考点36+椭圆-高考全攻略之备战2019年高考数学(文)考点一遍过

1、（ 1）了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.（ 2）掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.（ 3）理解数形结合的思想 .（ 4）了解椭圆的简单应用 .一、椭圆的定义平面上到两定点F1, F2 的距离的和为常数（大于两定点之间的距离）的点P 的轨迹是椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两个定点之间的距离叫做椭圆的焦距，记作F1F22c .定义式：PF1PF22a(2 aF1 F2) .要注意，该常数必须大于两定点之间的距离，才能构成椭圆.二、椭圆的标准方程焦点在 x 轴上， x2y21(ab0) ；a2b2焦点在 y 轴上， y 2x21(ab0) .a2b

2、2说明： 要注意根据焦点的位置选择椭圆方程的标准形式，知道a,b, c 之间的大小关系和等量关系：a2c2b2 , a b 0, a c 0 .三、椭圆的图形及其简单几何性质i) 图形焦点在 x 轴上焦点在 y 轴上ii)几何性质标准方程范围顶点焦点对称性离心率x2y21xa( a,0) ，a 2b2( c,0)( ab0)yb(0,b)对称轴： x0e 1 ，椭轴， y 轴，圆对称中心：cey2x21ya(0,a) ，原点aa2b2(0,c)( ab0)xb( b,0)注意： 求椭圆的标准方程的方法可以采用待定系数法，此时要注意根据焦点的位置选择椭圆的标准方程；也可以利用椭圆的定义及焦点位置

3、或点的坐标确定椭圆的标准方程.求椭圆的离心率主要的方法有：根据条件分别求出a 与 c ，然后利用 ec计算求得离心率；或者根a据已知条件建立关于a,b, c 的等量关系式或不等关系式，由此得到方程或不等式，通过解方程或不等式求解离心率的值或取值范围.四、必记结论1设椭圆 x2y2上任意一点P( x, y)，则当x0时，|OP |有最小值b， P 点在短轴a2b21(a b 0)端点处；当xa 时， | OP | 有最大值 a， P点在长轴端点处2已知过焦点F1 的弦 AB，则 ABF2 的周长为 4A考向一椭圆定义的应用1椭圆定义的集合语言: P M |MF1 MF2 |2a,2 a| F1

4、F2 | 往往是解决计算问题的关键，椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形. 解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义和正弦定理、余弦定理 .以椭圆x2y21(a b0) 上一点 P( x0 , y0 ) ( y01 ( c，0) ，F2 ( c，0) 为顶点的PF1F2a2b20) 和焦点 F中，若 F1 PF2，注意以下公式的灵活运用：（1） | PF1PF2 | 2a ；（2） 4c2 | PF1 |2| PF2|2 2 | PF1 | PF2 |cos ；（3） SPF F21 | PF1 | PF2 |sin .122 解决已知椭圆的焦点位置求方程中的参数问题，应注意结合焦点位置

5、与椭圆方程形式的对应关系求解 .典例 1已知1， 2 是椭圆 x2y2P 在椭圆上F F1 的两个焦点，点4 3（ 1）若点 P 到焦点 F1 的距离等于 1，则点 P 到焦点 F2 的距离为 _ ；（ 2）过 F1 作直线与椭圆交于 A，B 两点，则 ABF2 的周长为 _ ；（ 3）若 PF1 F2120 ，则点 P 到焦点 F1 的距离为 _【答案 】（1） 3；（ 2） 8；（ 3） 6 5【解析 】由椭圆的标准方程可知：a24 ， b23 ，故 a2 ， b3 ， ca2 b2431（ 3）在 PF1 F2 中，由余弦定理可得| PF2 |2 | PF1 |2| F1 F2 |22

6、| PF1 | F1F2 | cos PF1F2 ，即 |PF2 |2 |PF1|242| PF1 |，由椭圆的定义可得| PF1 | PF2 |2a，两式联立解得| PF1 |51已知 、是椭圆x2y21(a b0) 的两个焦点，为椭圆上一点，且，若：b2a2的面积为9，则 的值为A1B 2C3D 4考向二求椭圆的标准方程求椭圆的方程有两种方法:（ 1）定义法 . 根据椭圆的定义，确定 a2, b2 的值，结合焦点位置可写出椭圆方程.（ 2）待定系数法 . 这种方法是求椭圆的方程的常用方法，其一般步骤是：第一步，做判断. 根据条件判断椭圆的焦点在x 轴上，还是在y 轴上，还是两个坐标轴都有可

