艺术生高考数学专题讲义：考点29 等比数列

1、an1an(2)前n项和公式：sna（1qn）aaq1，q1.11q29a(1qq)，22239解析设数列的公比为q，a，s，考点二十九等比数列知识梳理1等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，q说明：等比数列中没有为0的项，其公比也不为0.(2)等比中项：如果a、g、b成等比数列，那么g叫做a与b的等比中项即：g是a与b的等比中项a，g，b成等比数列g2abgab说明：任何两个实数都有等差中项，但与等差中项不同，只有同号的两个数才有等比中项两个同号的数的等比中项

2、有两个，它们互为相反数2等比数列的有关公式(1)通项公式：ana1qn1na1，q1，n1q3等比数列的性质2已知数列an是等比数列，sn是其前n项和(m，n，p，q，r，kn*)(1)若mnpq2r，则amanapaqar；(2)数列am，amk，am2k，am3k，仍是等比数列；(3)数列sm，s2msm，s3ms2m，仍是等比数列(此时an的公比q1)典例剖析题型一等比数列中基本量解题39例1已知等比数列an的前n项和为sn，a32，s32，则公比q_.1答案1或2aq23，13321两式相除得3，即2q2q10.q1或q.1qq2q212变式训练在等比数列an中，a23，a581，则a

3、n_答案3n1a1q3，a11，解析设an的公比为q，依题意得解得a1q481，q3.因此an3n1.解题要点在等比数列中，基本量是a1，n，q，an，sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)使问题得解题型二利用等比数列的性质解题例2已知an为等比数列，a4a72，a5a68，则a1a10等于_.答案7解析方法一由题意得a4a7a1q3a1q62，1a5a6a1q4a1q5a2q98，q3，a18，a1a10a1(1q9)7.q32，a11或12方法二由a4a72，a5a6a4a78，解得a42，a74或a44，a72.q3，q32，a11或12a18，a41q54a41q6a1a10a1

4、(1q9)7.变式训练在等比数列an中，若a1a2a3a41，a13a14a15a168，则a41a42a43a44_.答案10241解析(2)方法一a1a2a3a4a1a1qa1q2a1q3a4q61，a13a14a15a16a1q12a1q13a1q14a1q15a41q548，：q488q162，又a41a42a43a44a1q40a1q41a1q42a1q4311a4q166a4q6q1601(a4q6)(q16)1012101024.方法二由性质可知，依次4项的积为等比数列，设公比为p，93解析2an1an0，s10a1（1q10）2（1210）422，a11知公比q1，s10319

5、10an11an21q139将s6s3代入得.2s532s532设t1a1a2a3a41，t4a13a14a15a168，t4t1p31p38p2.t11a41a42a43a44t1p102101024.解题要点在数列问题中，要特别关注项数的特征，等比数列中项数和相等，则积相等，即“若mnpq，则amanapaq”，巧妙利用性质可以减少运算量，提高解题速度题型三等比数列的前n项和及其性质例3若等比数列an满足a1a410，a2a520，则an的前n项和sn_10答案(2n1)解析由题意a2a5q(a1a4)，得20q10，故q2，代入a1a4a1a1q310，得9a110，10得a19.10（

6、12n）12故sn9(2n1)变式训练已知数列an满足2an1an0，a21，则数列an的前10项和s10为_.4答案(2101).1又a21，a12，an是首项为2，公比为q2的等比数列，(2101).1例4设等比数列an的前n项和为sn，若s6s312，则s9s3等于_.答案34解析由等比数列的性质知s3，s6s3，s9s6仍成等比数列，于是(s6s3)2s3(s9s6)，1s3s34s31变式训练等比数列an的首项a11，前n项和为sn，若10，则公比q_.1答案解析由则可得s10s5s532故q5，q.1.由等比数列前n项和的性质知s5，s10s5，s15s10成等比数列，且公比为q5

7、，11322解题要点1.运用等比数列的前n项和公式时，必须对q1与q1分类讨论2.注意性质的适用范围，公比不为1的等比数列an的前n项和为sn，则sn，s2nsn，s3ns2n仍成等比数列，其公比为qn，当公比为1时，sn，s2nsn，s3ns4n不一定构成等比数列当堂练习11(2015新课标ii文)已知等比数列an满足a14，a3a54(a41)，则a2等于_.答案1244解析由an为等比数列，得a3a5a2，所以a24(a41)，解得a42，设等比数列an的公比为q，11则a4a1q3，得24q3，解得q2，所以a2a1q2.2等比数列an的前n项和为sn.已知s3a210a1，a59，则

