平行线分线段成比例定理

1、 平行线分线段成比例定理（1） 定理：三条平行线截两条直线，截得的对应线段成比例。（2） 定理的基本图形：aabbcc（3） 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。（4） 推论的基本图形： “日”型 “a”型 “x”型 “a”型二、例题：例1、 如图，l1l2l3，ab=3，bc=5，df=12，求de和ef的长。解：l1l2l3（平行线分线段成比例定理）ab=3，bc=5ac=ab+bc=8df=12de=4.5ef=dfde=7.5例2、如图，d为ab中点，e为ac上一点，de的延长线交bc的延长线于f。求证：分析：原题中没有平行线，因些需作平行线

2、，利用平行线分线段成比例定理来构成比例线段。证明：过点c作cgdf，交ab于gcgdf（平行线分线段成比例定理）ad=bd20练习：专题训练（1）1如图，已知：abc中，de/bc，分别交ba、ca的延长线于点d、e，f是bc的中点，fa的延长线交de于点g。求证：dg=eg。2已知：d是abc的边ab的中点，点e在bc边上，且be：ec=1：3，ed的延长线与ca的延长线交于f。求证：。3如图，已知：梯形abcd中，ad/bc，ac、bd交于点o，e是bc延长线上一点，点f在de上，且。求证：of/bc。4如图，已知：e为abcd的边bc延长线上一点，ae交bd于g，交dc于f。求证：。5如

3、图，已知：d是abc的边bc上一点，过d点的直线交ac于q，交ab延长线于p，ae/bc，交pq于e，pd：pe=dq：qe。求证：（1）d是bc的中点；（2）qapb=paqc。6如图，已知：ab/cd，ac、bd交于点o，oe/ab交bc于点e。求证：。专题训练（1）练习参考答案：1、证明：debc， f为bc中点，dg=eg。2、证明：过点a作agbc交df于g，3=4，d为ab中点，1=2，ad=dbadgbde ag=be，be：ec=1：3ag：ec=1：3，af：fc=1：3，af：ac=1：23、证明：adbc 又 dfbc4、证明：平行四边形abcd中，adbc，abdc5、

4、证明：（1）aebc， 又dc=bd d为bc中点 (2)bcae，qapb=paqc6、oeab，oedc 两边除以oe 得7已知：如图，线段ab=2，点c是ab的黄金分割点，点d在ab上，且。求的值。（本题6分）7、解：c为ab黄金分割点，又ab=2，从而（点e还是ad黄金分割点）专题训练（2）例2、 如图，f是abcd的边cd上一点，连结bf，并延长bf交ad的延长线于点e。求证：证明：abcdcdab，adbc（平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例）同理可得说明：本题是证明等积式的典型题。要证明，经常要把它转化为两个等式：和。我们通常把叫做中间比。而找中间比的常见的方

5、法就是通过找到平行线，然后利用平行线分线段成比例定理和它的推论来构造比例式。例3、 如图，d、e、f分别为abc边bc、ca、ab上的点，。连结de、cf。求证：de和cf互相平分。分析：证明两条线段互相平分，最好的方法就是证明这两条线段是一个平行四边形的对角线。因此可以连结ef、df，然后证四边形dcef是平行四边形。证明：连结ef、dfefbc（如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。）同理dfac四边形dcef是平行四边形de和cf互相平分说明：证两直线平行，通常都是通过证角的关系来得到，现在我们又有了新的方法证对应线段成比例。例4、 如图，在a

6、bc中，e为中线ad上的一点，。连结be，延长be交ac于点f。求证af=cf。证明：作dhac，交bf于点h（平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例。）d是bc的中点=同理可得af=cf说明：在证线段成比例这一类问题中，平行线是常见的辅助线。例5、 已知：如图，abbd于b，cdbd于d，连结ad，bc交于e，efbd于f。求证：证明：abbd，cdbd，efbdabefcd （平行于三角形一边并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形三边与原三角形三边对应成比例。）说明：证明通常是把它转化为证。二、练习题：1、将正方形abcd的bc边延长到e

