差比型数列的裂项求和法_第1页
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差比型数列的裂项求和法_第3页
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文档简介

1、差比型数列的裂项求和法差比型数列的求和是 数列的重点内容之一， 也就是形如 Bn =anbn，其中 a n 等差数列， b n 等比数列。 现在已知 Bn=anbn，求 Bn 的前 n 和 Sn。nn因 an 等差数列， 所以可以 an=dn+e，bn=b1p 。 Bn=(dn+e)b 1p . 在学夫子要告 你的是，一旦能配成此形, 则 Sn=f(1)-f(0)+f(2)-f(1)+f(3)-f(2)+ +f(n)-f(n-1)=f(n)-f(0),这样就不必涉及到复 的运算了，直接到位。那么， 就是如何配成裂 的形式了。我 先要注意的是f(n)的 构与 an 的 构是一 的，都是一次多 式

2、与指数函数的乘 ， 住 一点，我 就有了明确的目 。下一步就是确定里面的两个参数r 和 s 的 了。将配成后的Bn 展开，与 目 出的式子 照， 系数相等即可求出r 和 s 。 也是我 常在配凑法里确定参数的方法。 上可以看出来， 个方程 很 的，第一个就直接求出r ， 入第二个就求出s ， 就配出了我 的差比型， 不 算后可以 ， 要想能 利解出 r 和 s，必 要保 p1. 所以 是一种特殊的情况，不 当 p=1 的 候，也就没那么复 ，直接等差数列求和公式搞定。不 于平 的做 ，我 完全可以采用 的方法解出 r 和 s 。那就是特殊 法， 是以一道 作 例子吧！例 : 已知 an=3n(

3、2n+1), 求 an 的前 n 和 Sn.设 an=f(n)-f(n-1),f(n)=3n(rn+s).a1=f(1)-f(0)=3(r+s)-s=2s+3r=9a2=f(2)-f(1)=9(2r+s)-3(r+s)=15r+6s=45 立方程求得r=3,s=0,所以an=f(n)-f(n-1),f(n)=3n(3n)从而Sn=f(n)-f(0)=3n(3n) ，此 和我 用 位相减法得出的 果是一 的，并且不用 n=1 的 候。因 是自然成立的。此解法相 于 位相减法来 ，唯一的不足就是一开始有点“霸王硬上弓”的味道，但是 算 程却 得 多。最后我还想借此谈谈对裂项求和本质的看法。我们通过裂项求和，就是想把一个an 分解成an=f(n)-f(n-k)的形式，然后相加后就消除许多中间项。而在我们的数列中有现成的例子：an=Sn-S n-1 ，所以，如果你成功滴将an 分解成 an =f(n)-f(n-1)的形式，那么Sn 和 f(n) 之间就只相差一个常数而已，你可以设Sn=f(n)-k，然后取 n=1 即可求出 k。实际上我们知道这个k 就是 f(0).对于数列求和问题，建议你看一下下面两篇文章，里面提到了一些常用的方法及需要注意的问题最后来几道题大家自己练习一下吧，彻底掌握这种方法：

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