数学物理方程：数理方程第一章典型方程与定解条件

1、1,数学物理方程与特殊函数,下午5时40分,评分标准及发问,平时: 30% (基础理念和想法) 上课率达90%(5%) 功课 (1至2次)(10%) 中期考试 (1次)(15%) 考试: 70% *请尽量在课堂发问,下午5时40分,数学物理方程与特殊函数 (任务和特点),数学物理方程（数理方程）在数学上为二阶偏微分方程。 它的任务有两个方面： 寻找数学定解问题的求解方法，给出解的表达式和计算方法； 通过理论分析得出问题的通解 (即基本解 general solution) 或某些特解 (particular solution)的一般性质。,*注意:这一周的重点是记忆 1.方程定义; 2. 条件

2、定立; 3. 运算的基础.,下午5时40分,数学物理方程与特殊函数 (任务和特点),数学物理方程有如下特点： 紧密地、直接地联系物理学、力学与工程技术中的问题。 广泛地运用数学物理中许多的技术成果。如：运用数学中的复变函数、积分变换、常微分方程、泛函分析、广义函数等等，为物理学中的力学、电学、磁学、热力学、原子物理学、振动与波、空气动力学求通解服务。,下午5时40分,数学物理方程与特殊函数 (一般概念),数学物理方程是物理过程中的一些偏微分方程。 本课程仅讨论常用的二阶线性微分方程。 一般而言，二阶线性偏微分方程可写为:,f = 0 (齐次方程) (homogeneous),Aij, bi,

3、c为 x的函数或常数,下午5时40分,数学物理方程与特殊函数 (一般概念),若与时间 (t)相关，二阶线性偏微分方程可写为:,则算子为:,下午5时40分,7,哈密尔顿算子或梯度算子(operator)，读作nabla,拉普拉斯算子,微积分知识基础(回顾),与梯度算子有关的场论运算,平面上的拉普拉斯算子,常微分方程的求解：常见的一阶方程、可降阶高阶方程、 二阶线性方程,u 是未知函数,下午5时40分,8,数学物理方程与特殊函数, 课程的主要内容, 数学物理方程的定义,用数学语言(微分方程)描述物理现象和规律。,三种方程、 四种求解方法、 二个特殊函数,分离变量法 行波法 积分变换法 格林函数法,

4、波动方程 热传导 拉普拉斯方程,贝塞尔函数 (Bessel Function) 勒让德函数 (Legendre Function),是什么?,下午5时40分,泊松(拉普拉斯)方程：,热传导方程：,波动方程：,三类偏微分方程 (泛定方程) (Three Types of Partial Differential Equations),琴弦的振动；杆、膜、液体、气体等的振动；电磁场的振荡等,热传导中的温度分布；流体的扩散、粘性液体的流动,空间的静电场分布；静磁场分布；稳定温度场分布,f = 0 (齐次方程) (homogeneous),波动方程和传导方程因与时间的未来变化相关，将它们统称为发展方程

5、 (Evolution Equations)；另将与时间无关的泊方程称为稳定方程 (Equations of Stability)。 它们的共性是： 都是线性方程 都是常系数方程 都是二阶方程。,下午5时40分,三类偏微分方程 (泛定方程) (Three Types of Partial Differential Equations),下午5时40分,直接积分解法 (例1):,微积分知识基础(回顾),变量替换法 (例2):,复合函数的求导法,下午5时40分,降维法 (例3):,微积分知识基础(回顾),待定系数法 (例4):,怎样解?,怎样解?,下午5时40分,微积分知识基础(回顾),通过上述例

6、题不难看出： 一个偏微分方程的解是不唯一的，甚至可能为无穷多 个（通）解。 要使得方程的解是唯一的，必须对解附加一定的限制（称为约束条件）。,下午5时40分,14,一、 基本方程的建立 (例子),第一章 一些典型数理方程和 定解条件和问题,二、 定解问题和条件,三、 定解问题的概念,下午5时40分,15,一、 基本方程的建立,条件：均匀柔软的细弦，在平衡位置附近作微小横振动。不受外力影响。,例1、弦的振动,下午5时40分,16,弦振动的相关模拟,下午5时40分,17,弦振动的相关模拟,下午5时40分,18,弦振动的相关模拟,下午5时40分,19,弦振动的相关模拟,下午5时40分,20,简化假设