7、，使ce=ac，ae与dc相交于点f，则ce：fc=（ ）a、2+b、+1c、1d、22、如图所示，abc中，debc，dfac，下列各式中不正确的是（ ）a、b、c、d、3、如图，梯形abcd，adbc，ac、bd交于点o，过点o作efad交ab、cd于点e、f，则（ ）a、oe=ofb、oeofc、oeofd、oeac），下列条件中不一定能保证acp abc的是（ ）a、acp=bb、apc=acbc、d、4、已知：abc abc，且bc=3，bc=1.8，则abc与abc的相似系数为_。（相似系数即相似比）5、de是abc的中位线，则ade _，相似比为_。6、一个三角形的各边之比为2：

8、5：6，和它相似的另一个三角形的最大边为15cm，则它的最小边为_。5、如图，bd、ce为abc的高，求证：ade abc。6、若cd是rtabc斜边ab上的高，且ad=9，bd=16，求ac、bc、cd。7、如图，已知1=2，3=4。求证：abd ace。专题训练（3）解答：1、c2、a3、d4、5、abc，6、5cm5、证明：bd、ce是abc的高aec=adb=90又a=aaec adb（两角对应相等，两三角形相似）ade abc（两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似）6、解：cd是rtabc斜边ab上的高acd abc cbd（直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似

9、），ac2=abad，bc2=abbd，cd2=adbd又ad=9，bd=16，ab=ad+bd=25ac=15，bc=20，cd=127、分析：要证明相似的两个三角形已经有一对角相等，所以可设法证明夹角的两边对应成比例。又从已知中发现1=2，3=4，于是abc ade。这样就可以得到夹角两边对应成比例。证明：1=21+dac=2+dac 即：bac=dae又3=4abc ade（两角对应相等，两三角形相似。）又1=2abd ace（两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。）专题训练（4）：相似三角形的性质一、知识点回顾1、相似三角形的性质（1） 相似三角形的对应角相等，对应边成比例。（2）

10、相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比。（3） 相似三角形周长的比等于相似比。以上各条可以概括为：相似三角形的对应线段之比等于相似比。（4）相似三角形面积之比等于相似比的平方。二、例题：例1、如图，在rtabc内有三个内接正方形，df=9cm，gk=6cm，求第三个正方形的边长pq。解： 设pq=xcm，则pk=6x。gf=9-6=3cmrtfgk rtkpq即：x=4cm即：正方形的边长为4cm例2、如图，在abc中，efbc，且ef=bc=2cm，aef的周长为10cm，求梯形bcfe的周长。解：efbcaef abc（相似三角形的周长之比等于相似比）abc的周长

11、为15cm梯形bcfe的周长=abc的周长aef周长+2ef=9cm例3、如图，abc被de、fg分成面积相等的三部分，且defgbc。求de：fg：bc。解：defgade afg（相似三角形的面积之比等于相似比的平方）。s1=s2即：同理de：fg：bc=1：例4、如图，矩形fghn内接于abc，f、g在bc上，n、h分别在ab、ac上，且adbc于d，交nh于e，ad=8cm，bc=24cm，nf：nh=1：2，求此矩形的面积。解：nhbcanh abc又adbc，nhfgaenh（相似三角形的对应边上的高之比等于相似比）设nf=x，则nh=2x，ae=aded=8xx=4.8s矩形fg

12、hn=nfnh=46.08答：矩形的面积为46.08cm2三、训练题：1、如图，梯形abcd中，adbc，对角线bd分成两部分面积的比是1：2，ef是中位线，则被ef分成的两部分面积之比为saefd：sbcfe=（ ）a、3：4b、4：5c：5：7d、7：92、如图，梯形abcd中，adbc，对角线ac、bd相交于点o，若saod:sacd=1：3，则saod:sboc等于（ ）a、1：6b、1：3c、1：4d、1：3、如图，debc，de把abc的面积分成相等的两部分，那么de：bc等于（ ）a、1：2b、1：4c、2：d、：24、如图，将abc的高ad三等分，过每一个分点作底边的平行线，这

