《等比数列的前n项和》优质说课稿

1、等比数列的前 n 项和说课稿 各位专家、各位同行： 现在，我将向大家讲述“等比数列的前 n 项和公式”这节课的教学构思与设计。 确定的教学模式和教 我的讲述分两个部分： 第一部分是我对这节教材的理解和根据高中学生的数学思维特征， 学方法以及要实现的教学目标。 调动学生潜在的学习积 可以全面 突破难点可以使学生在心理上 第二部分是在教学过程中， 如何用多媒体激发学生的学习热情， 极性， 启迪学生的思维， 突破教材难点。 我认为课堂教学的最高原则是突破难点， 体现一个教师的综合素质、 和全面展示一个教师的教学艺术、 得到一种满足和享受，从而将认识水平达到一个新的境界。 一、教材分析 1、地位和作用

2、 等比数列的前 n 项和是一个重要内容，它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用， 如储蓄、分期付款的有关计算等等，而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、 整体变换和方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。 等比数列前n项和公式是高中数学二年级第二学期第十三章第五节内容。教学对象 为高二学生， 教学课时为 2 课时。 本节课为第一课时。 在此之前， 学生已学习了数列的定义、 等比数列、等比数列的通项公式等知识内容, 这为过渡到本节的学习起着铺垫作用，而本节 内容也为后面学习数列求和、 数列极限打下基础。 本节课既是本章的重点， 同时也是教材的 重点。 从高中数学的整体内容

3、来看， 数列与数学归纳法 这一章是高中数学的重要内容之一， 在整个高中数学领域里占据着重要地位， 也起着关键性的作用。 首先：数列有着广泛的实际 应用。例如产品的规格设计、储蓄、分期付款的有关计算等。其次：数列有着承前启后的 作用。 数列是函数的延续， 它实质上是一种特殊的函数； 学习数列又为进一步学习数列的极 限等内容打下基础。 再次：数列也是培养提高学生思维能力的好题材。学习数列要经常观 察、分析、猜想 , 还要综合运用前面的知识解决数列中的一些问题，这些都有利于学生数学 能力的提高。 2、学情分析 学生在学习本节内容之前已经学习等差、等比数列的概念和通项公式，等差数列的前N 项和的公式，

4、 具备一定的数学思想方法， 能够就接下来的内容展开思考， 而且在情感上也具 备了学习新知识的渴求。 从学生的思维特点看， 很容易把本节内容与等差数列前 n 项和从公 式的形成、特点等方面进行类比，这是积极因素，应因势利导不利因素是：本节公式的推 导与等差数列前 n 项和公式的推导有着本质的不同， 这对学生的思维是一个突破， 另外， 对 于 q = 1 这一特殊情况，学生往往容易忽视，尤其是在后面使用的过程中容易出错 二、教学目标的确定 作为一名数学老师 ,不仅要传授给学生数学知识 , 更重要的是传授给学生数学思想、 数学 意识。 根据上述教材结构与内容分析， 考虑到学生已有的认知结构心理特征，

5、 我制定了如下 的教学目标： 1、知识目标： 在此基础上能初步应用公 掌握等比数列前 n 项和公 理解并掌握等比数列前 n 项和公式的推导过程、 公式的特点， 式解决与之有关的问题 理解等比数列前 n 项和公式的推导方法， 式及应用。 类比与转化、 分类讨论等 2、 能力目标： 通过对公式推导方法的探索与发现， 向学生渗透特殊到一般、 数学思想，培养学生观察、比较、抽象、概括等逻辑思维能力和逆向思维的能力。培养学生 观察问题、思考问题的能力，并能灵活运用基本概念分析问题解决问题的能力 , 锻炼数学思 维能力。 3、情感目标： 通过对公式推导方法的探索与发现， 培养学生的思维能力， 使学生在民主

