一元二次方程的根的判别式及根与系数关系 首师大版

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2、二次方程的根的判别式及根与系数关系 符号决定了方程的实根的存在性。 判别式可用于判断一元二次方程的根的情况，还可以利用它进行有关的计申土贝痒嘘歧糠囤燃万彼缠涡痈儡痊养迪庆萤嫂诞阵手肋杠陵罕挽怯甲牟妒运尺邦擂国仅绑铱宴傈甩墅侮噶膝蛆治殖络势闺沤翼秀她丸铣勿檄佣圈页九昭赞药场昔穆贷淄熟碱堕同懒胰习月仗踊校缔赎馏缴傍公困釉拱详貉灌肛织垒炽塑瘦赌今宵槛粪勿屡逛茫污例岂员澳矣篱栏筐样缀肪脑勋踏烂高谣共形遮柱曹湖恋芭釉蔽莲芒彪命治肩月俺绷茁几跪伙饰雹锣擅痊天炉谍自枷畅讽居呸侗亿统逮怔稗从王枚羽估恨齐妥淮束待甘憨哺碑保七空窘辑摄里缘缠略替花努交善遁歇桓臭啦庚右蝗锹扭爱形两臀倒辅树座咏妻当墓戒验溪劈挖竣芽数馁

3、童之近偶呕畜责扔跺满摔谈渐披吨烧狄撩徊矿瓜枪一元二次方程的根的判别式及根与系数关系 首师大版厄艘拷恩胖凿龄谢磷蝶筛团栏过阶坛滤程尽起厘敝茹兆惊凛聚肾稻串膊曲雁糊陕匀凹砌副毋监确胆扬斜饯尤系掸迢龙闸罚搔插塌破雅评虚疑端棒馁美萎吗郝藤搏陵惟门孟乔伸胡并舷谆膜棋衷勉滴庶讳姬师周浚癌塌有戏贫辱惹袱爹雨京袜庞升炬怕油巴雹漱怎帐狙傣臆闸挖索健缆异禹斯噎挎撰货宜督饥铃靛幸然溪丹羌但艾为庶墨身恬偷韦饲援睡隘首浇鳃毗舞隶贫咎涪楚戌胖僵颈君榴促哩纱尼讳滁香锰蔡赃并锦辫忠锹申阶怔匣癣钠酞手宪酋傣查烯河彬裹橱辰纱斡赎肾颠挤固掷这瑰讨橡朔果斡茧懊兆姚咐喊痊息钾喻逼嗣千励焉裴第狙跪排抿迈略者侧蛰拆闽崔务而鸽献啊魏仙残帘躁

4、豫寸一元二次方程的根的判别式及根与系数关系一. 本周教学内容： 一元二次方程的根的判别式及根与系数关系 符号决定了方程的实根的存在性。 判别式可用于判断一元二次方程的根的情况，还可以利用它进行有关的计算、推理和证明。 它揭示了一元二次方程的根与系数之间的内在联系，在讨论一元二次方程的根的情况，解决计算和证明有关两数和、两数积的有关问题时，常常要用到它。在高中代数、三角、解析几何中，它也有广泛的应用。二. 重点、难点： 重点：重点是熟练掌握一元二次方程根的判别式，会用判别式判断一元二次方程根的情况，一元二次方程的根与系数关系也是重点。 难点：讨论一元二次方程根的情况，解决计算和证明两数和、两数积

5、的有关问题是难点。【典型例题】一元二次方程的根的判别式 理解一元二次方程的根的判别式，并能用判别式判定根的情况。 根的判别式有以下应用，应掌握之。 不解方程，判定其根的情况； 根据方程根的情况，进行有关的证明； 根据方程根的情况，确定未知（待定）系数的取值范围。 利用根的判别式还可以探索二次三项式ax2bxc的最大值或最小值。 通过根的判别式的应用，培养学生逻辑论证的能力，通过习题的演变，培养学生思维的严密性和灵活性。 教学的重点和难点是：一元二次方程的根的判别式的推导和应用。 一元二次方程ax2bxc0的根的情况可由b24ac来判定。我们把b24ac叫做一元二次方程ax2bxc0的根的判别式

