解三角形专题(高考题)练习

1、1、在 b、c,向量 m 2sin B, .3 , n1 ，且 m/n。2 Bcos2B,2cos -2(I)求锐角B的大小； (II)如果b 2，求ABC的面积S abc的最大值。(1)解：m/ n2sinB(2cos2B 1)= 3cos2B2sinBcosB= 3cos2Btan2B= 34 分2冗厶、，宀n八 OV 2BVn，二 2B = -y,.锐角 B = 2 分由tan2B= 3B或箫n 当B = 时，已知b= 2,由余弦定理，得：4 = a2 + c2 ac 2ac ac= ac(当且仅当 a= c= 2 时等号成立)3 分 ABC 的面积 SA ABC = 2 acsi nB

2、uag 3 ABC的面积最大值为，31分5 n 当B =-亍时，已知b = 2,由余弦定理，得：4 = a2 + c2+ 3ac 2ac+ 3ac= (2 + . 3)ac(当 且仅当 a= c= .6. 2 时等号成立) ac 4(2 3)1 分1 1 ABC 的面积 SA ABC = acsi nB= 4*尺 2 . 3 ABC的面积最大值为2 31分5、在厶 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a， b， c，且 bcosC 3acosB ccosB.(I)求cosB的值； (II)若BA BC 2，且b 2、2，求a和cb的值.解: (I)由正弦定理得 a 2RsinA,b 2R

3、sin B,c 2RsinC,则2Rsin BcosC 6Rsin AcosB 2RsinC cosB,故 sin BcosC 3sin AcosB sinC cosB,可得sin BcosC sinCcosB 3sin AcosB,即sin(B C) 3sin AcosB,可得 sin A 3sin AcosB又 sin A 0,cosB因此(|)解由 BA BC 2,可得acosB 21又 cosB,故 ac 6,3由 b6 AB AC sin A .所以ABC的面积为257、在厶ABC中，A、B、C所对边的长分别为a、b、c,已知向量幣(1,2si nA), n (s in A,1 co

4、s A),满足 m/n,b c 3a. (I)求 A 的大小；(II)求 sin (B R 的值. a2 c2 2accosB,可得 a2 c212,所以(a c)20,即a c,&在 ABC 中，cos A込,cosB迈510(I)求角C ；ABC的面积.cos A(I)解：由10cosB -10B0,2 ，所以2sin A rsin BcosC因为cos (A B)cos(A B)cosAcosB sin AsinB -26分C .且0 C 故 4(U)解：根据正弦定理得AB ACsin C sin B“ AB sin B6AC -sin C,10.10 分. 24分解：(1)由 m/n

5、得2sin A 1cos A 02即 2 cos A cos A 101亠cos A 或 cos A 12A是ABC的内角,cosA1舍去(2) b c 3asin B sin C由正弦定理，B C -33、3 si nA 2 -2 3sin B sin( B)-3 210分1i333 oricosB sin B 即 sin(B )8、AABC中，a, b, c分别是角A,2226B, C 的对边，且有 sin2C+. 3 cos (A+B ) =0 ,当a 4,c,13，求 ABC的面积。解.由 sin2C3cos(A B) 0且A2sinCcosC. 3 cosC 0所以,cosC 0或

6、sinC有26分a 4, c13,有 ca,所以只能sinC33,则C由238分由余弦定理2 2 c ab2 2ab cosC有b24b 30,解得b1或b 3b 3时,S ab sinC 33 当b 1 时,S ab sinC .3. 当22119、在厶ABC中，角A、B、C所对边分别为a，b，c,已知tan A ,ta nB，且最长23边的边长为l.求：(I )角C的大小;(II) ABC最短边的长.tan A tan B1 tan Ata nB9、解：(I) tanC=tan n( A + B) = tan (A + B)(II)： 0ta nBvta nA,： A、B 均为锐角,则 B

7、A，又 C 为钝角,最短边为b，最长边长为c 7分tan B1sin B10由3，解得10c sin Bbbcsi nC由 sin Bsi nC2 12 分10、在厶ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知a+b=5, c = . 7，且2 A B74sincos2C2 2 求角C的大小；(2)求厶ABC的面积.10、解:(1) ： A+B+C=1802 A B4si ncos2C由2-得 4cos2C cos2C -24 1 cosC (2cos2C21)解得:cosC -20 C 180(2)解：由余弦定理得:27 (a b) 3ab C=60c2=a2+b2 2abcosC,即