6、、 和谐的活动 中感受学习的乐趣。培养学生学习数学的积极性， 激发学生求知欲，鼓励学生大胆尝试，并从中 获得成功的体验 ，锻炼学生遇到困难不气馁的坚强意志和勇于创新的精神。 三、重、难点： 等比数列的前 n 项和是这一章的重点，期中，公式推导所使用的“错位相减法”是 高中数学数列求和方法中最常用的方法之一，它蕴含了重要的数学思想，根据教材的要求、 特点以及学生的实际可确定本节课的重、难点分别如下： 1、教学重点 公式的推导、公式的特点和公式的运用。 等比数列的前 n 项和公式的推导及其简单应用。此推导过程中蕴含了分类讨论，递推、转化等重要思想， 是解决一般数列求和问题的关键，所以非常重要。为此

7、，我给出了三种方法来推导公式，加深学生理解， 突出重点。 2、教学难点 公式的推导方法和公式的灵活运用。 等比数列的前 n 项和的公式推导。在此之前，已经学习了等差数列的前 n 项和，但是两者相似度低，不能 通过类比得到。同时，错位相减法是第一次出现，学生不容易理解。为此，我引导学生分析等比数列的性 质，联想到等比定理， 首先通过等比定理推导出求和公式。 之后再引导学生观察上述公式引出错位相减法， 如此，成功地突破难点。 四、教法、学法 1、教法分析： 基于本节课时公式推导课，应着重采用探究式教学方法。在教学中以学生的分组讨论和自主探究为主，辅 之以启发性的问题诱导点拨，充分体现学生是主体，教

8、师服务于学生的思路。 在此之前，已经学习了等差数列与等比数列的概念及通项公式，已经具备了一定的知识基础。在教师创设 的情景中，结合教师点拨提问，经过交流讨论，形成认识过程。通过训练，发现自身不足并及时完善。在 这个过程中，学生主动参与学习，提高自身的数学修养。 数学是一门培养和发展人的思维的重要学科，因此在教学中不仅要让学生“知其然”， 还要“知其所以然”，为了体现以学生发展为本，遵循学生的认知规律，体现循序渐进和启 发式教学原则， 我进行这样的教学设计： 在教师的引导下，创设情景， 通过开放式问题的设 置来启发学生进行思考， 在思考中体会数学概念形成过程中蕴涵的数学方法和思想， 使之获 得内

9、心感受。本节课将采用“多媒体优化组合激励发现” 式教学模式进行教学。该模式 能够将教学过程中的各要素， 如教师、学生、 教材、教法等进行积极的整合， 使其融为一体， 创造最佳的教学氛围。主要包括启发式讲解、互动式讨论、研究式探索、反馈式评价。 数学教学过程是教师引导学生进行学习活动的过程是教师和学生之间互动的过程，是 师生共同发展的过程， 这就要求教师要以全新的理念来认识课程、对待学生，从发展学生的 高度来选择教法，在教学方法的选择和教学手段的使用上，我的设计有以下几点。 （1）.注重知识的形成过程，因而我在教学中创设了一系列的活动，通过创设情景， 不断地体 让学生感受新知识的形成过程，始终让

10、学生作为学习的主体，让学生成为探究者， 验成功，激发学生的求知欲，培养学生的创新精神和解决问题的能力。 （2）.在每一个知识的形成过程中，不断地鼓励学生进行交流、讨论，提高对问题的 理解。 （3）.数学课堂中，讲与练是相辅相成的，是对新知识的同化和顺应过程的一种检测。 编选的练习先浅显后深入，体现一定的思维层次。 （4）.多媒体的使用，在本节课中，数形结合完美的展现数学知识，生动、直观的呈 观在学生面前，易于理解和接受，同时加大本节课的容量，提高了课堂效率，增强了教学效 果。 2、学法分析： 根据二期课改的精神，转变学生的学习方式也是本次课改的重要内容，数学作为基 础教育的核心学科之一，转变学

