第2部分专题一第5讲导数及其应用

1、第 5 讲导数及其应用导数的几何意义 学生用书 P17 自主练透夯实双基1 导数的几何意义函数 f(x)在 x0 处的导数是曲线f(x)在点 P(x0， f(x0)处的切线的斜率，曲线f(x)在点 P 处的切线的斜率k f(x0)，相应的切线方程为y f(x0) f(x0 )(x x0)2 四个易误导数公式(1)(sin x) cos x；(2)(cos x) sin x；(3)(ax) axln a(a 0，且 a 1)；1(4)(log ax) xln a(a 0，且 a 1， x 0)题组通关 1 (2016 考山东卷高 ) 若函数 y f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处

2、的切线互相垂直，则称y f(x)具有T性质下列函数中具有T 性质的是()A y sin xB y ln xCy exD y x3A 解析 设两切点坐标分别为 (x1， y1)， (x2， y2)选项 A 中， y cos x，cos x1cos x2 1，当 x1 0，x2 时满足，故选项 A 中的函数具有 T 性质；选项 B 、 C、 D 中函数的导数均为正值或非负值，故两点处的导数之积不可能为1，故选 A. x1 x，则曲线 y f( x)2 (2016 高考全国卷丙 )已知 f(x) 为偶函数，当 x 0 时， f(x)e在点 (1， 2)处的切线方程是 _解析 当 x0 时， x 0，

3、则 f( x) ex1 x.又 f(x)为偶函数， 所以 f(x) f( x) exex 1x，所以当 x 0 时， f (x) e 1，则曲线 y f(x)在点 (1， 2)处的切线的斜率为 f(1) 2，所以切线方程为 y 2 2(x 1)，即 y2x.答案 y 2x3 (2016华十校联考金)若函数f(x) ln x ax的图象上存在与直线2x y 0 平行的切线，则实数a 的取值范围是_解析 函数f(x) ln x ax的图象上存在与直线2x y 0 平行的切线， 即f(x) 2 在 (0， )上有解，又f (x) 1x a，即 1x a 2 在 (0， )上有解， a 2 1x在 (

4、0， )上有解，1因为 x0 ，所以 2 x0)(1)求函数 f(x)的单调区间；(2)求函数 f(x)在 1， 2 上的最大值【解】(1) f(x) x ex(a0)，a则 f(x) 1aex，令 1 ex 0，则 x ln 1.aaf(x)， f (x)随 x 的变化情况如下表x， ln11alnaf (x)0f(x)极大值故函数 f(x)的单调递增区间为， ln1；单调递减区间为a1122(2)当 lna 2，即 0a e2时， f(x)max f(2) ae，1当 1ln a2，即 12a0)，xxx由题意可得方程ax2 3x 2 0 有两个不等的正实根，不妨设这两个根为x1、x2，并

5、令h(x) ax2 3x2， 98a0 9 8a03x1 x2 3则 0也可以为，a022ax1x2h（ 0） 00a9解得 0a0)(1)当x0 时，求证：1f(x) 1 a 1 x；(2)若在区间(1，e)上有f( x)x恒成立，求实数a 的取值范围11解 (1) 证明： 设 (x) f(x) 1 a 1 x aln x a 1 x (x0)，a a 则 (x) x x2.令 (x) 0，则 x1.当 0x1 时， (x)1 时， (x)0，所以 (x)在 (1， ) 上单调递增，故 (x)在 x1 处取到极小值也是最小值，1故 (x) (1) 0，即 f(x)1 a 1 x .x 1(2

6、)由 f(x)x 得 alnx1x，即 a ln x .x1令 g(x)x 1ln x xln x (1 xe) ，则 g(x) （ ln x） 2 .令 h(x) ln x x 11 12，x(1 x0故 h(x)在区间 (1，e)上单调递增，所以 h(x)h(1) 0.因为 h(x)0，所以 g(x)0 ，即 g(x)在区间 (1，e)上单调递增， 则 g( x)g(e) e 1，即x 1 ln xe 1，所以 a 的取值范围为e 1， )利用导数解决与方程的解有关的问题 学生用书P19共研典例类题通法研究方程的根的情况， 可以通过导数研究函数的单调性、 最大值、最小值、变化趋势等，并借助