7、：,(2)横向振幅极小， 张力与水平方向的夹角很小。,(1)弦是柔软的，弦上的任意一点的张力沿弦的切线方向。,牛顿运动定律：,横向：,纵向：,其中：,其中：,下午5时40分,21,其中：,一维波动方程,令：,-非齐次方程,自由项,-齐次方程,忽略重力作用：,下午5时40分,22,从麦克斯韦方程出发：,在自由空间：,例2、时变电磁场,下午5时40分,23,对第一方程两边取旋度，,根据矢量运算：,由此得：,得：,即：,同理可得：,电场的三维波动方程,磁场的三维波动方程,下午5时40分,24,例3、热传导,所要研究的物理量：,温度,根据热学中的傅立叶试验定律,在dt时间内从dS流入V的热量为：,从时

8、刻t1到t2通过S流入V的热量为,高斯公式（矢量散度的体积分等于该矢量的沿着该体积的面积分）,热传导现象：当导热介质中各点的温度分布不均匀时，有 热量从高温处流向低温处。,下午5时40分,25,流入的热量导致V内的温度发生变化,流入的热量：,温度发生变化需要的热量为：,热传导方程,如果物体内有热源，则温度满足非齐次热传导方程,下午5时40分,26,例4、静电场,电势u,确定所要研究的物理量：,根据物理规律建立微分方程：,对方程进行化简：,拉普拉斯方程,泊松方程,下午5时40分,27,常见数学物理方程的导出,确定所要研究的物理量u，比如位移、场强、温度,根据物理规律建立微分方程,通过合理的数学近

9、似对方程进行化简,数学物理方程定解问题的提法,泛定方程 波动方程、热传导方程、拉普拉斯方程,定解问题：,定解条件 初始条件(2种)，边界条件(3种), 其他条件(自然),下午5时40分,28,同一类物理现象中，各个具体问题又各有其特殊性。边界条件和初始条件反映了具体问题的特殊环境和历史，即个性。,初始条件：能够用来说明某一具体物理现象初始状态的条件。,边界条件：能够用来说明某一具体物理现象边界上的约束情况的条件。,二、定解条件,其他条件：能够用来说明某一具体物理现象情况的条件 1. 隐形(周期,有界,连续) 2. 显形(衔接条件,正则条件),不含边界条件仅有初始条件的定解问题。亦称初（始）值问

10、题，也称为柯西问题。 分为波动型和传导型两类,其（一维）泛定方程与初始条件为：,下午5时40分,柯西问题(Cauchy Problem) -始值问题 （initial value problem）(泛定方程 +初始条件),不含初始条件边界条件的定解问题称为边（界）值问题。 一般与时间没关。,下午5时40分,边值问题(Boundary Value Problem) (泛定方程 +边界条件),边界条件：即物体在边界上所处的状态（物理条件） 边界条件的类型：一般将边界条件分为三类: 第一类（狄里克莱）边界条件： 或： （ S为边界面） 第二类（牛曼、诺依曼）边界条件： 或： 第三类（洛宾、混合）边界

11、条件： （它含有前两类边界条件）,下午5时40分,边值问题(Boundary Value Problem) (泛定方程 +边界条件),(1)（定解）问题： 波动方程和传导方程的混合问题分别为 (2)混合边（界）值问题特指边值问题中边界条件为第三类（混合）边界条件的问题。例,下午5时40分,混合问题(Mixed Problem) Evolution Equations (泛定方程 +初始条件+边界条件),(3)混合边界（条件）问题泛定方程同以前；而边界条件则不同。即：将边界（面） 划分为两部份（以上），在其中一部份的边界面 上的边界条件为某一类，而在其余部份的边界面 上的边界条件不同。,下午5时

12、40分,混合问题(Mixed Problem) Evolution Equations (泛定方程 +初始条件+边界条件),附加条件 一是隐形表示的自然条件，即“应该”“自然”的（不是强行）被满足。如：要求定解问题的解是“有界的”、“连续的”、具有“周期性”等 二是显形表示的强制条件，在物理中“自然”被满足。如：衔接条件，正则条件等。衔接条件用来表示“物体”内部中间的不连续跳跃状态。 正则条件 (作用是保证解的唯一性) 要求解在 处的性质，数学形式：,下午5时40分,混合问题(Mixed Problem) Evolution Equations (附加条件+正则条件),对边界条件无条件限制 (

