大学高等数学上册：2-3函数的连续性

1、2.3 函数的连续性,连续性概念,间断点的分类,初等函数的连续性,闭区间上连续函数的性质,考察下列图形,定义1：设 f (x) 在 的某邻域内有定义，如果,f (x) 在 的某邻域内有定义,语言描述：,当,增量语言描述：,记 ，,一、连续性概念,1. 连续的定义,则称函数f (x) 在 连续，为f (x) 的连续点,f (x) 在 连续等价于,当自变量在 点处有一个微小的改变量时，引起函数,的改变量也是微小的,说明,极限号可通过函数记号，即两者可交换次序,(1) f (x) 在 有定义，即 存在,(2) f (x) 在 有极限，即 存在,(3) 极限值等于函数值，即 ,f (x) 在 连续的特

2、征是：,【例1】试证函数在 x = 0 连续,【证】,f (0) = 0,所以 f (x) 在 x = 0 连续.,2. 单侧连续,定义2：若，则称 f (x) 在 左连续,若，则称 f (x) 在 右连续,定理：,f (x) 在 连续,f (x) 在 左，右都连续,【例2】符号函数在x = 0是否连续,f (x) 在 x = 0 既非左连续也非右连续,从而f (x) 在 x = 0 不连续.,【例3】取整函数 f (x) = x 在整数点 x = k 处的连续性如何？,【解】,阶梯曲线,x = k ( k 为整数),f (k 0) = k 1,f (k 0) = k,f (k) = k,=

3、f (k),所以 f (x) = x 在 x = k,右连续但非左连续，从而,在所有整数点不连续,【例4】求 a, b 使 在 处连续,【解】,要使 f (x) 在 x = 1 连续，须,f (10) = f (10) = f (1),1 = a + b = a + b,要使 f (x) 在 x = 1 连续，须,f (10) = f (10) = f (1),a b = 0 = a b,由 得 a, b 满足a + b = 1，a b = 0,解得,3. 连续函数,连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.,对 ,由,可知，函数,y = x ， y = C， y = sin x ， y = c

4、os x ， y = ln x在它们的,定义域内连续,二、连续函数的运算性质,定理 1：(四则运算的连续性),若 f (x) 与 g (x) 在点 处连续，则,在点 处均连续,由 y = c 及 y = x 的连续性，反复利用定理 1可得：,多项式函数与有理函数,在它们的定义域内连续,由 sin x 及cos x 在上的连续性及定理1 可得：,tan x ，cot x ，sec x ，csc x 在它们的定义域内连续,即三角函数在它们的定义域内连续,定理 2：(复合函数的连续性),若 u = g (x) 在点 处连续，而y = f (u) 在,处连续，则 y = f (g (x) ) 在处连续

5、,极限符号可以与函数符号互换;,意义：,例如：,即,定理 3：(反函数的连续性),严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数.,由定理 3 及 y = sin x 在 上连续且单调递增可得：,其反函数 y = arcsin x 在 1，1 上也单调递增且连续,同理可得：y = arccos x 在 1，1 上单调递减且连续,y = arctan x (arccot x ) 在 内单调递增(减)且连续,由此得：反三角函数在它们的定义域内连续,三、初等函数的连续性,基本初等函数在其定义域内连续,连续,连续,据定理 3 得在 R 内连续,复合而成,据定理 2,得在 内连续, 若讨论的各种值可知在定义

6、域内连续,由定理 1 ，2 可推得：,一切初等函数在其定义区间内连续,定义区间是指包含在定义域内的区间.,例如：,在区间上连续,定义域是孤立点,利用初等函数连续性求极限,定义区间）,【例1】,【例2】设，,问 a，b 取何值时，f (x) 是连续函数？,【解】,由初等函数的连续性可知f (x) 在内,显然连续故只需在 x = 0 处连续,由 f (00) = f (0),a = 1,ln b = 1,由 f (00) = f (0),b = e,【例3】设函数 f (x) 在 x = 0 处连续，且f (0) = 0 ，已知,，试证函数 g (x) 在 x = 0 处也连续,【证】,只需证,已

7、知,由,g (0) = 0,即g (x) 在 x = 0 处连续,四、函数的间断点,间断点的分类,第一类间断点,第二类间断点,1.第一类间断点,若为间断点，且 都存在，则称为,f (x) 的第一类间断点.,(1)可去间断点：,【解】,在 x = 0 连续.,【例1】讨论函数的间断点,显然，由 f (0) 不存在可知只有x = 0 是 f (x) 的间断点,由于,，所以 x = 0 是 f (x) 的可去间断点,若补充定义 f (0) = 0，则,【例2】在哪个区间上连续？在哪些点间断？,【解】,由初等函数的连续性可知f (x) 在 内连续.,而,所以 x = 0 是 f (x) 的可去间断点,