8、a1_.答案19解析设数列an的公比为q，若q1，则由a59，得a19，此时s327，而a210a199，不满足题意，因此q1.a1q3q1时，s31qa1q10a1，q10，整理得q29.2两式相除得3，即2q2q10.q1或q.1q31q1a5a1q49，即81a19，a19.393.已知等比数列an的前n项和为sn，a32，s32，则公比q_.1答案1或3939，a1(1qq2)解析设数列的公比为q，a32，s32，a1q222.1qq21q224已知等比数列an，且a4a82，则a6(a22a6a10)的值为_.答案4a1qa1q21，48解析a6(a22a6a10)a6a22a6a6

9、a6a10a22a4a8a2(a4a8)24.5若an为等比数列，a2a31，a3a42，则a5a6a7等于_.答案24解析由已知得a1q2a1q32.1解得q2，a12，a5a6a7a5(1qq2)a1q4(1qq2)24.课后作业一、填空题51已知各项为正的等比数列an满足a3a94a2，a21，则a1_.答案12a1652解析a3a9a24a2，又q0，q2，a1q2.2在等比数列an中，若a1a21，a11a124，则a21a22的值为_.答案16解析设an的公比为q，则a11a12q10(a1a2)，所以4q10，a21a22q20(a1a2)16.3公比为2的等比数列an的各项都是

10、正数，且a3a1116，则log2a10等于_.答案57解析a3a1116，a216.又等比数列an的各项都是正数，a74.又a10a7q342325，log2a105.4在等比数列an中，a1a2324，a3a436，则a5a6_.答案4解析an为等比数列，a1a2，a3a4，a5a6也成等比数列，324a5a6a3a4a1a223624.5(2015新课标ii理)已知等比数列an满足a13，a1a3a521，则a3a5a7_.答案42a解析设等比数列an的公比为q，则由a13，1a3a521得3(1q2q4)21，解得q23(舍去)或q22，于是a3a5a7q2(a1a3a5)22142.

11、6各项均为正数的等比数列an的前n项和为sn，若sn2，s3n14，则s4n等于_.2答案30解析设s2na，s4nb，由等比数列的性质知：2(14a)(a2)2，解得a6或a4(舍去)，同理(62)(b14)(146)2，所以bs4n30.7在等比数列an中，a37，前3项之和s321，则公比q的值为_.1答案1或a1q27，q解析根据已知条件得a1a1qa1q221，1qq2得3.2整理得2q2q10，解得q1或q.答案2解析因为a3a92a25，则由等比数列的性质有：a3a9a262a25，所以622，即(6)2q22.因为1258已知等比数列an的公比为正数，且a3a92a2，a21，

12、则a1_.2a2aa5a5q公比为正数，故q2.又因为a21，所以a1a21222.39(2015浙江文)已知an是等差数列，公差d不为零若a2，a3，a7成等比数列，且2a1a21，则a1_，d_.2答案123解析因为a2，a3，a7成等比数列，所以a2a2a7，即(a12d)2(a1d)(a16d)，a13d，2a12a21，2a1a1d1即3a1d1，a13，d1.10(2015广东文)若三个正数a，b，c成等比数列，其中a526，c526，则b_.答案1解析三个正数a，b，c成等比数列，b2ac(526)(526)1.b为正数，b1.11(2015新课标文)在数列an中，a12，an1

13、2an，sn为an的前n项和若sn126，则n_.答案6解析由an12an知，数列an是以a12为首项，公比q2的等比数列，由sn解得n6.2n12126，二、解答题12成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2,5,13后成为等比数列bn中的b3，b4，b5.(1)求数列bn的通项公式；5(2)数列bn的前n项和为sn，求证：数列sn4是等比数列解析(1)设成等差数列的三个正数分别为ad，a，ad.依题意，得adaad15，解得a5.所以bn中的b3，b4，b5依次为7d,10,18d.依题意，有(7d)(18d)100，解得d2或d13(舍去)故bn的第3项为5，公比为2.由5b3b122，即5b122，解得b14.55所以bn是以4为首项，以2为公比的等比数列，其通项公式为bn42n152n3.54(2)证明：由(1)得数列bn的前n项和sn2n1255，即sn52n24452n2.所以s1，2.555sn1452n142552n2sn455因此sn4是以2为