完整版)判定平行四边形的五种方法

1、3判别平行四边形的基本方法如何判别一个四边形是平行四边形呢？下面举例予以说明一、 运用 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形”判 别例1如图1,在平行四边形 ABCD中,E、F在对角线AC上, 且AE=CF,试说明四边形 DEBF是平行四边形.分析：由于已知条件与对角线有关，故考虑运用两条对角线互相平分的四边形是平行四边形”进行判别为此，需连接BD.解：连接BD交AC于点0.因为四边形ABCD是平行四边形，所以 AO=CO,BO=DO.又 AE=CF,所以 AO-AE=CO-CF,即卩 EO=FO.所以四边形DEBF是平行四边形.二、 运用两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ”判别 例2如

2、图2,是由九根完全一样的小木棒搭成的图形， 请你指出图中所有的平行四边形，并说明理由.分析:设每根木棒的长为1个单位长度，则图中各四边形的 边长便可求得，故应考虑运用 两组对边分别相等的四边形是平 行四边形进行判别.解：设每根木棒的长为1个单位长度，则 AF = BC=1,AB=FC=1,所以四边形ABCF是平行四边形.同样可知四边形 FCDE、四边形ACDF都是平行四四边形.C因为AE=DB=2,AB=DE=1,所以四边形ABDE也是平行四边 形.三、 运用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”判 别例3 如图3，E、F是四边形ABCD的对角线 AC上的两 点，AE=CF,DF = BE,

3、DF / BE，试说明四边形 ABCD是平行四边 形.分析：题目给出的条件都不能直接判别四边形 ABCD是平 行四边形，但仔细观察可知， 由已知条件可得厶 ADF CBE , 由此就可得到判别平行四边形所需的一组对边平行且相等 ”的条件.解：因为 DF / BE，所以/ AFD=Z CEB.因为 AE = CF，所以 AE+EF=CF+EF，即 AF=CE.又 DF = BE, 所以 ADF CBE，所以 AD=BC，Z DAF=Z BCE， 所以AD / BC.所以四边形 ABCD是平行四边形.四、运用两组对边分别平行的四边形是平行四边形”判别图4例4 如图4，在平行四边形 ABCD中，/

4、DAB、/ BCD 的平分线分别交 BC、AD边于点E、F，则四边形AECF是平行 四边形吗？为什么？分析：由平行四边形的性质易得AF / EC,又题目中给出的是有关角的条件，借助角的条件可得到平行线，故本题应考 虑运用 两组对边分别平行的四边形是平行四边形”进行判别解：四边形AECF是平行四边形.理由：因为四边形 ABCD是平行四边形，所以 AD / BC, / DAB= / BCD,11所以 AF / EC.又因为/ 1=/ DAB,/ 2=/ BCD ,22所以/ 1= / 2因为 AD / BC,所以/ 2= / 3, 所以/仁/ 3,所以AE/ CF.所以四边形AECF是平行四边形判

5、定平行四边形的五种方法平行四边形的判定方法有：（1）证两组对边分别平行；（2） 证两组对边分别相等；（3）证一组对边平行且相等；（4）证对角线互相平分；（5）证两组对角分别相等。下面以近几年的中 考题为例说明如何证明四边形是平行四边形。一、两组对边分别平行F如图1 ,已知 ABC是等边三角形，D、E分别在边BC、AC上，且CD=CE，连结DE并延长至点 F，使EF=AE, 连结AF、BE和CF(1)请在图中找出一对全等三角形，并加以证明； 判断四边形ABDF是怎样的四边形，并说明理由。解：(1)选证 BDE FEC证明： ABC是等边三角形， BC=AC,/ ACD=60 / CD=CE ,

6、BD=AE , EDC 是等边三角形 DE=EC,/ CDE = / DEC =60 / BDE = Z FEC=120 又 EF=AE, BD=FE , BDE FEC(2)四边形ABDF是平行四边形理由：由(1)知， ABC、A EDC AEF都是等 边三角形/ CDE=Z ABC=Z EFA=60 AB / DF , BD / AF四边形ABDF是平行四边形。点评：当四边形两组对边分别被第三边所截，易证 截得的同位角相等，内错角相等或同旁内角相等时， 可证四边形的两组对边分别平行，从而四边形是平 行四边形。二、一组对边平行且相等例2 已知：如图2，在正方形 ABCD中，G是CD上一 点，