8、 7=a2+b2 ab由条件 a+b=5 得 7=25 3ab ab=610分33.32 12分1 . 1S abc ab sin C 62 212、在 ABC 中，角 A B、C 的对边分别为 a b、c, m (2b c,a) , n (cosA, cosC),求角A的大小；当y 2sin2B sin(2B -)取最大值时，求角B的大小6、解：由 m n，得 mgi 0，从而(2b c)cos A acosC 0由正弦定理得 2sin BcosA sinCcosA sin AcosC 02sin BcosAsin (A C) 0, 2s in BcosAsin B 0Q A,B (0,1

9、sin B 0,cos A -2分)2sin2 Bsin(2B 6)(1 cos2B)sin 2 B cos cos2 Bsi n 6 6cos2B 12sin(2B -)62时,由于sin2B得，072B -6 6B -即 3时,y取最大值213、在厶ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若 AB AC BA BC k(k R).(I)判断 ABC的形状;(n)若c .2,求k的值.解.(i)AB AC cbcosA,BA BC cacosB又AB AC BA BCbccosA accosB即 sin AcosB sinB cosA 0sin( A B) 05分A BA BABC为等

10、腰三角形 7分(II)由(I)知 a bAB ACbccos Abcb2c2a22bc10分c 2k 1 12分14、在厶ABC中，a、b、c分别是角 A、(I)求角B的大小；(II)若ba解：(I)解法一：由正弦定理sin AB、C的对边，口 cosB且cosCb2a c.13，a c4，求 ABC的面积bc2Rsin BsinC得a 2RsinA，b 2RsinB，cR 2 snCcosB将上式代入已知cosC亠得泌2a c cosCsinB2 sin A sinC即 2sin AcosB sinCcosBcosCsin B即 2sin AcosB sin(B C).ABC, sin(B

11、C) sin A,： 2sin AcosB sin A 0sin Am 0, cosBB _ B为三角形的内角，3cosB解法二：由余弦定理得2 2 2a c b2ac2 2 2 a b c cosC2ab将上式代入cosBcosC得2a cc2 b22ac2aba2 b2b2a c2整理得ab2ac2c a cosB2c2acb2ac2ac B为三角形内角, 2b、13, a c 4, B222(II)将5 代入余弦定理b a c 2accosB得2 2b (a c) 2ac 2accosB13 162 ac(1 ),二 ac 31 3 一Sabcacsi n B2 417、【解析】本题主要

12、考查三角形中的三角函数变换及求值、诱导公式、三角形的面积公式等基础知识，主要考查基本运算能力.B ,cos A(I)v A、B、C ABC 的内角，且 3si nCsin 2.3 Acos Asin A23 4310sin A(U)由(I)知,sin C53 4310B又,b 33，二在 ABC中，由正弦定理，得sin B5 .S 1absinC 1 63 3 4 336 沁absi nA 6 ABC 的面积 22 51050.18、解析：本题考查三角函数化简及解三角形的能力，关键是注意角的范围对角的三角函数值的制约，并利用正弦定理得到 sinB=2（负值舍掉），从而求出B= 3。解:3由co

13、s (A C) +cosB= 2 及 B= n (A+C )得3cos (A C) cos (A+C) = 2，cosAcosC+s inAsinC3(cosAcosC sinAsinC) = 2 ,3sinAsinC= 4 .2又由b =ac及正弦定理得sin2 Bsin2 B 故i B忑 sin B2于是又由sin Asin C,34sin B或2 （舍去），n2冗B= 3 或 B= 3 .2b ac 知 b a 或 b c7t所以B= 319、本小题主要考查三角恒等变换、正弦定理、解三角形等有关知识，考查运算求解能力。本小题满分12分C解: (I)由A A -2 ,且 C A B，二 4

14、/ B B、(cos sin )2 2sin2 A -(121 sin B)-3又 si nAsin AsinA吧B)弓BC如图，由正弦定理得AC sin Asin B.6?虫3_13S ABC-AC?BC?s inC220、解:(1)由(1.3)c(2)则有ACsin BBCsin A3,22bsin( C)sin CcotC 1 即uuv uuv由 CB CA 1sin5又 si nC si n(AB)sin Bsin Csin AcosBcosAsin BcosC65cos6sin Csi nC=2cotC 于1 2-J2 2推出 abcosC 1. 3ab 1 43即得22ab 1.3

