资阳市高中2015级第二次诊断性考试理科数学

1、资阳市高中2015 级第二次诊断性考试理科数学注意事项：1 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共 60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1设集合 A x | x2x20 ， B x | x21，则A( e R B)A. x 2 x 1B. x 2 x 1C. x 1 x 1D. x 1 x 12复数

2、 z 满足 z(12i)32i，则 z18B.18C.7878A.i5i5iD.i55551553已知命题 p：x0R， x02lg x0 ；命题 q： x(0，1)，则， x2xA. “ pq ”是假命题B.“ pq ”是真命题C.“ p( q) ”是真命题D.“ p(q) ”是假命题4一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A.B.48C.D.2xy2 ，05设实数 x，y 满足xy4 ，的最小值为0则 x 2 yy ，1A. 5B.4C. 3D. 16为考察 A、B 两种药物预防某疾病的效果，进行动物试验，分别得到如下等高条形图：资阳高三理科数学试题第1页（共 4页）根据图中信息，

3、在下列各项中，说法最佳的一项是A. 药物 B 的预防效果优于药物A 的预防效果B. 药物 A 的预防效果优于药物B 的预防效果C. 药物 A、 B 对该疾病均有显著的预防效果D. 药物 A、 B 对该疾病均没有预防效果7某程序框图如图所示，若输入的a， b 分别为 12，30，则输出的 aA. 2B. 4C. 6D. 88箱子里有 3 双颜色不同的手套 （红蓝黄各1 双），有放回地拿出2 只，记事件 A 表示 “拿出的手套一只是左手的， 一只是右手的， 但配不成对 ”，则事件 A 的概率为A. 1B.1631D.2C.559在三棱锥 P ABC 中， PA底面 ABC， BAC120， ABA

4、C1， PA2 ，则直线 PA 与平面 PBC 所成角的正弦值为25B.22C.51A.35D.5310过抛物线 C1： x24 y 焦点的直线 l 交 C1 于 M， N 两点，若 C1 在点 M， N 处的切线分22别与双曲线 C2： x2y2 1( a0，b 0) 的渐近线平行，则双曲线C2 的离心率为5ab4B.3C.2A.D.3311. 边长为8 的等边 ABC 所在平面内一点O，满足 OA2OB3OC0 ，若 M 为ABC边上的点，点 P 满足 | OP | 19 ，则 |MP |的最大值为A. 53B.63C.219D. 319资阳高三理科数学试题第2页（共 4页）12已知函数f

5、 xcos x（其中0 ）的一个对称中心的坐标为， ，一条对(0)12称轴方程为 x有以下 3 个结论：3 函数 fx的周期可以为；3 函数 fx可以为偶函数，也可以为奇函数； 若2，则 可取的最小正数为103其中正确结论的个数为A. 0B. 1C. 2D. 3资阳高三理科数学试题第3页（共 4页）二、填空题：本大题共4 小题，每小题 5 分，共 20分。13二项式 ( x3 1)7 的展开式中 x 5 的系数为.x14曲线 y x2 与直线 y1 所围成的封闭图形的面积为.15如图，为测量竖直旗杆CD 高度，在旗杆底部C 所在水平地面上选取相距 4 21 m 的两点 A， B，在 A 处测得

6、旗杆底部 C 在西偏北 10 的方向上，旗杆顶部D 的仰角为 60 ；在 B 处测得旗杆底部C 在东偏北 20 方向上，旗杆顶部 D 的仰角为 45 ，则旗杆 CD 高度为m.16已知函数 f (x)x( x 2)2 ， 3 x 0，f ( x1)f (x2 ) 2 f ( x3 )2ex(4 x) 8，x 0，如果使等式4 x2成立的实数x12 2 x3 1x1， x3 分别都有 3 个，而使该等式成立的实数x2 仅有 2 个，则 f ( x2 )的取值范围是.x22三、解答题： 共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、

7、 23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60 分。17（ 12 分）已知数列 an 的前 n 项和为 Sn ，且 Sn2an 2 .（ 1）求数列 an 的通项公式；（ 2）若 bnan log 2 an ， Tn b1 b2bn ，求 Tn n 2n 1成立的正整数n 的最50 0小值 .18（ 12 分）某地区某农产品近几年的产量统计如下表：年份201220132014201520162017年份代码 t123456年产量 y（万吨）6.66.777.17.27.4（1）根据表中数据，建立y 关于 t 的线性回归方程y bt a；（2）若近几年该农产品每千克的价格v （单位：