7、延长BC到E,使CE=CG,连结BG并延长交 DE于F(1) 求证： BCG DCE ;(2) 将厶DCE绕点D顺时针旋转90。得到 DAE,判 断四边形EBGD是什么特殊四边形？并说明理由。分析：(2)由于ABCD是正方形，所以有 AB/ DC , 又通过旋转 CE=AE已知CE=CG,所以EA=CG,这 样就有BE GD，可证E BGD是平行四边形。解：(1)v ABCD是正方形，/ BCD=Z DCE=90 又T CG = CE, BCG DCE(2) DCE绕D顺时针旋转90得到 DAE, CE=AE,t CE=CG , CG=AE,四边形ABCD是正方形 BE / DG , AB=C

8、D AB-AE CD-CG，即 BE DG四边形DE BG是平行四边形点评：当四边形一组对边平行时，再证这组对边相 等，即可得这个四边形是平行四边形三、两组对边分别相等例3 如图3所示，在 ABC中，分别以 AB、AC、BC 为边在BC的同侧作等边 ABD，等边 ACE，等 边厶BCF。求证：四边形DAEF是平行四边形； 分析：利用证三角形全等可得四边形DAEF的两组对边分别相等，从而四边形DAEF是平行四边形。解： ABD和厶FBC都是等边三角形/ DBF + / FBA=Z ABC+ / FBA=60 / DBF=Z ABC又 BD = BA, BF=BCABC DBF AC=DF =AE

9、 同理 ABCEFC AB=EF=AD四边形ADFE是平行四边形点评：题设中存在较多线段相等关系时，可证四边 形的两组对边分别相等，从而可证四边形是平行四 边形。四、对角线互相平分例4已知：如图4，平行四边形 ABCD的对角线AC和 BD相交于 0 , AE丄BD于E, BF丄AC于F , CG丄BD于 G , DH丄AC于H，求证：四边形 EFGH是平行四边形。分析：因为题设条件是从四个顶点向对角线引垂线，这 些条件与四边形EFGH的对角线有关，若能证出OE = OG, OF = OH，则问题可获得解决。证明： AE 丄 BD , CG BD ,/ AEO= / CGO,/ AOE= / C

10、OG, OA=OC AOE COG OE=OGA同理 BOFS DOH OF = OH四边形EFGH是平行四边形点评：当已知条件与四边形两对角线有关时，可证两对 角线互相平分，从而证四边形是平行四边形。五、两组对角相等例5将两块全等的含30 角的三角尺如图1摆放在一起 四边形ABCD是平行四边形吗？理由 (1)如图2，将 RtA BCD沿射线 BD方向平移到RtA B1C1D1的位置，四边形 ABCiDi是平行四边形 吗？说出你的结论和理由： 分析：因为题设与四边形内角有关，故考虑四边形 的两组内角相等解决问题。解：(1)四边形ABCD是平行四边形，理由如下：/ ABC= / ABD + /

11、DBC =30 +90 120 / ADC= / ADB + Z CDB =90 +30 =120 又/ A=60 ,Z C=60 , Z ABC = Z ADC , Z A=Z C(2)四边形ABC1D1是平行四边形，理由如下：将Rt BCD沿射线方向平移到 Rt B1C1D1的位置时，有 Rt C1BB1S Rt ADD1Z C1BB1= Z AD1D , Z BC1B1= Z DAD 1有/ CiBA = / ABD + / CiBBi = / C1D1B1 + / ADiB= / AD 1C1，/ BCiDi=/ BC1B1+ / BiCiDi= / DiAD+ / DAB= / Di

12、AB所以四边形ABCiDi是平行四边形点评：(2)也可这样证明：由(1 )知ABCD是平行 四边形， AB/ CD，将RtA BCD沿射线BD方向平移到 RtA B1C1D1的位置 时，始终有 AB / CiDi，故ABCiDi是平行四边形。判断平行四边形的策略在学习了 平行四边形”这部分内容后，对于平行四边形的 判定问题，可从以下几个方面去考虑：一、考虑对边关系思路i:证明两组对边分别相等例i 如图i所示，在 ABC中，/ ACB = 90 BC的垂 直平分线 DE交BC于D，交AB于E, F在DE上，并且 AF = CE.求证：四边形 ACEF是平行四边形.证明： DE是BC的垂直平分线,

13、 DF 丄 BC, DB = DC.B（图i）/ FDB = / ACB = 90 . 1 DF / AC . CE = AE = AB.2/ i = / 2 .又 EF / AC, AF = CE = AE ,/ 2 = / i = / 3 =Z F. ACE 也厶 EFA. AC = EF.四边形ACEF是平行四边形 思路2:证明两组对边分别平行例2 已知：如图 2，在 ABC中，AB = AC, E是AB的 中点，D在BC上，延长 ED至U F，使ED = DF = EB.连结FC.求证：四边形AEFC是平行四边形证明： AB = AC,aZ B = / ACB./ ED = EB,aZ