15、2(1.3)c 2ba c则有sin A sin C解得-si nA sin BsinC sin A sin Bfan C21、解：LCil 1(1) 因为cos A cosB，即 cosC cos A cosB，所以 sinCcosA sinCcosB cosCsin A cosCsinBsin CcosAcosCsin AcosCsin Bsin CcosB，sin(C A)sin( BC)所以C(B C)(不成立).2C A BC，得B所以.sin（ B又因为A) cosC12，则（舍去）512S ABC1 acsin B2丄lac.3又 sin Asin Cc2.3.ABBC22、【解

16、析】(1)解:ABC 中,根据正弦定理,sin Csin A，于是ABsi nC-BC 2BC sin A(2)解：在ABC 中,cos A根据余弦定理，得AB2 AC2 BC22AB ? AC于是sin A1 cos2 A = 5从而sin 2A2 sin Acos A4 22cos 2A cos A sin5sin (2A -)sin 2Acos4cos2As in 410(I)求sinC的值;(U)当 a=2, 2sinA=sinC，求 b 及 c 的长。23b，所以由于余弦定理得:.b2cos A 一2 2 c acos Ab2 c2 (b2 、3bc)c2. 3bc2bc2bc2bc

17、(2 , 3b)23b 2.3b32b2,3b2所以A=30，选A。23、【解析】由sinC=2 3 sinB结合正弦定理得：c15、（2009全国卷I理）在 ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c ,已矢口 a2 c2 2b，且 sinAcosC 3cos AsinC,求 b15、解法一：在 ABC中QsinAcosC osAsinC,则由正弦定理及余弦定理2 , 2 2 , 2 2 2a b c c aag3as,222有： 2ab2bc化简并整理得：2（a c）b .又由已知a2 c2 2b 4b b2.解得 b 4或b 0（舍）.A 2 52 A 3 .4coscos A 2

18、cos1-,sin A umr uuur16、解析：（I）因为25255，又由 AB AC 3，得 bccos A 3,bc5S ABC1-bcsi nA 221(II)对于bc5又bc 6b 5,c 1 或 b 1,c5，由余弦定理得a2 b2 c2 2bccosA 20 a 2 罷A 2/516、（2009浙江）在 ABC中，角代B,C所对的边分别为a,b,c，且满足cos2 5uuu umrAB AC 3 .4 L17、6.(2009北京理)在 ABC 中，角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,B , cosA -,b . 33 5(I)求sinC的值； (U)求 ABC的面积.18

19、、( 2009全国卷U文)设厶ABC的内角A、B、C的对边长分别为 a b、c，3 cos(A C) cosB ,b2 ac,求 B.119、( 2009 安徽卷理)在 ABC 中，sin(C A) 1 , sinB二-.3(I)求sinA的值,(II)设AC= .6，求 ABC的面积.20、(2009江西卷文)在厶ABC中，A, B, C所对的边分别为a,b,c , A -,6(13)c 2b.uuu uuu严(1)求 C ;(2)若 CB CA 1 ,3，求 a, b , c .21、(2009江西卷理) ABC中，A, B, C所对的边分别为a,b,c ,sin A sinBtanC,

20、sin(B A) cosC .cosA cosB(1)求 A, C ;(2)若 SAbc 33,求a,c.22、(2009 天津卷文)在 ABC 中，BC 、5,AC 3,sinC 2sin A(I)求AB的值。(U)求sin(2A)的值。423、(2010年高考天津卷理科7)在厶ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c,若 a2 b2 3bc , sinC=2、3 sinB,贝U A=(A) 30( B) 60(C) 120(D) 15024、(2010年高考全国2卷理数17)(本小题满分10分)53ABC 中，D 为边 BC 上的一点，BD 33 , sinB, cos ADC ，求 AD13525、( 2010年高考浙江卷理科18)在VABC中，角A, B,C所对的边分别为a, b, c,1已知 cos2C=- 一。426、( 2010年高考广东卷理科16)已知函数f(x) Asin(3