大学高等数学上册：2-1导数概念

1、第2章导数与极限,导数概念,极限,连续性,微分法求导法则,一、两个等价问题,1. 曲线的切线问题,圆的切线定义为“与圆仅有一个公共点的直线”,此定义可以推广到椭圆的切线但不具有一般性,例：,问题：对于一般的曲线如何定义其在一点的切线呢？,讨论：1如何定义切线；2如何求出切线,2.1 导数,切线的一般定义,切线的一般定义,切线的一般定义,切线的一般定义,切线的一般定义,切线的一般定义,可见割线 PQ 趋于一条直线(如果存在的话),【例】 求 在点 ( 1, 1 ) 处的切线,【解】,切线方程：y 1 = 2 ( x 1 )即2x y 1 = 0,对直线 y = a x + b 来说，其上任一点处

2、的切线即,为其本身,2. 沿直线运动物体的瞬时速度问题,匀速运动：,设物体沿直线运动，其运动规律为 s = s( t ) ，其中,s ( t )为位移函数，讨论它在 时刻的瞬时速度,解法：考察时间间隔 内的平均速度,当 时，若差商 趋于确定的值 v ，,就是物体在 时刻的瞬时速度,问题：对于非匀速直线运动的物体, 如何确定其瞬,时速度呢？,则,切线斜率和瞬时速度在计算上是等价的,（切线斜率）,（瞬时速度）,二、导数概念,定义：设函数 y = f ( x )在点 的某邻域内有,定义. 对该邻域内的任一点 , 当自变量由,变到x即自变量有一增量时，函数值相应地有,形成差商：,若当 x 无限趋向于时

3、，此差商趋于一个确定的值，,则称函数 y = f ( x ) 在点处是可导的，并称此值为,f ( x ) 在的导数，记作 , 即,一个增量,说明, 导数的等价形式,自变量增量常记作，从而,( 可正可负),函数增量可表示为：,故等价地有：,或, 导数记号, 导数的几何意义,表示曲线 y = f ( x ) 在点 处的切线,切线方程：,( 法线：过切点且与切线垂直的直线,若, 法线斜率为,若 , 此时切线为 , 故法线为 ),即 ，其中为切线的倾角,斜率,y=sin(x) 的切线 （从中可以看到到：导数是切线的斜率),【例】,【解】,由导数的几何意义, 得切线斜率为,所求切线方程为,法线方程为,求

4、等边双曲线 在点 处的切线的 斜率,并写出在该点处的切线方程和法线方程.,对于平面曲线来说，并非每一点处都有切线,例如：,在 x = 0 处无切线,注:, 导数作为增加率的解释,当 为锐角,f ( x )在 附近是上升的.,当 为钝角,f ( x )在 附近是下降的.,越大, 下降越快,表明了函数 y = f ( x ) 在点处相对于自变量x 变化的,快慢程度，即是一变化速率因而称 为变化率而,表示函数 y = f ( x ) 在点 处相对于自变量 x 的增加率，它反映,了函数随自变量增加而增加的速度,越大,上升越快.,【例】 经济学的两个基本概念：边际收入与边际成本,设R ( x ) 表示某

5、种商品的产量为 x 时的总收入函数,收入的平均增长率为,同样，若C (x)表示某种商品的产量为 x 时的总成本函数，,则称 为产量是时的边际成本,当产量从增加到 x 时, 总收入的增长为,称极限值 为产量是 时的边际收入,边际收入即为,边际收入和边际成本是生产商对产量水平x 的利润 指标，标志着产量 x 增加时，总收入和总成本的盈亏 变化经济学的一个核心命题是：使边际收入和边际 成本相等的产量能使利润最大化,【例】质线的线密度,【解】将质线置于 x 轴上，一端点与原点重合,那么质线沿区间 0, x 所分布的质量,将依赖于x ，设为 m ( x ) .,则在区间 ( 或 )上的平均线密度,当时，极限,就是在点 x 处的线密度，它是质量对 x 的导数即,三、求导举例,【例1】求在 x = 1 处的导数,【解】,若要求在 处的导数，则,一般地，在 x 处的导数就为,导函数的定义式：,导函数,记作,导函数 简称为导数，而 称为 f ( x )在,一般地有：,处的导数值,【例2】求 y = C 的导数,【解】,即,【例3】求 （n 为正整数）的导数,【解】,【例4】在单位圆周上有一质点 P 作匀角速度运动，,其角速度为 1 弧度秒, 点 M 是点 P,在 y 轴上的投影点 ( PM y 轴 ) ，设,开始时 P 在 A