8、元）与年产量y 满足的函数关系式为v 4.50.3 y ，且每年该农产品都能售完根据（ 1）中所建立的回归方程预测该地区2018（ t 7 ）年该农产品的产量；当 t （ 1 t 7 ）为何值时，销售额S 最大？附：对于一组数据(t1，y1 ) ， (t2，y2 ) ， ， (tn，yn ) ，其回归直线 ybt a 的斜率和截资阳高三理科数学试题第4页（共 4页）n(tit )( yi y)距的最小二乘估计分别为： bi 1， a y bt ni 1(ti t) 2资阳高三理科数学试题第5页（共 4页）19.（ 12 分）如图，在三棱柱 ABC A1 B1C1 中，侧面 ACC1 A1 底面

9、 ABC ， AA AC AC ， AB BC ， AB BC ，E，F 分别为 AC， B C1111的中点 .（ 1）求证：直线 EF 平面 ABB1 A1 ；（ 2）求二面角 A1 BC B1 的余弦值 .20.（ 12 分）22，且过点 P(1，3已知椭圆 C： x2y2 1( ab0) 的离心率 e1) ab22（1）求椭圆 C 的方程；（2）过 P 作两条直线 l1， l2 与圆 ( x 1)2y2r 2(0r3) 相切且分别交椭圆于M，N2两点 求证：直线 MN 的斜率为定值； 求MON 面积的最大值（其中O 为坐标原点） 21（ 12 分）已知函数 f ( x)(3x)exa(

10、 x0， aR ) x（1）当 a3f (x) 的单调性；时，判断函数4（ 2）当 f ( x) 有两个极值点时， 求 a 的取值范围； 若 f ( x) 的极大值小于整数m，求 m 的最小值（二）选考题：共10 分。请考生在第22、 23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22 选修 4 4：坐标系与参数方程（ 10 分）x 12 ，2t在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为（其中 t 为参数），在以原点2ty2O 为极点，以 x 轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为4sin （1）求直线 l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程；（2）设 M 是曲线 C 上

11、的一动点，OM 的中点为 P ，求点 P 到直线 l 的最小值资阳高三理科数学试题第6页（共 4页）23 选修 4 5：不等式选讲 （10 分）已知函数 f ( x)| 2x a | x2 | （其中 aR ）（1）当 a 4时，求不等式f ( x) 6的解集；（2）若关于 x 的不等式2x |恒成立，求 a 的取值范围f ( x) 3a | 2资阳市高中 2015 级第二次诊断性考试理科数学参考答案及评分意见一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共 60 分。1.C2.A3.B4.D5.A6.B7.C8.B9.D10.C11.D12.C二、填空题：本大题共5 小题，每小题4 分，共

12、20 分。13. 35；14.4 ；15. 12；12. (1,3 3三、解答题：本大题共70 分。（一）必考题：共60 分。17（ 12 分）（ 1）当 n1 时， a12a12 ，解得 a12 ，当 n 2 时， Sn2an2， Sn 12an12 . 则 an2an2an1 ，所以 an2an 1 ，所以 an 是以 2 为首项， 2为公比的等比数列 .故 ana1q n12 n .4 分（ 2） bn2n log 2 2 nn2n ,则 Tn23n1222 32n 2234nn12Tn 1 2 2 2 3 2(n 1) 2 n 2 得： Tn222232nn2n 12(12n )n2n

13、 12 n 1n 2 n 12 .所以 Tn( n 1) 2n 12 12由 Tnn 2 n 1500 得 2n 152 .由于 n4 时，n153252 ； nn1652 .225时， 22 64故使 Snn2n1500成立的正整数n 的最小值为5 . 12 分18（ 12 分）（ 1）由题， t63.5 ， y67 ，6(tit)( yiy)(2.5) (0.4)( 1.5) ( 0.3)00.50.1 1.50.22.5 0.42.8 ，i 16t)22.5)21.5)20.5) 20.521.522.52(ti(17.5 i 1所以 b2.80.16 ，又 aybt ，得 a70.16

14、3.56.44 ，17.5所以 y 关于 t 的线性回归方程为y0.16t6.44 6 分（2）由（ 1）知 y0.16t6.44 ，当 t7 时， y0.1676.447.56 ，即 2018 年该农产品的产量为7.56万吨资阳高三理科数学试题第 7页（共 4页） 当年产量为 y 时，销售额 S (4.50.3y) y 103( 0.3y24.5y) 103 （万元），当 y 7.5 时，函数 S 取得最大值，又因y 6.6，6.7，7，7.1，7.2，7.4，7.56 ，计算得当y 7.56，即 t 7 时，即2018年销售额最大.12 分19.（12 分）（1）取 AC的中点 G，连接

15、EG，FG，由于 E， F分别为 AC， B C 的中点，1111所以 FG A1 B1 又 A1B1平面 ABB1 A1 ， FG平面 ABB1 A1 ，所以 FG 平面 ABB1 A1又 AE A1G 且 AE A1G ，所以四边形 AEGA1 是平行四边形则 EG AA1 又 AA1平面 ABB1 A1 ， EG平面 ABB1 A1 ，所以 EG平面 ABB1 A1所以平面 EFG平面 ABB1 A1 又 EF平面 EFG ，所以直线 EF平面 ABB1 A1 6分（ 2）令 AA1 A1CAC 2，由于 E为 AC中点，则 A11 11E1E AC，又侧面 AA C C 底面 ABC，

