完整word版)线面垂直与面面垂直典型例题

1、线面垂直与面面垂直基础要点线面垂直线线垂直面面垂直a与平面BAB与两平面丄平面BBACDBA的取值范围是CB所成的角相等，则平面D、4:3D、 ABC的内部3、如图示，平面C、3:2B、3:12、在斜三棱柱ABCA、2:11、若直线D、以上结论都不正确A , B，则 AB: ABCi知 PA AC,PA 6，BC 8, DF 5APCi周长的最小值是5.已知长方体 ABCD AiBiCiDi 中，AiA AB 2C、直线BC上过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为CiABQ, BACBC 2,CCi i DC上有一动点 卩，则厶不一定平行于4、如图示，直三棱柱 ABBi DCCi中题型一：直线

2、、平面垂直的应用i.（20i4,江苏卷）如图，在三棱锥 P-ABC中，D，E，F分别为棱 PC，AC，AB的中点.已所成的角分别为-和-A ,BC、不平行于(A )A、/B ）B、直线AB上为H，则H 定在A、直线AC上ABBi 90o,AB 4求证：（i） PAP平面DEF 错误！未找到引用源 平面BDE 平面ABC错误味找到引用源。.90,又BCi AC,过Ci作CiH丄底面 ABC垂足若棱AB上存在点P,使得DiP PC ,则棱AD长与的位置关系是（B ）ZBi/D1Di证明：因为D , E分别为棱PC, AC的中点, 所以 DE / PA.又因为 PA ? 平面 DEF, DE 平面D

3、EF,所以直线PA /平面DEF.(2) 因为 D , E, F 分别为棱 PC, AC, AB 的中点，PA= 6, BC = 8,所以 DE / PA, DE = 11PA = 3, EF= BC = 4.22又因 DF = 5,故 DF2= DE2 + EF2,所以/ DEF = 90 即 DE 丄 EF.又 PA丄 AC , DE / PA,所以 DE 丄 AC.因为AS EF = E , AC 平面ABC , EF 平面 ABC ,所以DE丄平面 ABC. 又DE 平面BDE ,所以平面 BDE丄平面 ABC.2. (2014,北京卷，文科)如图，在三棱柱 ABC Ai B1C1中，

4、侧棱垂直于底面，AB BC , AA1 AC 2 , E、F分别为AG、BC的中点.(1)求证：平面 ABE 平面B1BCC1 ； (2)求证：GF/平面ABE.证明：(1)在三棱柱ABC ABG中，BB1 底面 ABC, BB1 AB, AB BC, AB 平面 B1BCC1,Q AB 平面ABE, 平面ABE 平面 耳BCC1.取AB的中点G,连接EG, FG1Q E、F 分别为 AG、BC 的中点,FGPAC,FG AC,2Q AC PA1C1, ACAC1? FG PEG, FGEC1,则四边形FGE6为平行四边形,C1F PEG,Q EG平面ABEQF平面ABE, C1F P平面AB

5、E .3.如图，P是PBC 求证BC平面ABC所在平面外的一点，且PA 平面ABC，平面PACAC .分析：已知条件是线面垂直和面面垂直，要证明两条直线垂直， 应将两条直线中的一条纳入一个平面中，使另一条直线与该平面垂直，即从线面垂直得到线线垂直.证明：在平面PAC内作AD PC，交PC于D .因为平面PAC 平面PBC于PC , AD 平面PAC，且AD PC，所以AD 平面PBC 又因为BC 平面PBC，于 是有AD BC另外PA 平面ABC , BC 平面ABC，所以PA BC 由及AD PA A，可知BC 平面PAC 因为AC 平面PAC，所以BC AC 说明：在空间图形中，高一级的垂

6、直关系中蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看到，面面垂直线面垂直 线线垂直.4. 过点S引三条不共面的直线SA、 SB、 SC，如图， BSC 90 ASC ASB 60，若截取 SA SB SC a求证：平面ABC 平面BSC;(2)求S到平面ABC的距离.分析：要证明平面 ABC 平面BSC,根据面面垂直的判定定理，须在平面 ABC或平面BSC内找到一条与另一个平面垂直的直线.(1)证明： SA SB SC a,又 ASC ASB 60 ,二 ASB和ASC都是等边三角形，AB AC a,取BC的中点H，连结AH , AHBC 在Rt BSC中，BSCS a, SH BC ,BC、2a

