二次函数图象的几何变换

1、二次函数图象的几何变换知识点拨一、二次函数图象的平移变换（1）具体步骤：先利用配方法把二次函数化成y=a(x-h)2+k的形式，确定其顶点(h,k)，然后做出二次函数y=ax2的图像，将抛物线y=ax2平移，使其顶点平移到(h,k).具体平移方法如图所示：（2）平移规律：在原有函数的基础上“左加右减”.二、二次函数图象的对称变换二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1.关于x轴对称xcy=a2x+b+关于x轴对称后，得到的解析式是y=-ax2-bx-c；y=a(x-h)2+k关于x轴对称后，得到的解析式是y=-a(x-h)2-k；2.关于y轴对称xcy=a2x+b+关于y轴

2、对称后，得到的解析式是y=ax2-bx+c；y=a(x-h)2+k关于y轴对称后，得到的解析式是y=a(x+h)2page1of8+k；3.关于原点对称xcy=a2x+b+关于原点对称后，得到的解析式是y=-ax2+bx-c；(2ky=ax-)h+关于原点对称后，得到的解析式是y=-a(x+h)2-k4.关于顶点对称；xcy=a2x+b+关于顶点对称后，得到的解析式是y=-ax2-bx+c-b2；2ay=a(x-h)2+k关于顶点对称后，得到的解析式是y=-a(x-h)2+k5.关于点(m，n)对称y=a(x-h)2+k关于点(m，n)对称后，得到的解析式是y=-a(x+h-2m)2+2n-k

3、根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a永远不变求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式例题精讲一、二次函数图象的平移变换【例1】函数y=3(x+2)2-1的图象可由函数y=3x2的图象平移得到，那么平移的步骤是：（）page2of8a.右移两个单位，下移一个单位上移一个单位b.右移两个单位，左移两个单位，下移一个单位c.d.上移一个单位左移两个单位，【例2】函数y=-2(x-1)2-

4、1的图象可由函数y=-2(x+2)2+3的图象平移得到，那么平移的步骤是（）a.右移三个单位，下移四个单位移四个单位b.右移三个单位，上左移三个单位，下移四个单位c.d.移四个单位左移四个单位，上22【例3】二次函数y=-x+4x+1的图象如何移动就得到y=-2x2（）的图象a.向左移动1个单位，向上移动3个单位.向上移动3个单位.b.向右移动1个单位，向左移动1个单位，向下移动3个单位.c.d.向下移动3个单位.向右移动1个单位，【例4】将函数y=x2+x的图象向右平移a(a0)个单位，得到函数y=x2-3x+2的图象，则a的值为（）a1b2c3d4【例5】把抛物线y=ax2+bx+c的图象

5、先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的图象的解析式是y=x2-3x+5，则n(n+1)n(n+1)_a+b+c=【例6】对于每个非零自然数n，抛物线y=x2-2n+11x+与x轴交于a、bnn两点，以ab表示这两点间的距离，则nnab+ab+a11222009b2009的值是page3of8（）a20092008b2008c2010d2009200920092010【例7】把抛物线y=-x2向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为ay=-(x-1)2-3by=-(x+1)2-3cy=-(x-1)+3dy=-(x+1)+322【例8】将抛物线y=2x2向下平移1个

6、单位，得到的抛物线是（）dy=2x2ay=2(x+1)2-1by=2(x-1)2cy=2x2+1【例9】将抛物线y=3x2向上平移2个单位，得到抛物线的解析式是（）a.y=3x2-2b.y=3x2c.y=3(x+2)2d.y=3x2+2【例11】已知二次函数y=3x-6x+5，求满足下列条件的二次函数的解析【例10】一抛物线向右平移3个单位，再向下平移2个单位后得抛物线y=-2x2+4x，则平移前抛物线的解析式为_2式：（1）图象关于x轴对称；（2）图象关于y轴对称；（3）图象关于经过其顶点且平行于x轴的直线对称page4of8【例12】如图，abcd中，ab=4，点d的坐标是(0，8)，以点

7、c为顶点的抛2物线y=ax+bx+c经过x轴上的点a，b求点a，b，c的坐标若抛物线向上平移后恰好经过点d，求平移后抛物线的解析式dcoab【例13】抛物线y=ax2-5x+4a与x轴相交于点a、b，且过点c(5，4)求a的值和该抛物线顶点p的坐标请你设计一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落要第二象限，并写出平移后抛物线的解析式二、二次函数图象的对称变换【例14】函数y=x2与y=-x2的图象关于_对称，也可以认为y=x2是函数y=-x2的图象绕_旋转得到page5of8【例15】已知二次函数y=x2-2x-1，求：关于x轴对称的二次函数解析式；关于y轴对称的二次函数解析式；关于原点对称的二

8、次函数解析式【例16】在平面直角坐标系中，先将抛物线y=x2+x-2关于x轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于y轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为ay=-x2-x+2by=-x2+x-2cy=-x2dy=x2+x+2+x+2【例17】已知二次函数y=ax2+4ax+4a-1的图象是c1求c关于r(1，0)成中心对称的图象c的函数解析式；12设曲线c、c与y轴的交点分别为a，b，当ab=18时，求a的值12【例18】已知抛物线y=x2-6x+5，求关于y轴对称的抛物线的表达式；关于x轴对称的抛物线的表达式；关于原点对称的抛物线的表达式【例19】设曲线c为函数y=ax2+bx

9、+c(a0)的图象，c关于y轴对称的曲线为page6of8c1，c1关于x轴对称的曲线为c，则曲线c的函数解析式为22_y【例20】对于任意两个二次函数：=ax2+bx+c，y=ax2+bx+c(aa0)，当a=a111122221212时，我们称这两个二次函数的图象为全等抛物线，现有dabm，a(-1，0)，b(1，0)，记过三点的二次函数抛物线为“c相应三个点的字母）”“”中填写yyymmaombxaobxaobxn图1图2图31）若已知m(0，)，dabmdabn（图1，请通过计算判断c与cabm是否为全等抛物线；在图2中，以a、b、m三点为顶点，画出平行四边形abn若已知m(0，n)，求抛物线cabm的解析式，并直接写出所有过平行四边形中三个顶点且能与c全等的抛物线解析式abm若已知m(m，n)，当m、n满足什么条件时，存在抛物线cabm？根据以上的探究结果，判断是否存在过平行四边形中三个顶点且能与cabm全等的抛物线若存在，请写出所有满足条件的抛物线“c”；若不存在，请说明理由【例21】已知：抛物线f:y=-(x-2)2+5试写出把抛物线f向左平行移动2page7of8个单位后，所得的新抛