13、但实际要满足有界性条件或正则性条件),下午5时40分,混合问题(Mixed Problem) Evolution Equations (柯西问题的边界条件),对边界条件无条件限制 (但实际要满足有界性条件或正则性条件),下午5时40分,混合问题(Mixed Problem) Evolution Equations (柯西问题的边界条件),外部边值问题,一般可表示为:,下午5时40分,混合问题(Mixed Problem) Evolution Equations (柯西问题的边界条件),内部问题引力位 在地球内部满足方程 （ 为万有引力常数， 为地球内部的密度），若附加上边界上“观测”值，那么相

14、应的边值问题可表述为：,下午5时40分,混合问题(Mixed Problem) Evolution Equations (边值问题的例子 (地球重力学),外部问题引力位 在地球外部满足方程 ，若附加上边界上“观测”值和无穷远处的“条件”，那么相应的边值问题可表述为：,下午5时40分,混合问题(Mixed Problem) Evolution Equations (边值问题的例子 (地球重力学),地球重力学中，斯托克司重力边界问题为：,下午5时40分,混合问题(Mixed Problem) Evolution Equations (边值问题的例子 (地球重力学),下午5时40分,41,1、定解问

15、题的广义解,三、定解问题的适定性与广义解,任何一个在自变量的区域内满足泛定方程及其相应定解条件的函数称为定解问题的解。 广义解方程的古典解要求解在区域内至少具有方程阶的光滑性，并且一直延拓到边界上；实际中这种光滑性难以满足；因此必须寻求条件更加宽的解广义解。,下午5时40分,42,2、三类方程的适定性讨论,三、定解问题的适定性与广义解,适定性定解问题的适定性是指问题的解具有存在性、唯一性、稳定性。 存在性：没有解的问题是没意义的。例如，条件过多，就容易产生没有解的情况。 唯一性：与无解相反，条件太少容易使得解过多（通解）；解太多，难以判断真伪；物理过程中不现实。必须增加条件，或寻找最佳解（优化

16、）。 稳定性：稳定性是指当定解条件有微小的扰动（误差）时，定解问题的解的扰动也是很小的。,下午5时40分,43,3、叠加原理 (I)（独立作用原理）,三、定解问题的适定性与广义解,下午5时40分,44,3、叠加原理 (II),三、定解问题的适定性与广义解,要求: 一致收敛,下午5时40分,45,3、叠加原理 (III),三、定解问题的适定性与广义解,下午5时40分,46,4、齐次化原理（冲量原理） 常微分方程的齐次化原理,三、定解问题的适定性与广义解,是方程（B）的解，则,(B),(A),下午5时40分,47,4、齐次化原理（冲量原理） 柯西问题的齐次化原理,三、定解问题的适定性与广义解,是方

17、程（B）的解，则,(B),(A),下午5时40分,48,4、齐次化原理（冲量原理） 发展问题的齐次化原理,三、定解问题的适定性与广义解,是方程（B）的解，则,(B),(A),说明1：原问题中所有定解条件都是齐次的，即方程中的非齐次项为唯一的场源。 说明2：冲量原理法不能用于稳定方程。,下午5时40分,49,1、定解问题,四、複習,(1) 初始问题：只有初始条件，没有边界条件的定解问题； (2) 边值问题：没有初始条件，只有边界条件的定解问题； (3) 混合问题：既有初始条件，也有边界条件的定解问题。,把某种物理现象满足的偏微分方程和其相应的定解条件结合在一起，就构成了一个定解问题。,2、定解问题的适定性,解的存在性：定解问题是否有解； 解的唯一性：是否只有一解； 解的稳定性：定解条件微小变动时，解是否有相应的微小变动。,下午5时40分,50,(4) 按未知函数及其导数的系数是否变化分为常系数和变系数微分方程； (5) 按自由项是否为零分为齐次方程和非齐次方程,3、微分方程一般分类,(1) 按自变量的个数，分为二元和多元方程； (2) 按未知函数及其导数的幂次，分为线性微分方程和 非线性微分方程； (3) 按方程中未知函数导数的最高阶数，分为一阶、二阶 和高阶微分方程；,下午5