14、 B = / EDB./ ACB = / EDB. EF / AC./ E 是 AB 的中点， BD = CD./ EDB =Z FDC , ED = DF , EDB FDC.DEB = / F. AB / CF.四边形AEFC是平行四边形. 思路3:证明一组对边平行且相等例3 如图3,已知平行四边形 ABCD中，E、F 分别是AB、CD上的点，AE = CF , M、N分别是 DE、BF的中点. 求证：四边形 ENFM是平行四边形.证明：四边形 ABCD是平行四边形， AD = BC,Z A = / C . 又 AE = CF , ADE CB/ 1 = / 2, DE = BF ./ M

15、、N分别是DE、BF的中点， EM = FN ./ DC / AB,./ 3 = / 2./ 1 = / 3. EM / FN .C四边形ENFM是平行四边形.13二、考虑对角”关系思路：证明两组对角分别相等例4 如图4,在正方形 ABCD中，点E、F分别是AD、BC的中点.求证：(1 ) ABE CDF ;(2)四边形BFDE是平行四边形.证明：(1 )在正方形 ABCD 中，AB = CD ,AD = BC, Z A = / C90 / AE :11=AD,CF = BC,22 AE =CF. ABEBA CDF(2)由(1 ) ABE也厶 CDF 知，Z 1 = Z 2, Z 3 =Z

16、4. Z BED =Z DFB.在正方形 ABCD 中，/ ABC = / ADC,四边形BFDE是平行四边形三、考虑对角线”的关系 思路：证明两条对角线相互平分例5 如图5,在平行四边形 ABCD中，Pi、P2是对角线BD的三等分点.求证：四边形 AP1CP2是平行四边形证明：连结AC交BD于0.四边形ABCD是平行四边形， 0A = OC, OB = 0D./ BPi = DP2 , OPi = OP2 .四边形AP1CP2是平行四边形平行四边形的识别浅析平行四边形是初中数学中的基本图形，正确识别平行四边 形，是进一步学习矩形、菱形和正方形的基础。识别平行四边 形是利用边、角和对角线的特点

17、，而且只需要两个条件，为了 更加清楚哪些条件能或不能识别平行四边形，我们把这些条件 总结如下。1利用定义或定理直接识别平行四边形1.1两组对边分别平行，如图 1,AB / CDAD / BC。1.2两组对边分别相等，如图 1,AB=CD,AC=BC。1.3两组对角分别相等，女口图 1,Z ABC=Z ADC,/ BAD= / BCD。1.4 一组对边平行且相等，如图1,AB / CD,AB=CD。1.5两条对角线互相平分，如图1,OA=OC,OB=OD。2利用定义和定理间接识别平行四边形2.1 一组对边平行且一组对角相等，如图 1,AB / CD,/ABC= / ADC。证 明：/ AB /

18、CD / ABC+ / BCD=180 又 / ABC= / ADC / ADC + / BCD = 180 AD / BC 四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别平行）2.2 一组对边平行且两条对角线交点平分一条对角线，如图1, AB / CD , OA=OC。证明：/ AB / CD / BAC= / DCA 在AOB 和COD中 , / BAC=/DCA , OA=OC , / AOB = / COD / AOB也COD (ASA) / AB=CD 二四边形 ABCD 是平行 四边形(一组对边平行且相等)2.3两组邻角互补，而且两组邻角要有一个公共角，如图 1,Z DAB + Z AB

19、C=180 ABC+ / BCD=180 证 明：/ DAB + Z ABC=180 AD / BC 又vZ ABC+ Z BCD=180 AB/ CD 四边形 ABCD是平行四边形（两组对边平 行）3不能识别为平行四边形3.1两组不同的邻角互补，如图2,Z A+ Z B=180 Z C+ Z D=180 ；可以画出梯形。3.2识别平行四边形的条件涉及的边、角相等关系都是对边对角，涉及邻边邻角相等的都不能做为平行四边形识别的条件。 两组邻边相等，如图 3, AB=AD,CB=CD,不一定是平行四边形。 两对邻角相等，如图 4, Z A= Z D,Z B= Z C,可以画出等腰梯形。3.3 一组