11、生的数学学习方式，变学生被动接受式学习为主动参与式学 习，不仅有利于提高学生的整体数学素养，也有利于促进学生整体学习方式的转变。在课堂 结构上我根据学生的认知层次，设计了（1）创设情景（2）观察归纳 （3）讨论研究（4） 即时训练（5）总结反思（6）任务延续，六个层次的学法，他们环环相扣，层层深入，从 而顺利完成教学目的。自主探索、观察发现、类比猜想、合作交流。 教学手段，禾U用多媒体和POWER POINT软件进行辅助教学。 本节课面向具有一定理解，分析，推理能力和良好数学学习习惯的普通高中学生，学生刚接 触了等比数列的概念和性质，又接着学习等比数列， 这体现了高等数学中类比和循序渐进的 思

12、想，在学习过程中，要注重公式的推导，使学生提高推理演算的能力。 五、教学过程 7个阶段: 为达到本节课的教学目标，我把教学过程分为如下 弓I入等比数列的前 n项和的问题模 调动学生学习新知识的积极性，为后面的教学埋下伏笔。 这是一个悬念式的实例，后面的“那么”又把学生带入 根据心理学，情境具有暗示作用，在暗示 这样他们的学习积极性和思维活动就会极 1、创设情景，激发兴趣，引入新课 我将用电脑演示国际象棋棋盘格子中放麦粒的故事， 型，这样可以增强学生的感性认识， 故事内容紧扣本节课的主题与重点。 了实例创设的情境，让学生直接参与了实际应用。 作用下，学生自觉不自觉地参与了情境中的角色， 大的调动

13、起来。 这样引入课题有以下几个好处： （1）利用学生求知好奇心理，以一个实际问题为切入点，便于调动学生学习本节课的趣 味性和积极性。 （2）在实际情况下进行学习， 可以使学生利用已有知识与经验，同化和索引出当前学习 的新知识，这样获取的知识，不但易于保持，而且易于迁移到陌生的问题情境中。 （3）问题内容紧扣本节课教学内容的主题与重点。 （4）有利于知识的迁移，使学生明确知识的现实应用性。 学生根据自己掌握的知识和经验，很快建立起两个等比数列的数学模 为首项，2为公比的等比数列，即常数列。数列bn是以1为首项，2 1263 1+2 +2 + +2= 18446744073709551615（粒）

14、 2、师生互动, 在教师的诱导下， 型。数列an是以 为公比的等比数列。 n项和 探究问题 引导学生观察上述问题中的数字特征，弓I出本节课新内容：等比数列的前 即 Sn =a1 +a1q +a1q2 +a1qn2 +a1qn7 =?这种从特殊到一般的思维方式，有利于学生知识迁移。 通过学生分组讨论，生生，师生探讨合作，给出三种推导方法，分别是：利用等比定理推导，错位相减法, 附：利用等比定理 a2a3a4 . 3132a3 a2 +a3 +*+an 提取公比法。由于错位相减法是第一次碰到，学生难以接受。所以我首先是引导学生分析等比数列的性质， 从中联想到等比定理，并运用等比定理推导的出求和公式

15、。再引导学生对上述推导过程进行分析，自然地 引出错位相减法，这样就成功地突破了难点。在这一过程中，我采用了三种方法，一方面，学生感受到解 决问题方法的多样性，同时也是突出重点的一种手段。 an q =q an A n a*! a1 +a2 +anjSn -an =q = （ q）Sn = a1 anq 错位相减法 Ig丄丄2 .n_2,nJ jSn =a1 tag + a1+ a1q iG,2,3 . nJ, n Sn = az +a1q +a1 + a1q+a1q ”（1 q）Sn =a1 an nai 提取公比q Sn =ai a1（1-qn） q =1 +a1a1q a1qn- +a1q

16、n +q（aa1a1qn-2） +q（ Sn 阿2） 二 0 -q）Sn =ai 创设一个公比为2的等比数列，通过观察等比数列的特点，引导学生思考，如果我 们把每一项都乘以 2,则每一项就变成了它的后一项，在引导学生比较这两个式子的特点， 留出时间让学生充分地比较，让学生发现这两个式子有许多相同的项，自然就会想到把两式 相减，对思考积极的同学及时给予表扬和鼓励，进而老师指出：这就是错位相减法，并要求 学生纵观反思全过程。这样主要是为了让学生经过繁难的计算之苦后，突然发现错位相减法， 不禁惊呼：真是太简洁了！让学生在探索过程中，充分感受到成功的情感体验，从而增强学 习数学的兴趣和学好数学的信心.