7、能（这时需要分类讨论） .第二步，设方程 . 根据上述判断设方程为x2y21(a b 0) 或 y2x21(a b0) .a2b2a2b2第三步，找关系 . 根据已知条件，建立关于a, b, c 的方程组（注意椭圆中固有的等式关系c2a2b2 ） .第四步，得椭圆方程. 解方程组，将解代入所设方程，即为所求.【注意】用待定系数法求椭圆的方程时，要“先定型，再定量”，不能确定焦点的位置时，可进行分类讨论或把椭圆的方程设为mx2ny 21(m0， n0且 mn) .典例 2椭圆以 x 轴和 y 轴为对称轴 , 经过点 (2,0),长轴长是短轴长的2 倍 , 则椭圆的方程为A x2y 21B y 2

8、x214164C x2y 21 或 y2x21D x2y21 或 y2x21416444【答案】 C2已知 F1x2y21(a b 0)的两个焦点 , 过点 F2作椭圆的弦 AB, 若 AF1 B 的周长为 16, 椭,F2 为椭2b2a圆的离心率 e3，则椭圆的方程为2A x2y21B x2y2143163C x2y21D x2y211612164考向三椭圆的几何性质及应用1与几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到图形. 理解顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量之间的关系，深挖出它们之间的联系，求解自然就不难了.2椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离

9、心率（或离心率的取值范围）有两种方法：c（1）求出 a, c，代入公式 e.a（2）只需要根据一个条件得到关于a,b,c 的齐次式，结合 b2a2 c2 转化为 a, c 的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以 a 或 a2 转化为关于 e 或 e2 的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e（ e 的取值范围） .典例 3已知椭圆的方程为2x23y2 m， ( m0) ，则此椭圆的离心率为13A 3B321C 2D 2【答案】 Bx2y2【解析】 由题意，得椭圆的标准方程为m m 1，232m2m a ， b ，23222m c a b ，62c213 e a2 3，即 e 3 . 故选

10、B3设椭圆 E : x2y2221(a b 0) 的一个焦点为F1,0，点A1,1 为椭圆 E 内一点，若椭圆E 上存ab在一点 P ，使得 PAPF9 ，则椭圆 E 的离心率的取值范围是_1若方程 x2y 21 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是m4 mA m2B0m2C 2m 4D m22椭圆的焦点在 y 轴上 , 长轴长是短轴长的两倍, 则 m=A 1B 142C2D 43 已知椭圆x2y2是线段 PF1 的中点，1001 上的一点到左焦点的距离为，点为坐标原点，则36ABCD4已知椭圆的对称轴与两条坐标轴重合，且长轴长是短轴长的倍，抛物线的焦点与椭圆的一个顶点重合，则椭

11、圆的标准方程为A x2y21B x2y214416C x2y21 或 y2x21D x2y21 或 x2y211644441622的离心率e1则实数 m的取值范围是5已知椭圆 x +my=1( ,1),2A(0,3)B (3, +)44C(0,3) (4, +)D (3,1) (1,4)434322表示的曲线是椭圆”的6对于常数 m, n, “mn0”是“方程 mx+ny =1A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件7已知椭圆 C: x2+ y2=1( ab0) 的离心率为2 , 右顶点到直线x= a2( c 为椭圆的半焦距 ) 的距离为a2b22c2-2 , 则椭圆

12、C的方程为Ax22Bx2+y2=12+y =142C x2+y2=1D x2+ y2=14648已知椭圆 x2y21(ab 0) ，点 A, B 是长轴的两个端点， 若椭圆上存在点P ，使得 APB 120，a2b2则该椭圆的离心率的最小值为A2B322C6D 3349已知的顶点、 在椭圆 x2y21上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在边3上，则的周长是ABCD10如图，椭圆x2y2的左、右焦点分别为点为其上的动点，当F1PF2为钝角时，则点91F1、F2，P4P 的横坐标的取值范围是A35,35B3,35U35,35555C(2 5,2 5)D5 , 5553311已知点 是椭圆

