完整版)利用导数证明不等式的常见题型

1、利用导数证明不等式的常见题型及解题技巧技巧精髓1、利用导数研究函数的单调性，再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点， 也是近几年高考的热点。2、解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得 不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键。一、利用题目所给函数证明【例1】 已知函数f(x) ln(x 1) x，求证：当x 1时，恒有于是函数f(x)在(1,)上的最大值为f(x)maxf(0)0，因此，当x1 时，f (x) f (0)0，即 ln(x 1) x 0 ln(x 1)x (右面得证)，现证左面，

2、令g(x) In(x 1)1门1，则g(x)1(x 1)2x(x 1)2当 x ( 1,0)时,g (x)0;当x(0,)时,g (x)0 ,即g(x)在x ( 1,0)上为减函数，在x (0,)上为增函数,故函数g(x)在(1,)上的最小值为g (x) ming(0)0 ,【警示启迪1)十11 11) 1，综上可知，当x 1时，有1 ln (x 1)x 1x 1】如果f (a)是函数f(x)在区间上的最大(小)值，则有 f(x)x 1 时，g(x) g(0)0 ,即 ln(xf (a)(或 f (x) f (a),那么要证不等式，只要求函数的最大值不超过2、直接作差构造函数证明1 2【例2】

3、已知函数f (x) x ln x.求证：在区间20就可得证.(1,)上，函数f (x)的图象在函数g(x) - x3的311In (x 1) xx 1分析：本题是双边不等式，其右边直接从已知函数证明，左边构造函数g(x)1ln(x 1)1,从其导数入手即可证明。x1【绿色通道】1f (x)1xx 1x 1当 1x 0 时，f(x)0 ,即 f (x)在 x(1,0)上为增函数当x0 时，f (x)0 ,即 f (x)在 x (0,)上为减函数故函数f (x)的单调递增区间为(1,0)，单调递减区间(0,)第1页共4页图象的下方;分析：函数f(x)的图象在函数g(x)的图象的下方1 22 3即一

4、 x lnx x ，2 3只需证明在区间(1,不等式f(x) g(x)问题，恒有x2 In x2I成立，设F(x) g(x) f(x) , x(1,要证不等式转化变为：当1时,【绿色通道】设 F(x)g(x)1考虑到F(1)6F(x) F(1)，这只要证明:1 2x22f (x)，即 F (x)g(x)在区间(1,)是增函数即可。(x) 2x2(x 1)(2x2 x1)1 时，f (x)=(x 1)(2xxx 1)从而F(x)在(1,)上为增函数， F(x) F(1)当 x1 时 g(x)f (x)0，即 f (x) g(x),lnx ,2x3【警示启迪】本题首先根据题意构造出一个函数(可以移

5、项，使右边为零，将移项后的左式设为函数) 并利用导数判断所设函数的单调性，再根据函数单调性的定义，证明要证的不等式。读者也可以 设F(x) f(x) g(x)做一做，深刻体会其中的思想方法。3、换元后作差构造函数证明故在区间(1,) 上,函数f(x)的图象在函数g(x)3的图象的下方。【例3】(2007年，山东卷)证明：对任意的正整数n,分析：本题是山东卷的第(II)问，从所证结构出发,1不等式In(n1只需令1)12n则问题转化为：当 x 0时，恒有 ln(x 1)x2x3成立，现构造函数 h(x)x3x2ln(x1)，求导即可达到证明。【绿色通道】令h(x)x3x2ln(x1),则 h (

6、x)3x22xJ在x 1x (0,)上恒正,所以函数h(x)在(0,)上单调递增，(0,)时，恒有 h(x) h(0)0,即x3x2 ln(x1)0 , In(x1)对任意正整数n,取x1-(0,)，则有nIn(-n1)【警示启迪】我们知道,当F(x)在a,b上单调递增,a 时，有 F(x) F(a) 如果 f(a)=(a)，要证明当x a时,f (x)(x)，那么,只要令F(x) = f (x) (x)，就可以利用F(x)的单调增性来推导也就是说，在F(x)可导的前提下，只要证明 F(x)0即可.第2页共4页4、从条件特征入手构造函数证明【例4】若函数y=f(x)在R上可导且满足不等式 x

7、f (x) f(x)恒成立，且常数 a, b满足ab，求证:.a f (a) b f (b)【绿色通道】由已知x f (x) + f (x) 0 构造函数 F(x) xf (x),则F(x) x f (x)+ f (x) 0,从而F(x)在R上为增函数。a b F(a) F(b)即 a f (a) b f (b)【警示启迪】由条件移项后xf (x) f (x),容易想到是一个积的导数，从而可以构造函数 F(x) xf (x),求导即可完成证明。若题目中的条件改为xf (x)f (x)，则移项后xf (x) f (x)，要想到是一个商的导数的分子，平时解题多注意总结。【思维挑战】21、 (200

8、7 年，安徽卷)设 a 0, f(x) x 1 In x 2a lnx 求证：当x 1时，恒有x In2 x 2a I nx 1 ,2、(2007年，安徽卷)已知定义在正实数集上的函数f(x)1x2 2ax, g(x) 3a21 nx b,其中 a0，且 b5a23a2 In a求证：f (x) g(x)x3、已知函数f (x) ln(1 x)，求证：对任意的正数a、b ,1 xK恒有 In a In b 1.a4、(2007年，陕西卷)f (x)是定义在(0, + 上的非负可导函数，且满足 xf (x) f(x) w0，对任意正数a、b，若a b，则必有()(A) af (b) w bf (

9、a)(B) bf (a) af (b)(C) af (a)w f (b)(D) bf (b)w f (a)答案咨询】1、提示:f (x) 1，当x 1, a 0时，不难证明1xxx f (x)0,即f (x)在(0,)内单调递增，故当x 1时，f (x) f (1)0 ,当 x 1 时，恒有 x In x 2aln x 12、提示：2设 F(x) g(x) f (x) x2 2ax 3a21 nx b 则 F (x) x 2a2x(x a)(x 到(x 0)a 0 ,当 x a 时，F (x) 0,x故F(x)在(0,a)上为减函数，在(a,)上为增函数，于是函数 F(x)在(0,)上的最小值是 F(a) f (a) g(a) 0,故当 x 0 时，有 f(x) g(x) 0,即 f(x) g(x)第5页共4页3、提示：函数f(x)的定义域为(1,) , f (x)当 1 x 0 时，f (x)0,即 f (x)在 x当 x 0 时，f (x)0,即 f(x)在 x (0,因此在x 0时，f(x)取得极小值f(0)0 ,f (x)f(0)0,从而 ln(1x