7、函数的大致图象判断方程根的情况，这是导数这一工具在研究方程中的重要应用(2016 广西第一次质量检测12 bx(b，c R，c 0)，且 x 1)设函数 f( x) cln x x2为 f(x)的极值点(1)若 x 1 为 f(x)的极大值点，求f(x)的单调区间 (用 c 表示 )；(2)若 f(x) 0 恰有两解，求实数c 的取值范围cx2 bx c【解】 f (x) x x bx，又 f(1) 0，（ x 1）（ x c）所以 b c 1 0， f( x)，且 c 1.x(1)因为 x 1 为 f(x)的极大值点，所以c 1，当 0x 1 时， f (x) 0；当 1 x c 时， f

8、(x)0；当 x c 时， f (x) 0，所以 f(x)的单调递增区间为(0， 1)， (c， )；单调递减区间为(1， c)(2)若 c 0，则 f(x)在 (0， 1)上单调递减，在(1， )上单调递增，1f(x) 0 恰有两解，则f(1) 0，即 2 b 0，所以 12 c 0.1 2若 0 c 1，则 f(x)极大值 f(c) cln c c bc，1f(x)极小值 f(1) 2 b，因为 b 1 c，则 f(x)极大值 cln cc2 c( 1 c) cln c c c2 0，22f(x)极小值 1 c，从而 f(x) 0 只有一解2若 c1，则 f(x) 极小值 cln c c2

9、 c( 1 c) cln c c c2 0，22f(x)极大值 1 c，2则 f(x) 0 只有一解综上，使f(x) 0 恰有两解的c 的取值范围为1 c 0.2利用导数研究方程解的个数问题的一般思路(1)将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图象与x 轴 (或直线 yk)在该区间上的交点问题(2)利用导数研究出该函数在该区间上单调性、极值(最值 )、端点值等性质，进而可画出图象题组通关 1 (2016 庆适应性测试重(二 )已知 f(x) x3 6x29x a 有三个不同的零点，则下述判断中一定正确的是()A a 为任意实数B a f(3)Ca f(3)D a f(3)D 解析 依题意

10、，记 g(x) x3 6x2 9x，则有 g(x) 3x2 12x9 3(x 1)(x 3)，当 x 1 或 x 3 时， g( x)0；当 1 x 3 时， g (x) 0.因此函数 g(x)在区间 (， 1)，(3， )上是增函数，在区间 (1，3) 上是减函数，且g(1) 4，g(3) 0，所以当 x时，g(x)；当 x时， g(x) .在坐标平面内画出直线y a 与函数 g(x) x3 6x29x 的大致图象 (图略 )，结合图象可知，当且仅当0 a 4，即 4 a 0 时，直线 ya 与函数 g(x) x3 6x2 9x 的图象有三个不同的交点又 f(3) g(3) 0，因此有 a

11、0 f(3) ，选 D.2已知函数 f(x) ex 1，g(x) x x，其中 e 是自然对数的底数，e 2.718 28 .(1)证明：函数 h(x) f(x) g(x)在区间 (1， 2)上有零点；(2)求方程 f(x) g(x)的根的个数，并说明理由x解 (1) 证明： 由 h(x) f(x) g(x) e 1 x x 得，h(1) e 30 ，所以函数 h(x)在区间 (1， 2)上有零点(2)由 (1) 得 h( x)ex 1 xx.由 g(x)x x 知， x 0， )，而 h(0) 0，则 x 0 为 h(x)的一个零点，而h(x)在 (1， 2)内有零点，因此 h(x)在 0，

12、 ) 上至少有两个零点 因为 h(x) ex 1111x2 1，记 (x) exx2 1，22x 1 3则 (x) e 4x 2.当 x(0， )时， (x)0，因此 (x) 在(0， ) 上单调递增，则(x)在 (0， )内至多只有一个零点，即h(x)在 0， )内至多有两个零点所以方程f( x)g(x)的根的个数为 2.课时作业 学生用书 P111(独立成册 )1 (2016 郑州第二次质量检测 )曲线 f(x) x3 x 3 在点 P 处的切线平行于直线y 2x1，则 P 点的坐标为 ()A(1， 3)B ( 1， 3)C(1， 3)和 ( 1， 3)D (1， 3)C 解析 f(x)

13、3x2 1，令 f(x) 2，则 3x2 12，解得 x 1 或 x 1，所以 P(1，3)或 ( 1， 3)，经检验，点 (1， 3)， (1， 3)均不在直线 y 2x1 上，故选 C.12设函数 f( x)3xln x(x0) ，则 f(x)()A 在区间1， 1， (1， e)上均有零点eB在区间1， 1， (1， e)上均无零点e1C在区间 e， 1上有零点，在区间(1， e)上无零点D在区间1， 1上无零点，在区间(1， e)上有零点eD 解析 因为 f(x) 13 1x，所以当 x(3， )时，f (x) 0，f(x)单调递增；当 x (0，1 1e 3，又 f 1 1 1 0，

