苏教版高中数学高考总复习(理科)知识梳理等差数列

1、精品文档用心整理等差数列【考纲要求】1理解等差数列概念.2能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题3了解等差数列与一次函数的关系.4灵活应用等差数列的定义、公式和性质解决数列问题，认识和理解数列与其它数学知识之间的内在联系.5掌握常见的求等差数列通项的一般方法；6用数列知识解决带有实际意义的或生活、工作中遇到的数学问题【知识网络】等差数列定义等差数列等差数列的通项公式及应用等差中项【考点梳理】【等差数列382420知识要点】考点一、等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差.要点

2、诠释：(1)a为等差数列ann+1-a=d(nn)aannn-1=d(n2,nn)（d为常数）(2)等差中项：若三个数a，x，b成等差，则x称为数a，b的等差中项。任意实数a，b的等差中项存在且唯一，为a+b.2(3)证数列a是等差数列的方法：na-ann-1=d(n2)（d为常数）；a为ann-1和an+1的等差中项。考点二、通项公式a=a+(n-1)d(归纳法和迭加法)n1要点诠释：a为等差数列a为n的一次函数或a为常数a=kn+b(nn+)nnnn资料来源于网络仅供免费交流使用精品文档用心整理式中a、a、n、d只要有三个就可以利用方程(组)求出第四个。n1公式特征：等差数列a中a=kn+

3、b是关于n的一次函数(或常数函数)，一次项系数k为公差d。nn几何意义：点(n，a)共线；a=kn+b中，nn当k=d0时，a为递增数列；n当k=d0时，a为递减数列；n当k=d=0时，a为常数列。n考点三、通项公式的性质：（1）等差中项：a、g、b成等差数列，则g=a+b2.；（2）通项公式的推广：a=a+(nm）dnm（3）若m+n=p+q(m、n、p、qn*)，则a+a=a+a；mnpq特别，若m+n=2p，则a+a=2amnp（4）等差数列ap中，若m、n、（m、n、pn*）成等差数列，则na、a、a成等差数列.mnp2【典型例题】类型一：等差数列的概念、公式、项的性质7例1.（1）2

4、0是不是等差数列0，-，7，的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理2由.（2）100是不是等差数列2，9，16，的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.【思路点拨】题中要想判断一数是否为某一数列的其中一项，关键是要看是否存在一正整数n值，使得a等于这一数.n7【解析】（1）由题意可知：a=0,d=-，1此数列的通项公式为：a=-n77n+,22令-20=-7747n+,解得n=n，227所以20不是这个数列的项.（2）根据题意可得：a=2,d=9-2=7.1此数列通项公式为：a=2+7(n-1)=7n-5（n1,nn）.n+令7n-5=100,解得：n=15,100是这个数列的第15项.

5、资料来源于网络仅供免费交流使用精品文档用心整理【总结升华】1.根据所给数列的前2项求得首项a和公差d，写出通项公式a.1n2.要注意解题步骤的规范性与准确性.举一反三：【变式1】求等差数列8，5，2的第21项【解析】由a=8，d=5-8=2-5=-3，a=8+(21-1)(-3)=-52.121【变式2】求集合m=m|m=7n,nn*,m100的元素的个数，并求这些元素的和【解析】7n100，n0,得d=2所以a=a+(n-3)d=-3+2(n-3)=2n-9.n3【总结升华】依条件恰当的选择入手公式，性质，从而简洁地解决问题，减少运算量。举一反三：【变式】若数列a为等差数列，an10+a50

6、=100,aa=900,且公差d0求a；451560【解析】a为等差数列an10+a50=a+a1545=100又aa4515=900a、a是方程x2-100x+900=0的根4515或15a=10a=9015a45=90a45=10（舍去）即13d=8令数列a的首项为a，公差为d，则n1a=a+44d90=a+44d4511a15=a1+14d10=a1+14d82a=-解之有：，3a60=a+59d=130.1n=n(a+a)类型二：等差数列的判断与证明【等差数列382420典型例题三】例4设s为数列a的前n项和，且snn1n2.求证：数列a为等差数列n证明：由s=n(a+a)n+1=，所

7、以22【思路点拨】判断一个数列是否为等差数列，需要严格按照等差数列的概念或性质进行判断。本题中已知条件是关于数列前n项和的，所以应该从前n项和的思路着手考虑。(n+1)(a+a)1n得s1n+1n22an+1=sn+1(n+1)(a+a)n(a+a)1n+1-s=-1nn整理得(n-1)an+1-na=-a，又得(n-2)a-(n-1)an1nn-1=-a(n1)1相减并整理得:an+1+an-1=2a(n2)n所以数列a是个等差数列n【总结升华】判断或证明数列是等差数列的方法有:(1)定义法:an+1-an=d(常数)(nn*)an是等差数列;(2)中项公式法:2an+1=an+an+2(n

8、n*)an是等差数列;(3)通项公式法:an=kn+b(k、b是常数)(nn*)an是等差数列;(4)前n项和公式法:sn=an2+bn(a、b是常数)(nn*)an是等差数列.举一反三：资料来源于网络仅供免费交流使用【变式】已知数列an，ann*，sn=(a+2)2，求证：an是等差数列；8【答案】an+1=sn+1sn=(an+1+2)2-(a+2)2,88精品文档用心整理1n11n8an+1=(an+1+2)2-(an+2)2,(an+1-2)2-(an+2)2=0,(an+1+a)(ann+1-a-4)=0，nann*，an+1+a0，nan+1-a-4=0，即ann+1-a=4，n例5设an是等差数列,证明以bn=a+a+a数列an是等差数列.12nn(nn*)为通项公式的数列b是等差数列.n【思路点拨】等差数列的概念是以递推关系的形式给出的，这也是判定一个数列是否为等差数列的首要考虑。证法一:设等差数列an的公差是d(常数),当n2时，n-1=b-bna+a+a12nn-a+a+a12n-1n-1=（a-a）222=n(a+a)(n-1)(a+a)1n-1n-12n2(n-1)