13、 x2y21上一点，是椭圆的焦点，且满足，则 MF1F2 的面积4为A 1BC 2D 412已知 F 是椭圆 C ： x2y21 的左焦点， P 为 C 上一点， A 1,4，则 PAPF 的最小值为953A 10B 1133C4D 13313已知 m, n, mn 成等差数列，m, n, mn 成等比数列，则椭圆x2y21 的离心率为mnA2B 122C 2D23314已知椭圆 x2y21 的两个焦点是F1 ， F2 ， M 是椭圆上一点，MF1 MF21，则 MF1F2 的形34状是A钝角三角形B直角三角形C锐角三角形D等边三角形2215已知椭圆 x2y21(ab0) 的短轴长为 2，上顶

14、点为 A ，左顶点为 B ， F1 , F2 分别是椭圆的左、ab右焦点，且 F1 AB 的面积为2 3 ，点 P 为椭圆上的任意一点，则11PF1的取值范围为2PF2A1,2B2, 3C2,4D 1,416设椭圆 x2y21(2 b2 ) 的焦点为 F1, F2 , M222,0 ,N,0 ，若 MN2 F1F2 ，2b2 b22b2则该椭圆离心率取得最小值时的椭圆方程为x2y21x22y21AB322C x2y21D x2y 21222317已知椭圆 x2+ y2=1( ab0) 的左、右焦点分别为F1( -c ,0),F2( c,0)，若椭圆上存在点P，使a2b2ac, 则该椭圆离心率的

15、取值范围为sinPF1 F2sinPF2F1A (0,2 -1)B (2 ,1)2C (0,2 )D (2 -1,1)218椭圆 x2y21 的焦距等于 _4319 已知椭圆的两焦点坐标分别是2，0、 2，0 ，并且过点 23， 3，则该椭圆的标准方程是_20已知 F1, F2 为椭圆的两个焦点, 过 F1 且与椭圆的长轴垂直的直线交椭圆于A, B 两点 , 若 ABF2 为正三角形 , 则椭圆的离心率为.21已知椭圆 C 的方程为x2y21 ， F1 、 F2 为椭圆上的两个焦点，点P 在 C 上且 F1PF2168，则三3角形 F1PF2 的面积为 _22如图 , A, B分别为椭圆 x2

16、y21(a b0) 的左、右顶点 , 点 P在椭圆上 , POB 是面积为 4 的等腰a2b2直角三角形 , 则 b=.23已知 A(1,1)为椭圆 x2y21 内一点， F1 为椭圆的左焦点， P 为椭圆上一动点， 则1PA的最大1612PF值为 _.24已知椭圆 C : x2y21(ab 0) 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ，离心率为3 ，过 F2 的直线 l 交 Ca2b23于 A, B 两点，若 AF1B 的周长为 43 ，则椭圆 C 的方程为 _.25设椭圆 x2y2F1 , F2 , M 是椭圆上任一动点，则uuuur uuuur1 的两个焦点分别为MF1MF2 的取值范围4

17、为.26求适合下列条件的椭圆的标准方程:(1) 焦点分别为 (0, - 2),(0,2),经过点 (4,3);(2) 对称轴为坐标轴, 经过点 P( - 6,0) 和 Q(0,8).27已知抛物线 C： x2 4y 的焦点为 F，椭圆 E 的中心在原点，焦点在x 轴上，点 F 是它的一个顶点，且其离心率=3 ，求椭圆E的方程e228已知椭圆的两焦点分别为F1 0,1、F20,1 ，离心率为 1 .2（ 1）求椭圆的标准方程；（ 2）设点 P 在椭圆上，且PF1PF21，求 cosF1PF2 的值 .29已知椭圆 C的方程为x2y29 k1.k 1（ 1）求 k 的取值范围；（ 2）若椭圆 C的

18、离心率 e6，求 k 的值 .71（ 2017 浙江）椭圆 x2y 21 的离心率是94A13B533C 2D 5392（ 2018 新课标全国文）已知椭圆C ： x2y21 的一个焦点为 (2 ，0) ，则 C 的离心率为a24A 1B 132C2D 22233（ 2017 新课标全国文）已知椭圆： x2y21(a b 0) 的左、右顶点分别为1， 2，且以线段1 2Cb2A AA Aa2为直径的圆与直线 bx ay 2ab0 相切，则 C的离心率为A6B333C2D133x2y21长轴的两个端点， 若 C上存在点 M满足 AMB=120 ，4（ 2017 新课标全国文） 设 A，B 是椭圆