14、f(1) 1 0，f(e) e3)时， f (x) 0，f( x)单调递减，而 0 ee3e3311 0，所以 f(x)在区间e， 1上无零点，在区间(1， e)上有零点3已知函数121上是增函数，则实数a 的取值范f(x) x 2ax ln x，若 f(x)在区间 ， 223围为 _解析 由题意知 f(x) x 2a 1 0 在1， 2上恒成立，即 2a x1在1， 2上恒成x3x3立，因为 x 18，所以2a 8，即 a 4.xmax3334答案 ，4设函数 f(x) ln x1ax2 bx，若 x 1 是 f(x)的极大值点， 则 a 的取值范围为 _2解析 f(x)的定义域为 (0，

15、)， f (x)1 ax b，由 f(1) 0，得 b 1 a.所以 f(x)x1 ax a 1 ax2 1ax x（ x 1）（ ax 1）.xxx若 a 0，当 0x0 ， f(x)单调递增；当x1 时， f ( x)0 ，f(x)单调递减，所以 x 1 是 f(x)的极大值点；若 a0，由 f(x) 0，得 x1 或 x 1，因为 x 1 是 f(x)的极大值点，所以 a解得 1a 1.答案 (1， )5 (2016 州适应性考试贵)设函数 f(x) ln x x2 2axa2 ，a R.(1)当 a 0 时，曲线 y f(x)与直线 y 3x m 相切，求实数m 的值；(2)若函数 f

16、(x)在 1， 3上存在单调递增区间，求a 的取值范围解 (1) 当 a 0 时， f(x) ln x x2，其定义域为 (0， )1 2x，f(x)的导函数 f(x) x令 f(x) 3，解得 x1 或 x 1，211代入 f(x)的解析式，可得切点的坐标为(1， 1)或2，4 ln 2.将切点坐标代入直线 y 3x m，可得 m 2 或 m 5 ln 2.412x2 2ax 1(2)f(x)的导函数 f (x) x 2x 2ax，其分母在 1， 3上恒为正设 g(x) 2x2 2ax1.假设函数 f(x)在 1， 3上不存在单调递增区间，必有 g(x) 0.1a1 ，g（ 1） 3 2a0

17、，解得 a 19于是g（ 3） 19 6a 0，6 .故要使函数 f(x)在1 ，3上存在单调递增区间，则a 的取值范围是 ， 196 .6已知常数a 0， f(x) aln x2x.(1)当 a 4 时，求 f(x)的极值；(2)当 f(x)的最小值不小于a 时，求实数a 的取值范围解 (1) 由已知得f(x) 的定义域为x (0， )，a a2x f (x) x 2 x .2x 4当 a 4 时， f (x).x所以当 0 x 2 时， f (x) 0，即 f(x) 单调递减；当 x 2 时， f (x) 0，即 f(x)单调递增所以 f(x)只有极小值，且在 x 2 时，f(x)取得极小

18、值f(2) 4 4ln 2.所以当 a 4 时， f(x)只有极小值4 4ln 2.a 2x(2)因为 f(x)，所以当 a 0， x (0， )时， f(x)0，即 f(x)在 x (0 ， )上单调递增，没有最小值；当 a0 时，由 f(x)0 得， x a， 2a所以 f(x)在 ，上单调递增；由 f(x) 0 得， x a， 2所以 f(x)在 0，a2 上单调递减所以当 a 0时， f(x)的最小值为f a alna 2 a222 .aaa根据题意得f 2aln 2 22 a，即 aln( a) ln 2 0.因为 a 0，所以 ln( a) ln 2 0，解得 a 2，所以实数 a

19、 的取值范围是 2， 0)7 (2016 长春质量检测 (二 ) 已知函数 f(x)a ln x的图象在点 (1， f(1) 处的切线与x 轴x平行(1)求实数 a 的值及 f(x) 的极值；(2)若对任意 x1，x2 e2， )，有 f（ x1） f（ x2）k，求实数 k 的取值范围x1 x2x1x2解 (1) 由题意得 f(x)1a ln xx2， f (1) 0，解得 a 1. ln x令 f(x) 2 0，解得 x1， x即 f(x) 有极大值为 f(1) 1.(2)由f（x1） f （ x2）k，x1 x2x1 x2f（ x1） f（ x2）11 1可得 k，令 g x f( x)，x1x2则 g(x) x xln 2 2，则 g(x) ln xx，其中 x (0，