16、交线为 AC， A平面 A AC，则 A1E 平面 ABC，连接 EB，可知 EB， EC， EA1 两两垂直以 E为原点，分别以 EB， EC， EA1 所在直线为 x， y，z轴，建立空间直角坐标系，则B(1，0，0)，C(0，1，0)，A 1(0，0， 3 )，A(0， 1，0)， B1 (1，1， 3) 所以BC (1,1,0) ， BA1( 1,0,3) ， BB1AA1(0,1, 3) ，令平面 A 1BC的法向量为 n1(x1 , y1 , z1 ) ，n1BC0,x1y1 0,令 x13，则 n1(3,3,1)由则x13z10,n1BA10,令平面 B 1BC的法向量为 n2(

17、 x2 , y2 , z2 ) ，n2BC0,x2y20,3 ，则 n2( 3, 3, 1)由BB1则y23z2令 x2n20,0,由 cosn1n25A1BCB1 的余弦值为5n1 , n2n2，故二面角. 12分n17720.（12 分）1e1 ，设椭圆的半焦距为c，所以 a2c ，（ ）由2因为C过点3191 ，又 c2b2a2，解得 a2， b3 ，P(1， ) ，所以a 24b22x2y21 4分所以椭圆方程为34（2）显然两直线 l1， l2 的斜率存在，设为k1， k2 ， Mx1 , y1， Nx2 , y2，222r3k2 ，由于直线 l1，l 2 与圆 ( x 1)yr(0

18、) 相切，则有 k123 ，3yk1 xk1k1x 1， 联立方程组2直线 l1 的方程为 yx2y22，431消去 y ，得 x2 4k123 k1 12 8k1 x 32k1212 0，资阳高三理科数学试题第8页（共 4页）因为 P， M 为直线与椭圆的交点，所以k18k112，x1 134 k21同理，当 l 2与椭圆相交时， x21k18k1124k12，3所以 x1x224k1，而 y1y2k1 x1x22k112k1，2234k134k1所以直线 MN 的斜率 ky1y21x1x22y1，12x m 设直线 MN 的方程为ym ，联立方程组xx2y2，24312mxm230 ，消去

19、 y 得 x所以 MN1(1)2m24( m23)154m2，原点 O 到直线的距离 d2m，225115m22m3m2 (4 m2 )3 m24m2OMN 得面积为 S43 ，522222当且仅当 m22 时取得等号经检验，存在r （0r33），使得过点P(1， ) 的两条直线与圆2y2r222M， N( x 1)相切，且与椭圆有两个交点所以OMN 面积的最大值为3 12 分21（ 12 分）（ 1）由题 fxex(3x)ex x(3x)e xa(x23x3)exax2x2( x 0) 33方法 1：由于x23x30 ， ex10 ， (x23x3)ex，344又 a，所以 (x23 x3)

20、exa0 ，从而 fx0 ，4于是f (x) 为 (0, )上的减函数4 分方法 2：令 h( x)(x23 x3)exa ，则 h ( x)(x2x)e x ，当 0x1 时， h ( x)0 ， h( x) 为增函数；当 x1 时， h ( x)0 ， h( x) 为减函数故 h(x) 在 x1 时取得极大值，也即为最大值则 h( x)maxh(1)ea 由于 a3h(1)e a0 ，所以 h( x) max4于是 fx 为 (0,)上的减函数4 分（ 2）令h( x)(x23x3)exa ，则 h ( x) (x2x)e x ，当 0x1 时， h ( x)0 ， h( x)为增函数；当

21、 x1 时， h ( x)0 ， h( x) 为减函数当 x 趋近于时， h( x) 趋近于由于 fx有两个极值点，所以fx0 有两不等实根，即 h( x)(x23x3)exa 0 有两不等实数根x1， x2 （ x1x2 ）资阳高三理科数学试题第9页（共 4页）h(0)0,3ae 则解得h(1)0,333333可知 x1 (0,1) ，由于h(1)ea2a2+30，则 x(1,) 0，h( )e4e22( x2 23)ex224而 f x23x2a0，即 ex2x22a3（#）x 23x22所以 f xf ( x2 )(3 x2 )e x2afx2ax22 a，（ *）极大值x，于是23x23x221 ) ，则（ *）可变为 gtta1a ，令 tx2xt2(1tt2t12221t11t1t1gtaa3可得13 ，而3at 2t1t1e ，则有1t1，tt(1,3 ) ， f下面再说明对于任意3ae ， xx22 22x2x2又由（ #）得 ae(3x23) ，把它代入（ * ）得 fx