19、 C：3m则 m的取值范围是A (0,1 U 9,)B (0,3 U 9,)C (0,1 U 4,)D (0,3 U 4,)5 （ 2018 新课标全国文）已知F1 ， F2 是椭圆 C 的两个焦点，P 是 C 上的一点，若PF1 PF2 ，且PF2 F160 ，则 C 的离心率为3A1B2 3 2C31D3122+y2uuuur uuuur6（ 2018 浙江）已知点 P(0 ，1) ，椭圆 x=m( m1) 上两点 A，B 满足 AP =2 PB ，则当 m=_时，4点 B 横坐标的绝对值最大7（ 2017 江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆x2y2FE :221(a b 0) 的

20、左、右焦点分别为，b1aF2 ，离心率为1 ，两准线之间的距离为8点 P 在椭圆 E 上，且位于第一象限，过点F1 作直线 PF1 的2垂线 l1 ，过点 F2 作直线 PF2 的垂线 l 2 （ 1）求椭圆 E 的标准方程；（ 2）若直线 l1 ， l2 的交点 Q 在椭圆 E 上，求点P 的坐标（注：椭圆 x2y21(a b 0) 的准线方程：xa2）a2b2c变式拓展1【答案】 C2【答案】 D【解析】由椭圆的定义得4a16 ，a4 ，又Q 椭圆的离心率 ecc32 3 ，a4，即 c2b2a2c216124 ，椭圆的方程为x2y 21.故选 D1643【答案】1 , 154考点冲关1【

21、答案】 Bx2y2m0【解析】若方程m0 ，m 41 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则 4m4mm解得故选2【答案】 A【解析】椭圆x2my21的标准方程为： x2y 21 ，1mQ 椭圆 x2my21的焦点在 y 轴上，且长轴长是短轴长的两倍，1m12，解得.m4故选 A.3【答案】 C4【答案】 D【解析】由于椭圆的长轴长是短轴长的2 倍，即有 a2b，又抛物线 y28x 的焦点2,0与椭圆 C 的一个顶点重合，得椭圆经过点2,0 ，若焦点在 x 轴上，则 a2， b1，椭圆方程为 x2y21 ；4若焦点在 y 轴上，则 b2， a4，椭圆方程为y2x21 .164椭圆 C 的标准方程为x2

22、y21 或 x2y21 故选44165【答案】 C【解析】椭圆22x2y21.x +my=1 的标准方程为1m又 1e1, 所以 04;m3当椭圆的焦点在y 轴上时 , a2=1, b2=1, 则 0m3.m4所以实数 m的取值范围是0m4.43【名师点睛】椭圆的性质分两类:(1)与坐标系无关的 , 如轴长、焦距、离心率;(2) 与坐标系有关的 , 如顶点坐标、焦点坐标 .6【答案】B【解析】由mn0, 得或.m022=1表示的曲线是椭圆, 得 n0 .由方程 mx+nymn故“ mn0”是“方程mx2+ny2=1 表示的曲线是椭圆”的必要不充分条件.7【答案】 A8【答案】 C【解析】设 M

23、为椭圆短轴一端点，则由题意得AMBAPB 120 , 即 AMO 60 ,因为 tanOMAa ，所以 atan603,bb即 a3b, a23 a2c2 ，则 2a23c2 , e22 , e6,选C339【答案】 C【解析】由椭圆x2y21知 a=，长轴长2 =3a，设直线BC过椭圆的右焦点F2，根据椭圆的定义可知：|AB|+|BF2|=2 a=， |AC|+|F2C|=2 a=三角形的周长为|AB|+|BF2|+|AC|+|F2C|=4 a=故选C.10【答案】 A11【答案】A【解析】因为, 所以,所以| MF1|2| MF2|2| F1F2|212 .由题意得|MF1| MF2|4

24、, 即| MF1 |2| MF2|22|MF1|MF2 | 16,即122| MF1 |MF2 |16, 解得 |MF1 | MF2 |2.所以的面积1选 MF1 F2S|MF1 |MF2 | 1.A212【答案】 D13【答案】 A【解析】由题意m, n, m n 成等差数列，知 2nmm n ，所以 n2m ，由 m,n, mn 成等比数列，得 n2m2 n ，所以 nm2，所以 m22m ，则 m 2 ， n4 ，又椭圆 x2y21，所以 a24, b22 ，mn从而有 c22 ，c2，故选 A所以 e2a14【答案】 B【解析】由题意知MF1 MF24，又 MF1 MF21 ，联立后可解得MF15, MF23，2222 F1F22c 2 4 3 2 ， 223255，242 MF2F1F2 ， MF1F2 是直角三角形故选B15【答案】