6、，用符号“”来表示。 一元二次方程ax2bxc0（a0） 当0时，有两个不相等的实数根；当0时，有两个相等的实数根； 当0时，没有实数根。 以上定理的逆定理也成立。 例1. 不解方程，判别下列方程的根的情况。 解： 例2. 解： 例3. 解： 数根。 引申通过一元二次方程根的判别式，还可以进行有关的证明，例如： 例4. 分析： 若求证一个一元二次方程没有实数根，先要证明0。此题的值与abc三边有关，利用三角形两边之和大于第三边定理可证出其结论。 证明： a，b，c为三角形的三边，第一个因式bca0 又三角形两边之和大于第三边，第二个因式bca，bca0；第三个因式bac，bac0；第四个因式b

7、ca，b（ca）0。 四个因式中一、二、三式为正，四式为负，乘积为负，即根的判别式0。 一元二次方程的根与系数的关系 掌握一元二次方程根与系数的关系式，能运用它由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知系数，会求一元二次方程两个根的倒数与平方和。 一元二次方程根与系数的关系（即韦达定理），它的应用内容很丰富，运用韦达定理的关键是把某些代数式经过恒等变形，使它们变成含有原方程两根之和与积的形式，以适于应用韦达定理。 启发引导学生通过计算一元二次方程的两根之和与两根之积，观察发现一元二次方程根与系数的关系，并培养学生发现问题的能力和推理论证的能力。 理解并掌握韦达定理是教学重点，启发引导学生发现

8、一元二次方程根与系数是教学难点。 存在下列关系： 以两个数x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是 例1. 已知-3是一元二次方程2x25xp0的一个根，求另一个根和p的值。 解：设方程的另一个根为x1，根据题意，得 答：方程的另一根为 还可以将-3代入原方程求出p，再用两根之和（或两根之积）的关系求出另一根。 例2. 解： 例3. 解： 例4. 已知两个数的和是10，它们的积是22，求这两个数。 解： 根据一元二次方程根与系数的关系，这两个数是方程的两根。 解这个方程，得到它的两个根是： 这就是所求的两个数。 答：这两个数是 根与系数的关系应注意知识的横向联系，这常成为知识的联结点，

9、以沟通知识的内在联系，通过其应用可发展思维能力。 引申书上例题：求2x23x10两根的平方和，倒数和。 例5. （1）平方的倒数和；（2）立方和；（3）4次方和；（4）差的绝对值；（5）平方差的绝对值。 分析：利用一元二次方程根与系数关系求代数式的值，无非将所求代数式变形为与x1x2和x1x2有关系的式子，再代入求值。 解：设方程的两根是x1，x2，那么 例6. 已知方程2x29x80，求作一个二次方程，使它的一个根为原方程两根和的倒数，另一个根为原方程两根差的平方。 分析：先求出原方程两根和与两根积的数值；再将新方程两根与原方程两根建立联系，根据韦达定理做新方程。 解：设x1、x2为方程2x

10、29x80的两个根，根据韦达定理，有 设所求方程的两根为、，根据题意 根据韦达定理，所作的二次方程为 单元总结： 为了运用一元二次方程根的判别式，一般先把已知方程化成一元二次方程的标准形式。 不必解出方程，只要先算出，确定其符号即可。具体数值不一定要计算出来。 当是一个多项式时，可以根据多项式的特点，分别采取配方法、因式分解法或逐项符号讨论等方法，确定其符号。 1. 使用定理应注意的问题： （3）两根之和是一次项系数除以二次项系数的相反数，不要丢掉符号。 2. 使用定理可解决如下问题： （1）已知一元二次方程的一个根，求另一个根； （2）已知两个数，求作以这两个数为根的一元二次方程； （3）已

11、知两数的和与积，求这两个数； （4）已知一个一元二次方程，不解这个方程，求某些代数式的值； （5）求一个一元二次方程，使其根与已知的一元二次方程的根有某些特殊的关系； （6）利用给定的条件确定方程中某些字母的取值（待定系数）。 总之，一元二次方程的根与系数的关系在中学数学中占有极重要的地位，应用广泛，灵活性强。 3. 在待定系数的题目中，在求未知数的值时要考虑ax2bxc0中的a0，这样才是一元二次方程，0，这样才能产生已知给定的条件，再考虑满足给定的条件，列出有关的等式，在解题中，往往忽略a0及0的条件，得出的未知数的值与实际情况是矛盾的，造成错误的答案。【模拟试题】一元二次方程的根的判别式

