x2， 2 x 4x0，02 x4x2，所以 0y2.3若函数 yf(

12、x)的定义域为 mx|2x2，值域为 ny|0y2，则函数 yf(x) 的图象可能是_ 答案 3xb，x1，4设函数 f(x)2，x1.1答案2若 f f64，则 b 等于_5 5 5解析 由题意，得 f 3 b b.5 3 5 1若 b1，即 b 时，2 b4，解得 b .2 2 2 25 3 5若 b1，即 b 时，3 b b4，2 27解得 b (舍去)81所以 b .25函数 f(x)log (x 2x3)的定义域是_2答案 (，3)(1，)解析 需满足 x 2x30，解得 x1 或 x3，所以 f(x)的定义域为(，3)(1，)课后作业一、填空题1汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减

13、速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶 路程 s 看作时间 t 的函数，其图象可能是_x2，0，1，2，6，82 答案 解析 汽车加速行驶时，速度变化越来越快，而汽车匀速行驶时，速度保持不变，体现在s 与 t 的函数图象上是一条直线，减速行驶时，速度变化越来越慢，但路程仍是增加的2若函数 y = f ( x)的定义域为x-3x 8, x 5，值域为y-1y 2, y 0，则y = f ( x )的图象可能是_答案 解析 根据函数的概念，任意一个 x 只能有唯一的 y值和它对应，故排除；由定义域为x-3x 8, x 5排除、,选.1 x，x0，3设 f(x) 则 f(f(2)等于_2 ，x0，

14、答案12解析 f(2)212 0，则 f(f(2)f 4141141 1 1 .2 2x4函数 y lg(2x1)的定义域是_2x1答案 ( ，2)2解析 x 同时满足不等式 2x0,2x10，1 1解得 x2，故所求函数的定义域是( ，2).2 21 5设 a0,1,2,4，b ，则下列对应关系能构成 a 到 b 的映射的是 _(填序号)32x3xx2x20222222f：xx 1f：x(x1)f：x21f：x2x答案 解析 对于选项，由于集合 a 中 x0 时，x 11 b，即 a 中元素 0 在集合 b 中没有 元素与之对应，所以选项不符合；同理可知、两选项均不能构成到的映射，选项 符合.6函数 y 164x的值域是_答案 0，4)解析 4 0，0164 16，0y4.7若 f(2x+1)=6x+3，则 f(x)的解析式为 f(x)= _ 答案 3x解析 令 t=2x+1，则 x=，所以 f(t)=6 +3=3t，故 f(x)=3x.x1，x1