苏教版高中数学必修五知识讲解_等比数列及其前n项和_基础

1、精品文档用心整理等比数列及其前n项和：【学习目标】1.掌握等比数列前n项和公式及公式证明思路；会用它们灵活解决有关等比数列的问题；2.能在具体的问题情境中，识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题；3.了解等比数列与函数的关系.【要点梳理】要点一：等比数列的前n项和公式1等比数列的前n项和公式s=a(1-qn)a-aq1-q=1n11-qna1n推导过程：（1）利用等比性质(q=1)(q1)由等比数列的定义，有a2=a1aa3=l=2anan-1=q根据等比性质，有a2+a3+l+ana+a+l+a12n-1s-a=n1=q(1-q)ss-annn=a-aq1n1-q1-qa-aq当q

2、1时，s=1nn（2）错位相减法a(1-qn)或s=1n.等比数列a的前n项和s=a+a+a+nn123当q=1时，a=a，s=a+a+a+n1n123当q1时，由a=aqn-1得：n1s=a+aq+aq2+aqn-2+aqn-1n11111+a，n+a=na；n1qs=aq+aq2+aq3+n111+aqn-1+aqn111n(1-q)s=a-aqn=a-aq=a（-q）n111n11-q1-q1na-aqa(1-qn)s=或s=1nn.资料来源于网络仅供免费交流使用即s=a(1-qn)a-aq1-q=1n11-qnna1精品文档用心整理(q=1)(q1)要点诠释：错位相减法是一种非常常见和

3、重要的数列求和方法，适用于一个等差数列和一个等比数列对应项的积组成的数列求和问题，要求理解并掌握此法.在求等比数列前n项和时，要注意区分q=1和q1.当q1时，等比数列的两个求和公式，共涉及a、n、q、a、s五个量，已知其中任意三个量，1nn通过解方程组，便可求出其余两个量.要点二：等比数列连续k项和的性质连续k项和（不为零）仍是等比数列.即s,sk要点三：等比数列中的函数关系2k-s,s-s，成等比数列.k3k2k等比数列a中，a=aqn-1=a1qn，若设c=1,则：aqqnn1an=cqn例1求等比数列1,11（1）当q=1时，a=c，等比数列a是非零常数列。它的图象是在直线y=c上均匀

4、排列的一群nn孤立的点.（2）当q0且q1时，等比数列a的通项公式a=cqn是关于n的指数型函数；它的图象是分nn布在曲线y=a1qx（q0且q1）上的一些孤立的点.q当q1且a0时，等比数列a是递增数列；1n当q1且a0时，等比数列a是递减数列；1n当0q0时，等比数列a是递减数列；1n当0q1且a0时，等比数列a是递增数列。1n（3）当q0时，等比数列a是摆动数列。n要点诠释：常数列不一定是等比数列，只有非零常数列才是公比为1的等比数列.【典型例题】类型一：等比数列的前n项和公式39的前6项和。资料来源于网络仅供免费交流使用精品文档用心整理【答案】364；243【解析】a=1，q=113，

5、n=611-3316364123s=1-=2431-1663【总结升华】等比数列中a,n,q,s,a中的“知三求二”主要还是运用方程的思想解决.1nn举一反三：【变式1】（2015安徽卷）已知数列an是递增的等比数列，a1+a49，a2a3=8,则数列an的前n项和等于_【答案】a+aq3=911a2q3=81由式得q3=8a21代入式得a11，q2s=n1-2n1-2=2n-1【答案】q=-4【变式2】设等比数列an的前n项和为sn，若s3+s6=2s9，求数列的公比q.【解析】若q=1，则有s3=3a1，s6=6a1，s9=9a1.32因a10，得s3+s62s9，显然q=1与题设矛盾，故

6、q1.1-q1-q1-qa(1-q3)a(1-q6)2a(1-q9)由s+s=2s得，1+1=1369整理得q3(2q6-q3-1)=0，由q0，得2q6-q3-1=0，从而(2q3+1)(q3-1)=0，134因q31，故q3=-，所以q=-。22，【变式3】在等比数列a中，a+a=66，aan1n2n-1=128，s=126，求n和q。n资料来源于网络仅供免费交流使用精品文档用心整理【答案】q=1或2，n=6；2aa2n-1=aa，aa=1281n1nan=2an=64a1+an=66a=21-q2na=641-qnaa=128a=64a=2解方程组1n，得1或1a=64a-aq1n将1代

7、入s=1，得q=，n由a=aqn-1，解得n=6；n1a=2a-aqn将1代入s=1，得q=2，n由a=aqn-1，解得n=6。n1q=1或2，n=6。2类型二：等比数列前n项和公式的性质例2已知等比数列an的前n项和为sn,且s10=10,s20=40,求：s30=？【思路点拨】等差数列中也有类似的题目，我们仍然采用等差数列的解决办法，即等比数列中前k项和，第2个k项和，第3个k项和，第n个k项和仍然成等比数列。【答案】130；【解析】20法一：s10，s20-s10，s30-s20构成等比数列，(s20-s10)2=s10(s30-s20)即302=10(s30-40),s30=130.法