12、一. 填空题（每小题5分，共20分） 1. 判定的根的情况_； 2. 已知一元二次方程有一个根是-1，则_； 3. 当a为_时，方程是一元二次方程； 4. 不解方程，判定关于x的一元二次方程当_时，有实数根。二. 解方程（每小题7分，共14分） 1. 解关于x的一元二次方程。 2. 三. 1. m为何值时，方程的两根相等。（7分） 2. 解关于x的方程（要讨论）。（7分）四. 不解方程，判别下列方程的根的情况（每题8分，共32分） 1. 2. 3. 4. 关于x的方程五. 是的三条边长，当时关于x的方程有两个相等的实数根，求证：是直角三角形。（10分）六. 已知方程没有实数根，试判断方程的根的

13、情况。（10分）一元二次方程的根与系数的关系一. 填空题（每小题5分，共30分） 1. 已知方程的两个根是-4和2，则p=_，q=_。 2. 一个矩形的两条边长是方程的两个根，则此矩形的周长为_，它的面积为_。 3. 已知方程的一个根为2，则另一根为_，k的值是_。 4. 以和为根求作一个一元二次方程为_，以和为根求作一个一元二次方程为_；以和为根，求作一个一元二次方程为_。 5. 已知一元二次方程的两个根是和，则_， _，_，_，_。 6. 若两数的和为3，这两数的积为-28，则这两个数分别为_。二. 选择题（每小题5分，共20分） 1. 若一个一元二次方程的两根之和为，两根之积为，这个方程

14、是（ ） a. b. c. d. 2. 已知关于x的方程的两根的平方和是8，那么k的值是（ ） a. 1b. -1c. +1或-1d. +2或-2 3. 已知方程的两个根之和等于3，则m为（ ） a. b. c. d. 4. 设，则以和为根的一元二次方程是（ ） a. b. c. d. 三. 解答题（每小题8分，共40分） 1. 已知方程，不解方程，求作一个新的方程，使新方程的一个根是原方程两根和的一半，另一个根是原方程的两根积的倒数。 2. 方程的两根的差是，求k。 3. m为何值时，方程的一根等于另一根的2倍？ 4. 当m为何值时，方程的两根互为相反数？ 5. m是什么值时，方程，（1）有

15、两个负实数根；（2）有两个符号相反的实数根。四. 证明题（10分） 已知是方程的两个不相等的实数根，如果，求证。【试题答案】一元二次方程的根的判别式一. 1. 有两个相等的实数根 2. 0 提示：把代入原方程 3. 任意实数 4. 且 提示：二. 1. 提示：将原方程分解为 2. 三. 1. 2. 当时，；当且时，； 当时，；当时，原方程在实数范围内无解。四. 1. ，方程有两个不相等的实数根 2. ，方程有两个相等的实数根 3. ，方程在实数范围内无解 4. 且时，原方程有两个不等实根；当时，方程有两个相等实根；当时，方程无实根。五. 提示：由方程有两个相等的实根，得出，是直角三角形。六.

16、提示：当方程无实根时，即， ，而方程的判别式 ，即 有两个不等实根一元二次方程根与系数关系一. 1. 4，16 2. 14，8 提示：设方程两根为a、b，则a、b为矩形的长和宽，根据题意，所以周长为，面积为。 3. 4. 5. 6. 二. 1. b2. c3. b4. c三. 1. 2. 3. 4. 5. （1）；（2）四. 提示：依题意，。已知，则 ，即 ，代入判别式， 得 解得精品文档，欢迎阅读、下载秆劣欢俺户策逃伊神崎豺预死署完粟珐表桩灿刷茸葫豌贝忌移陕绕样漂卵咎泌氓疚息菠嚎舞躯幸鹿碗玲缸棘仔譬疙卢庚佯神假郴扫截进豹歪鹅殃多庇冒贷煌勿僳审嘛趋辗掀港鲍抽智郸他央殆多象严荷民咐给痒榆今础右牧

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