初中数学教学论文：谈“用函数的观点看一元二次方程”教学中的细节问题

1、课 堂 因 细 节 而 决 定 成 败谈“用函数的观点看一元二次方程”教学中的细节问题常言道：“细节决定成败”，课堂教学也正是如此，细节常发生在充满灵气的课堂场景中，它看似平常，却蕴含着智慧，它看似简单，却孕育着深刻，它看似细小，却显示着效能，课堂正是因为有了这样的令人关注的细节，教学才经历一次次成败的喜与忧的体验。下面结合“用函数的观点看一元二次方程”的教学案例谈课堂教学中的细节问题。1、 复习设计细节课堂因此而简单简短的复习，初看是浪费时间，细思其意蕴，可拉近知识之间的心理距离，营造轻松的教学环境。教学片段：（1）填写下表，并回答下表反映了什么问题？（反映了一元一次方程和一次函数的关系）序

2、号一元一次方程问题一次函数问题 1解方程 3x2=0当x为何值时,y=3x2的值为0 2解方程 8x+3=0 3当x为何值时,y=-7x+2的值为0（2）根据图象你能写出哪些一元一次方程的解方程5x=0的解是x=0，方程x+2=0的解是x=-2，方程-2.5x+5 =0的解是x=2，方程x-3 =0的解是x=3（3）归纳：从数的角度看：求ax+b=0(a, b是常数，a0)的解x为何值时y= ax+b的值为0；从形的角度看：求ax+b=0(a, b是常数，a0)的解求直线y= ax+b与x轴交点的横坐标；教师从数和形的两个角度，引导学回顾一元一次方程与一次函数的关系。恰到好处地进行内容和方法的

3、回顾，让学生进入知识的情景，营造轻松和谐的学习氛围，为本节课的成功教学打下了基础。2、教材内容处理细节课堂内容因此而成功教材内容片段1：如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成300角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，球的飞行高度（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系：。考虑以下问题：（1） 球的飞行高度能否达到15m？如能，需要多少飞时间？（2） 球的飞行高度能否达到20m？如能， 需要多少飞时间？（3） 球的飞行高度能否达到20.5m? 如能， 需要多少飞时间？（4） 球从飞出到落地要用多少时间?（1）求解细节课堂教学因此而实效学生已知掌握二次函数常规

4、知识下，问题的具体求解是没有困难，教师要从理解题意着手，能使学生意识到，可把问题化为：已知h=15、20、20.5、0；求相应t的值。具体求解过程让学生独立完成，让学生从数的角度经历与体验二次函数与一元二方程的关系。（2）解释细节课堂内容因此而领会求出了答案，此时学生的思维还处在孤立状态，要让学生真正理解问题的本质，要结合图形对答案作出解释是很重要的一个问题，教学中，应回归题目中所给的图形，提出问题：为什么有两个时间球的高度都为15m？让学生建立合理的坐标系，在纵坐标上找出h=15的点，过这个点作纵轴的垂线与抛物线相有两个交点，过这两个交点作横轴的垂线，垂足所对应的点分别为1与3。由抛物线的对

5、称性可知，当横坐标取1或3时，纵坐标都是15。类似地解释其他几个问题，让学生能从形的角度领会二次函数与一元二次方程的关系。（3）归纳细节课堂内容因此而清晰上面的求解过程、解释过程、板书过程还比较杂而乱，需要教师梳理，让学生从数和形的两个角度体验二次函与一元二次方程的关系，因此，我在教学时，就设计了下表，让学生在边解边答的过程中填写，有意识地归纳二次函数与相应的一元二次方程的关系所在。二次函数h的取值相应的图形相应的方程对应t的值15t1=1，t2=320t1=t2=220.5无实数根0t1=0，t2=4上表格更清晰地反映了二次函数与一元二次方程的密切联系。使教学片段1的意图得到真正体现。教材内

6、容片段2：从上面可以看出，二次函数与一元二次方程关系关系密切；例如，已知二次函数的值为3，求自变量x的值，可以看作一元二次方程（即反过来，解方程又可以看作已知二次函数的值为0。求自变量x的值。（4）从特殊到一般的细节处理课堂内容因此而领悟对这一段的对话，要教学时我设计以下三个问题：问题1：已知二次函数求自变量x的值，让学生独立完成，再次感受方法，体验过程，达到真正领悟。问题2：解方程又可以看作二次函数的值为0，求自变量x的值。让学生经过思考问答，经历构造二次函数的过程，真正达到领悟二次函数与一元二次方程的关系。问题3：解方程又可以看作二次函数 的值为0，求自变量x的值。让学生经历从特殊到一般的

7、过程，进一步明确一般一元二次方程与二次函数存在一定的关系。需要进一步深入讨论，为下面的学习指明方向。教材内容片段3:下列二次函数的图像与x轴有公共点吗?如果有公共点的横坐标是多少?x取公共点的横坐标时,函数的值是多少?由此,你能得出相应的一元二次方程的根吗?; （5）图像呈现细节课堂时间因此而赢得根据学生已有的知识，同时考虑一节课的教学时间，这三个二次函数的图像是作为已知呈现，不再是当堂画图，这样才能赢得时间去重点解决解决主要问题。（6）结论呈现细节课堂内容因此而生效根据教材中问题，学生得出的结论很零碎，需要教师引导学生加以归纳整理，让学生能从数和形两个角度去理解二次函数与一元二次方程根的关系

8、，到达真正理解问题的本质的目的。所以我在教学时设计了下表，与学生一起分析探讨与归纳：二次函数相应的图像与x轴公共点个数及对应的坐标相应方程的根判别式的符号有两个公共点（-2，0）（1，0）x2+x-2=0的两个根是x1=-2，x2=1有唯一公共点（3，0）x2-6x+9=0有两根相等的实数根x1=x2=3没有公共点x2-x+1=0没有实数根从以上表格可以很自然过渡到一般性结论，即二次函数与一元二次方程有下面的关系：二次函数相应的图像与x轴公共点个数及对应的坐标相应方程的根判别式的符号有两个公共点（x1，0）（x2，0）的两个根是x1，x2有唯一公共点（ ，0）有两根相等的实数根没有公共点没有实

9、数根这样的教学设计，让学生经历了在求解中探究、在探究中归纳的过程，从而更加深刻领悟到二次函数与一元二次方程存在着不可分割的联系。教材内片段4：利用函数的图像求方程的实数根（精确到0.1）。（7）方法与步骤细节课堂内容因此而学会根据上面的探究过程，让学生知道一元二次方程的另一种解法图像法，教学时，要关注解题方法的掌握，突出解题步骤的归纳：（1）构造二次函数；（2）用描点法作出这个二次函数的图像；（3）找出图像与x轴交点的横坐标；（4）写出方程的解。为了使画图像简便，再介绍构造另一种二次函数的方法：（1）把方程变形为：，（2）构造两个函数与；（3）分别在同一坐标系中作出这两个函数的图像；（4）找出两个图像的交点的横坐标，（5）写出方的解。归纳小结两种解法的差异，基本方法类同，方法1只构造一个二次函数，对于本节课来说，这种解法比较自然，易于理解，但是画二次函数的图像比较费时。方法2其中二次函数的图像是固定易画，而一次函数的图像只要两点画直线，也比较容易，这种解法与二元一次方程组的图像解法类同。在学生理解比较透彻的情况下，方法2是比较容易的一种解法。以上的教学流程，体现了教材重组的必要性