8、二：2s10s，q1,=10,s=11-q1-qs10a(1-q10)a(1-q20)120=40,1-q101a=,q10=3,1=-51-q2041-qs30a(1-q30)=11-q=(-5)(1-33)=130.【总结升华】性质的应用有些时候会更方便快捷.举一反三：【变式1】等比数列an中，公比q=2,s4=1,则s8=_.资料来源于网络仅供免费交流使用精品文档用心整理【答案】17；s8=s4+a5+a6+a7+a8=s4+a1q4+a2q4+a3q4+a4q4=s4+q4(a1+a2+a3+a4)=s4+q4s4=s4(1+q4)=1(1+24)=17【变式2】在等比数列a中，已知s

9、=48，snn2n=60，求s。3n【答案】63例3等比数列an中，若a1+a2=324,a3+a4=36,则a5+a6=_.【答案】4；【思路点拨】等比数列中前k项和，第2个k项和，第3个k项和，第n个k项和仍然成等比数列。【解析】令b1=a1+a2=a1(1+q)，b2=a3+a4=a1q2(1+q),b3=a5+a6=a1q4(1+q),易知：b1,b2,b3成等比数列，b3=b22=b1362324=4,即a5+a6=4.【总结升华】灵活应用性质有些时候会更方便快捷.举一反三：【变式】等比数列an中，若a1+a2+a3=7,a4+a5+a6=56,求a7+a8+a9的值。【答案】448

10、；an是等比数列，(a4+a5+a6)=(a1+a2+a3)q3,q3=8,a7+a8+a9=(a4+a5+a6)q3=568=448.类型四：等比数列的综合应用例4已知三个数成等比数列，若前两项不变，第三项减去32，则成等差数列.若再将此等差数列的第二项减去4，则又成等比数列.求原来的三个数.【思路点拨】恰当地设元是顺利解方程组的前提.考虑到有三个数，应尽量设较少的未知数，并将其设为整式形式.【解析】法一：设成等差数列的三数为a-d,a,a+d.则a-d,a,a+d+32成等比数列，a-d,a-4,a+d成等比数列.a2=(a-d)(a+d+32).(1)(a-4)2=(a-d)(a+d).

11、(2)d2+16由(2)得a=.(3)8由(1)得32a=d2+32d.(4)8(3)代(4)消a，解得d=或d=8.3当d=826时,a=；当d=8时,a=1039资料来源于网络仅供免费交流使用精品文档用心整理26338原来三个数为2,或2,10,50.999法二：设原来三个数为a,aq,aq2，则a,aq,aq2-32成等差数列，a,aq-4,aq2-32成等比数列2aq=a+aq2-32.(1)(aq-4)2=a(aq2-32).(2)由(2)得a=2q-4，代入(1)解得q=5或q=13当q=5时a=2；当q=13时a=29.226338原来三个数为2，10，50或，,.999【总结升

12、华】选择适当的设法可使方程简单易解。一般地，三数成等差数列，可设此三数为a-d,a,a+d；若三数成等比数列，可设此三数为xy，x,xy。但还要就问题而言，这里解法二中采用首项a，公比q来解决问题反而简便。举一反三：【变式】一个等比数列有三项，如果把第二项加上4，那么所得的三项就成为等差数列，如果再把这个等差数列的第三项加上32，那么所得的三项又成为等比数列，求原来的等比数列.【答案】为2，6，18或21050,-,；999例5.(2014湖南)已知数列an的前n项和sn，nn*【思路点拨】（1）利用前n项和公式求出通项公式，即a=；（2）利用分组求和法，分s-s(n2)当n2时，ansnsn

13、1n，n2+n2()求数列an的通项公式；()设bn2an+(-1)nan，求数列bn的前2n项和a(n=1)1nnn-1别求出数列的和然后相加。【答案】()ann，()22n+1+n2【解析】()当n1时，a1s11，n2+n(n-1)2+(n-1)-22数列an的通项公式是ann()由()知，bn2n+(1)nn，记数列bn的前2n项和为t2n，则t2n(21+22+22n)+(1+23+4+2n)资料来源于网络仅供免费交流使用精品文档用心整理2(1-22n)+n22n+1+n21-2数列bn的前2n项和为22n+1+n2【总结升华】本题考查等比数列的通项公式、等差数列和等比数列的前n项和公式等知识，要熟练掌握这些公式。举一反三：【等比数列及其前n项和381054典型例题例2】a【变式】已知an是各项均为正数的等比数列，且a1+a=2(1211+)，a2a+a+a=164aaa111(+)，345345(1)求an的通项公式.a(2)设b=(a+1nnn)2，求数列b的前n项和t.n