8、若重新定义 f (0) = 1，则在R上连续,例1，例2 中的 g(x) 称为 f (x) 的连续延拓函数,当，有g(x) = f (x) ,(2)跳跃间断点：,都存在但不等,例如：x = 0 是符号函数 f (x) = sgn x 的跳跃间断点,每一个整数点x = n 是取整函数 f (x) = x 的跳跃间断点,第一类间断点的特点：左，右极限都存在,注意,称为 跃度,2.第二类间断点,若 至少有一个不存在，则称为f (x) 的,第二类间断点.,例如,x = 0,x = 0,都不存在，也不是无穷大,无穷间断点,振荡间断点,【例3】讨论的间断点,【解】显然 f (x) 的间断点为x = 3，

9、x = 0， x = 2,讨论间断点的类型，必须用极限,x = 3为(第二类)无穷间断点,x = 0为(第一类)跳跃间断点,x = 2为(第一类)可去间断点,【例4】讨论 在 内的间断点,【解】显然 f (x) 的间断点为,是可去间断点,不存在,是无穷间断点,思考：在整个实数域上的间断点如何？,是可去间断点,【例5】讨论下列函数的连续性 ,【解】,由初等函数在其定义区间上的连续性知，,f (x)， g (x) 均在 及 内连续，即,都是f (x)， g (x) 的连续区间,是它们的连续区间,所以x = 0是 f (x) 的无穷间断点， 是 g (x) 的跳跃间断点,间断点,综合：间断点的分类,

10、第一类间断点,都存在,可去型,跳跃型,第二类间断点,至少有一个不存在,无穷型,振荡型,可去型,第一类间断点,跳跃型,无穷型,振荡型,第二类间断点,思考,若 f (x) 在 处连续，则在,又若在 处连续，则 f (x)在,是否连续？,是否连续？,五、闭区间上连续函数的性质,基本原理：若f (x) 在闭区间 a，b 上连续，则 f (x) 的,值域也是有界闭区间,基本原理,最值定理：,介值定理：,曲线与直线 y = c 至少有一个交点,注意,(1) 两个条件（闭区间、连续）缺一不可。,反例：,在开区间(0, 1)内连续，,最值定理,有界性定理：闭区间上连续函数必有界,但无最大最小值，也无界,在闭区

11、间0, 2上不连续，,既取不到最大值，也取不到最小值，但有界,(2) 最大值与最小值是唯一的，但最值点不唯一,(3) 介值定理的特殊情形：,介值定理,零值定理,零值定理（方程根的存在定理）：,若f (x) 在闭区间 a，b 上连续，且 f (a) f (b) 0，,则至少存在一点,即方程 f (x) = 0 在 (a，b) 内至少有一个实根,几何意义：,端点分别位于 x 轴两侧的的闭区,间上的一段连续曲线必与 x 轴相交,【例1】试证方程 在 0, 1 上必有根,【证明】,设,显然f (x) 在0, 1 上连续，且f (0) = 1， f (1) = 2 异号,由零值定理知 f (x) =0

12、在(0, 1) 内必有根,具体确定方程根的位置的近似方法：“二分法”,取0, 1 中点 f (0. 5) = 0. 125 0,取0. 5, 1 中点,f (0. 75) 0. 7344 0,取0. 5, 0. 75 中点f (0. 625) 0. 2598 0,【例2】试证方程至少有一个小于 1 的正根,用零值定理须确定：辅助函数和区间,【例3】设f (x) 在 a，b 上连续，且 f (a) a ，f (b) b ，,则在 (a, b) 内至少存在一点,分析：问题即要证方程f (x) = x 在 (a, b) 内有根,【例4】设f (x) 在 0, 2a 上连续，,证明：,注意,f (x)

13、 在 a，b 上连续，,【例5】试证：曲线 y = sin x 与直线 至少有一个交点,分析：即要证明至少有一个零点,而这关键是要寻找适当的a与b ，使f (a) 0 ，,要 f (b) 0，可适当缩小,【证明】作辅助函数,取 b = 4 - 3h,取a = - 4- 3h,则有f (a) 0，又显然f (x) 在- 4- 3h, 4 - 3h上连续,故由零值定理得：,即曲线 y = sin x 与直线至少有一个交点,思考：奇数次实系数多项式必有实零点,即若n为奇数, 为n次多项式 , 则方程 必有实数根,利用零值定理：,(1) 连续；(2) 取两个点使其函数值异号,不妨设，则有,取，则,取，则,在 a, b 上对用零值定理即可得结论,分析：即要证明,【例6】 设f (x) 在(a, b)内连续，, 试证:在(a, b)内至,少存在一点 , 使,这只需 , M, m 是f (x)的最大最小值.,【证明】 f (x)在(a, b)内连续,由介值定理得,区间？,f (x)在上连续,f (x)在上有最大最小值M, m,六、连续与可导的关系,定理： f (x) 在 可导,存在,即,思考：反之如何？,？,f (x) 在 连续：,f (x) 在 可导：,极限 存在,即,单侧导数,定理: f