7、AH 2 AC2CH 22 a辭)(a)22 丄, SH22 a22222在SHA中，AH2aSH2,SA22a ,2，2 SA2 SH 2HA2, AHSH, AH平面SBC AH 平面 ABC ,平面ABC平面BSC或： SA AC AB ,顶点A在平面BSC内的射影H为 BSC的外心, 又 BSC为Rt , H在斜边BC上，又 BSC为等腰直角三角形， H为BC的中点， AH 平面BSC： AH 平面ABC，平面 ABC 平面BSC (2)解：由前所证：SH AH , SH BC , SH 平面 ABC , SH的长即为点S到平面ABC的距离，SH 些 -a ,2 25、如图示,ABCD

8、为长方形,点S到平面ABC的距离为SA垂直于ABCD所在平面，过 A且垂直于SC的平面分别交SB、SC、SD 于 E、F、G,求证：AE丄 SB,AG丄SDFGED6.在四棱锥P-ABCD中,侧面PCD是正三角形，且与底面ABCD垂直，已知底面是面积为 2 ., 3的菱形， ADC 60 , M是PB中点。求证：PA CD求证：平面 PAB 平面 CDMMC7.在多面体 ABCDE中, AB=BC=AC=AE=1CD=2 AE 面 ABC AE/CD。求证：AE/平面BCD求证：平面BED平面BCDA题型二、空间角的问题1.女口图示，在正四棱柱 ABCD ABCD,中AB 1,BB,3 1 ,

9、 E为BBi上使BiE 1的点，平面 AECi交DDi于F,交ADi的延长线于G,求：(i )异面直线 AD与CiG所成的角的大小2.如图，点A在锐二面角(2)二面角A CIG A的正弦值MN 的棱MN上，在面 内引射线 AP，使AP与MN所成的角NMN的大小.分析：首先根据条件作出二面角的平面角，然后将平面角放入一个可解的三角形中(最好是直角三角形)，通过解三角形使问题得解.解：在射线AP上取一点B，作 BH连结AH，则BAH为射线AP与平面所成的角,0BAH 30.再作BQMN，交 MN 于 Q ,连结HQ，则HQ为BQ在平面 内的射影.由三垂线定理的逆定理,HQ MN ,BQH为二面角M

10、N的平面角.设 BQ a，在 Rt BAQ 中， BQA90 , BAM45 , AB 、2a ,在 Rt BHQ 中,BHQ 90 ,BQ a,BH 2 a, sin2BQHBQBQH是锐角,BQH 45 ,即二面角MN等于45 .说明：本题综合性较强，在一个图形中出现了两条直线所称的角，斜线与平面所称的角，二面角等空间角，这些空间角都要转化为平面角，而且还要彼此联系相互依存，要根据各个平面角的定义添加适当的辅助线.3.正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1 ,P是AD的中点求二面角A BD, P的大小.分析：求二面角关键是确定它的平面角，按定义在二面角的棱上任取了点，在二个半平面上分别

11、作棱的垂线， 方法虽简便，但因与其他条件没有联系，要求这个平面角一般是很不容易的，所以在解题中不大应用在解题中应用得较多的是“三垂线定理”的方法，如图考 虑到AB垂直于平面AD, , BD,在平面AD, 上的射影就是 AD, 再过P作AD,的垂线PF ,则PF 面ABD,，过F作D,B的垂线FE , PEF即为所求二面角的平面角了.解：过P作BDi及AD,的垂线，垂足分别是 E、F，连结EF ./ AB面 AD, , PF面 AD,又 PEPF，又 PFAD, PF 面 ABD,.BDi ,PEF为所求二面角的平面角. Rt AD,D s PFA ,PFDD,APAD,而 AP - , DD,

12、2AD,2 PF在 PBD,中，PD,BD, , BE -BD2在 Rt PEB 中，PE-PB2 BE2-，在 Rt PEF 中，sin2PEFPFPE PEF 30 .4.PA垂直于矩形 ABCD所在平面，M、E、N分别是AB、CD和PC的中点,题型三、探索性、开放型问题1.如图，已知正方形当CE为多少时，PO 平面BED(1) 求证：MN /平面PAD(2) 若二面角 P DC A为，求证：平面 MND丄平面PDC45已知正方体中 ABCD AiBQiDi , E为棱CCi上的动点，(1)求证：AiE丄BD (2) 当E恰为棱CCi的中点时，求证：平面ABD丄平面EBD(3) 在棱CCi上是否存在一个点 E，可以使二面角 A-i BD E的大小