20、对边平行且另一组对边相等，如图4AD / BC,AB=CD,也可以画出等腰梯形。3.4 一组对边相等，一组对角相等，不一定是平行四边 形。反例作图方法，如图5 :作Z ABC,在边BA上确定点A,在边BC上确定点 C,过点A、B、C作O O1,以点C为 圆心，以线段AB长为半径作O C,以AC为弦作O O1的等 圆O O2,交O C于D、E两点，则四边形 ABCD为平行四边 形，而四边形 ABCE即为符合条件的非平行四边形，即O1.O2AB=CE,Z ABC=Z AEC。3.5 一组对边相等，对角线交点平分一条对角 线，不一定是平行四边形。反例作图方法，如图6:作线段AB,过线段AB的中点O作

21、直线CD, 过点B作BE丄CD,垂足为 巳以点E为圆心，小 于线段OE的长为半径作O 巳交CD于F、G两点， 以点A为圆心，BF长为半径作O A,交直线CD 于H、I两点，则四边形 AGBH和四边形AFBI为平行四边形，而四边形 AGBI和四边形AHBF即为符合条件的非平行四边形，如在四边形AGBI中，AI = BG,OA=OB。说明一个四边形是平行四边形的思路山东 于秀坤平行四边形是最基本、最重要的一类特殊四边形如何 说明一个四边形是平行四边形呢？要说明一个四边形是平行四 边形，一般可以根据题目中所给的条件，分别通过下列的思路 进行说明.一、当已知条件出现在四边形的一组对边上时，考虑采用 两

22、组对边分别平行或相等的四边形是平行四边形”或一组对边平行且相等的四边形是平行四边形” 例1如图1，在 ABC中，AD是角的平分线， DE/AC交 AB于点E, EF/BC交AC于点F，试说明AE=CF A图1分析：由AD是角的平分线，可知/ 仁/2，由DE/AC, 可知/ 2= / 3，所以/仁/ 3,即可得AE=ED，要说明AE=CF , 可转化为说明ED=EC,因此，只需说明四边形 EDCF是平行四 边形就可以了.解：因为/ 1 = / 2,/ 2= / 3，所以/仁/3,所以AE=ED, 又因为DE/AC, EF/BC,所以四边形EDCF是平行四边形（两 组对边分别平行的四边形是平行四边

23、形） 所以ED=CF，所以AE=CF 二、当已知条件出现在四边形是对角上时，考虑 采用两组对角分别相等的四边形是平行四边形” 例2如图2, AE、CF分别是ABCD 的内角/ DAB、/ BCD的平分线，试说明四边形 AECF是平行四边形.11/ 仁一/ DAB , / 2= / BCD ,22所以，/仁/ 2,因为 AB/CD，所以/ 3= / 1,/ 4= / 2,所以/ 3= / 4，所以/ 5= / 6, 所以四边形 AECF是平行四边形.三、当已知条件出现在四边形的对角线上时，考虑采用两条对角线互相平分的四边形是平行四边形”例3如图3，在OBCD中，AC、BD相交于 0, EF过O

24、分另交 AD、BC于E、F, GH过0分另U AB、CD交于 G、H .试 说明四边形EGFH是平行四边形.图3 解：在CABCD中，因为AB/CD，所以/ 1 = / 2, 因为 OA=OC,/ 3= / 4,所以 AOG COH，所以 OG=OH,同理OE=OF ,所以四边形EGFH是平行四边形.构造平行四边形解题山东 邹殿敏平行四边形是一种特殊的四边形，它的对边平行且相等， 对角相等，对角线互相平分.许多几何问题可以通过添加辅助 线，构造平行四边形加以解决.、求线段的长例1如图1，在正 ABC中，P为边AB上一点，Q为边AC上一点，且AP=CQ .今量得A点与线段PQ的中点M之间 的距离

25、是19cm,贝U P点到C点的距离等于 cm.分析：作QD/AB,交BC于点D ,连接PD , MD.由厶ABC 为正三角形，易知 BP=BD , AP=DQ，所以四边形 APDQ为平行四边形.所以 AMD是平行四边形 APDQ的对角线.所以AD=2AM =2 X19=38以 PC=38cm .PC=AD.所图1二、证明线段相等问题 例2如图2，在梯形图2ABCD 中,AD/BC, AB=CD，延长CB 至U E，使 EB=AD，连接 AE.求证：AE=AC .分析：连接BD .由AD与BE平行且相等，易知四边形AEBD 是平行四边形，所以 BD=AE .因为AC=BD，所以AE=AC.三、证明线段和差问题例3如图3, ABC中，D, F是AB边上两点，且AD = BF, 作 DE/BC, FG/BC,分另U交 AC 于点 E, G.求证：DE + FG=BC .ABH C图3分析：作 GH/AB交BC于点H .则四边形 BHGF是平