13、样把三角形分成三部分，设这三部分的面积为s1，s2，s3，则s1：s2：s3=（ ）a、1：2：3b、2：3：4c、1：3：5d、3：5：75、如图，在abc中，cba=90，bdac于d，则下面关系式中错误的是（ ）a、ab2=adacb、bd2=addcc、ab2=ac2bc2d、ab2=acdc6、如图，在abc中，adbc，pqmn为正方形，且顶点在abc各边上，bc=60cm，ad=40cm，则正方形边长为（ ）a、12cmb、16cmc、20cmd、24cm7、如果两个相似三角形的对应边的比是4：5，周长的和为18cm，那么这两个三角形的周长分别为_。8、abc中，bc=54cm，

14、ca=45cm，ab=63cm，另一个与它相似的三角形的最短边为15cm，则周长为_。9、在abc中，点d、e分别为ab、ac上的点，deac，ab：db=2：1，f为ac上任一点，def面积为2，则sabc=_。10、如图，de是abc的中位线，fh是梯形bcde的中位线。de：ae：ad=4：5：6。试比较afh的周长与梯形bcde的周长的大小。11、如图，d、e分别是ab、ac上的点，abc的角平分线ah交de于点f，过点f作bc的平行线，分别交ab、ac于点g、k。已知bc=20cm，求gk。12、点m是rtabc的斜边ab的中点，过m作mdab交ac于d，交bc的延长线于e。求证：m

15、c是md、me的比例中项。专题训练（4）参考答案：1、c2、c3、d4、c5、d6、d7、8，10cm8、54cm9、810、sbcde=23，safh=22.511、12cm12、证明：mc是rtabc的斜边上的中线cm=mbb=mcb又emab，得e=90b而mcd=90mcb=90be=mcd又cmd=emcemc cmdmc2=memd专题训练（4）：相似三角形综合练习1.如图长方形abcd中，ab1，bcx（1x2），p、q、r分别是bc、cd、da上的点。且bap45，cpcq，rqap，rsap于点s。1）求证四边形pqrs是矩形；2）设矩形pqrs的面积为y，求y与x的函数关系

16、式；3）当四边形pqrs是正方形时，求cp的长。图1m2.如图，正方形abcd的边长为12，e是dc上一点，dade5，ae的中垂线交ad、bc于m、n，垂足为p，求mp：np的值。e pcbn3.已知某电脑公司有型、型、型三种型号的电脑，其价格分别为型每台6000元、b型每台4000元、c型每台2500元；东坡中学计划将100500元钱全部用于从该公司购进其中的两种型号的电脑共36台。请你设计出几种不同的方案供该校选择，并说明理由。4.如图，有一边长为5cm的正方形abcd和等腰pqr，pq=pr=5cm，qr=8cm，点b、c、q、r在同一条直线l上，当c、q两点重合时，等腰pqr以1cm

17、/秒的速度沿直线l按箭头所示方向开始匀速运动，t秒后正方形abcd与等腰pqr重合部分的面积为scm2，解答下列问题： （1）当t=3秒时，求s的值；（2）当t=5秒时，求s的值； 5.已知：abcd是梯形，ab/dc，对角线ac，bd交于e，dce的面积与ceb的面积比为13。 求：dce的面积与abd的面积比。 6.如图已知abc中，c90，b30，ab的垂直平分线交bc于d，交ab于e，若bd4，求ac的长。cd bea7.小强想测量一旗杆的高度，他在某一时刻测得1米的竹竿竖立时影长为1.2米；在同一时刻，测量旗杆影长时，因旗杆靠近一栋楼房，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上，他测得留在地面上的影子为12米，留在墙上的影子为2米。你能帮助他求出旗杆的高度吗？8.如图过abc的顶点任作一直线与ab及中线ad分别交于点f和点e，过点d作cdmfc交ab于点m。（1）若saef：s四边形mdef2：3，求ae：ed。 e（2）aefb2afed。 d af m b9.如图，在abc中，ab8cm，bc16cm，点p从点a开始沿ab边向点b以2cm/s的速度运动；点q从点b开始沿bc边向点c以4cm/sb的速度运动，如果p、q分别从a、b同时出发，经过几秒钟pbq与abc相似。ac 11.过平行四边形abcd的顶点a作任一直线与bd、bc、dc的延长线分别交于e、