现代科技综述知识文库：黎曼流形特征值的估计

1、现代科技综述系列黎曼流形特征值的估计科技是人类区别于动物的重要文明之一，是人类对自然规律研究和利用的学科。本文提供对科技基本概念“黎曼流形特征值的估计”的解读，以供大家了解。黎曼流形特征值的估计谱几何正问题的一个重要研究课题是计算流形的谱。通常直接算出流形的谱是十分困难的，为此要对特征值(即谱值)进行估计，找出其下控与上界。此问题引伸到等周不等式的探讨，以及Pinching问题的研究，此外，在物理学中，确定鼓膜的形状也需用特征值的计算。设(M，g)是紧致、连通的黎曼流形，则黎曼流形(M，g)的谱： Spec(M，g)=Rf=f，0，fC(M)， 这里是作用在C(M)上的Laplace算子。Sp

2、ec(M，g)=0=012 黎曼流形(M，g)的剖分函数Z(t)定义为Z(t)=mie（it，这里mi为特征值的i的重数。由Z(t)可决定(M，g)的谱值和其重数。Minakshisundaram-Pleijel于1949年得到剖分函数的渐近展开式：，这里ak是黎曼不变量。实际上是流形M的曲率张量与其各阶共变导数的函数。根据Mckean-Singer引入的正交不变量方法，可得到a0=vol(M，g)，这里是数量曲率，是Ricci曲率，R是黎曼曲率。a3已由TSakai于1971年算出，而当k4时，ak几何意义至今尚不知。第1个非零特征值1的计算，不仅在谱几何研究中具有一定的理论价值，而且在鼓膜

3、振动和波方程中也具有应用价值，ALichnerowicz于1958年指出：设(M，g)，是一个n维紧致的黎曼流形，若存在正数k0，使得kg，其中为Ricci张量，则的第1个非零特征值1，满足。它的逆定理就是MObata于1962年建立的Obata定理：设(M，g)是一个n维紧致的黎曼流形，若存在正数k0，使得kg，并且，则(M，g)与(Sn，g0)等距。JCheeger于1970年得到1的极小值原理： 这里H1(M)是与1正交的一切C1函数所构成的空间。如果采用范数，则H1(M)关于范数f1是完全的。JCheeger于1968年得到1的上界：如果对于任一自然数n，存在一数h(n)0，使得n维紧

4、致黎曼流形(M，g)的截面曲率大于或等于0，则1h(n)diam(M，g)2。在此，依赖于n的h(n)如何选择为最佳?曲率非负的条件能否去掉，这一切有待于进一步改正。Cheeger定理的证明与流形(M，g)上一点m的割迹C(m)密切相关，而割迹的研究又同闭测地线的性质相联系，为此，闭测地线理论与割迹性质的研究推动了谱几何学科向纵深发展。假设流形(M，g)可分为两个开子流形M1和M2，并以闭子流形S为其共同边界，记 这是MBerger于1970年建立的，本结果的证明需用Morse临界点理论。至于是否为1的最好下界?这个问题至今尚未解决。此外，对第2个非零特征值2是否有估算的必要?如果要进行计算，

5、其下控与上界又是如何?这一切问题既难而有趣。设D是(Rn，g0)中光滑的有界区域，区域D中Dirichlet特征值为k。置N()=Cardjj，则当+时，N()C(n)vol(D)n2，这里C(n)=(2)n volBn，Bn是Rn中的单位球，这就是HWeyl于1911年建立的渐近公式，换一种写法为N()=Cardjj=C(n)vol(M，g)n2+0(n2)。假设(M，g)是无边界、连通的黎曼流形，1956年Avakumovic和1968年LHormander指出，认为这个估计是最佳的。1975年JDuistermat和VGuellemen认为R()=N()C(n)vol(M，g)n2与(M

6、，g)测地线流关系密切。粗略地说，R()为阶当且仅当(M，g)的测地线流是周期的，即所有测地线是具有相同周期的闭测地线。例如，球面Sn上所有测地线是以2为周期的周期测地线。同样可粗略地说：如果测地线流不是周期的，则。1976年PBerard和BRandol，对于负曲率流形证明。一般对R()的研究是较为困难的，它要用数论知识。对带有边界的流形，困难就更大了。然而为了计算、估计流形的谱，这一领域的工作仍是一个研究热点。【参考文献】： 1 Obata M.J Math Soc Japan, 1962,14 2 Cheeger J. Archiv Der Math, 1968,19 3 Urakawa H. P