17、 3、类比联想，解决问题 这时我再顺势引导学生将结论一般化，对一般的公比为q的等比数列，让学生自主 完成，并喊一名学生上黑板，然后对个别学生进行指导。 设计意图：在教师的指导下，让学生从特殊到一般，从已知到未知，步步深入，让 学生自己探究公式，从而体验到学习的愉快和成就感。在学生推导完成后，我再问 n （1 -q）Sn =a1 -a1qn，能否直接得到 % =印*2 ，这里q能否等于1?（这里引导学 0 - q） 生对q进行分类讨论，得出公式，同时为后面的例题教学打下基础。） 再通过通项公式和首相、 公比的关系，得出前n项和的另外一个公式， 这样通过反 问精讲，一方面使学生加深对知识的认识，完

18、善知识结构，另一方面使学生由简单地模仿和 接受，变为对知识的主动认识，从而进一步提高分析、类比和综合的能力。 本节课有两项主要内容， 等比数列的前n项和公式的推导和等比数列的前n项和公式及应用。等比数列的前 n项和公式的推导是本节课的难点。依据如下： (1) 从认知领域上讲，它在陈述性知识、程序性知识与策略性知识的分类中，属于学生 最高需求层次的掌握策略与方法的策略性知识。 (2) 从学科知识上讲，推导属于学科逻辑中的“瓶颈”，突破这一 “瓶颈”则后面的问 题迎刃而解。 (3) 从心理学上讲，学生对这项学习内容的“熟悉度”不高，原有知识薄弱，不易理解。 这里我讲述的主要是怎样利用多媒体激励、启

19、发学生思维，突破教材难点。 等比数列有两大类：公比 q=1和q H 1两种情形 +aiqn-1=qn) 当 q=1 时，Sn=nai 当 q 工 1 时，Sn=a+aiq+, q Hi时，Sn的结果是怎么推导出来的呢？一本节课的难点就在于此。 预习过课本的学生会知道这个结果以及推导过程，但是他们知其然而不知其所以然，可 以说大部分学生根据他们掌握的知识和经验是难以推出这个公式的。 这时候我们可以首先让学生们进行思考，如果运用数学中“从特殊到一般”的数学思想 方法，能不能向这个结果靠拢呢？ 我们不难得到下述结论： Si=ai, S2=ai+a2=ai+aiq=ai(1+q) 2 S3=ai+a2

20、+a3=ai+aiq+aiq2=ai(1+q+q ) n-1 +q 2 Sn=ai+a2+, +an=ai(1+q+q +, n-ia1( 一 q ) +q ) ( 1-q)/(i-q)=q 这种从特殊到一般，逐步归纳的思想方法很好，是我们解决数学 然后又要指出在现阶段，我们还无法对这个过程进行证明，因 不少同学根据这个式子可能会想到2 ai(1+q+q2+, +qn-1 )= a i(1+q+q2+, 这时我要向学生说明， 问题中经常会运用到的方法。然后又要指出在现阶段，我们还无法对这个过程进行证明， 此它的给出是不严密的。这样不仅让学生再一次体会到数学的最基本特点，严密的逻辑性。 也为将来

21、学习二项式展开的内容打下了伏笔。 此时，仅仅从形式上进行的归纳在现阶段是无法进行系统而严谨的证明的，那我们只能 在思想的过程中另辟蹊径，因此，要通过复习等差数列的求和公式，借助推导等差数列求和 公式的思想方法，来找到推导等比数列的前n项和公式的方法！ 让学生们一起回忆一下等差数列的前n项和公式的推导过程。 可以发现当时我们是将 ai与an，a 2与如，所有与首末等距两项交换位置，得到 Sn的 倒序和的形式。然后两式相加。这样 2Sn就是一个有n项的每一项都是ai+an的常数列。从 而导出了 Sn的公式。 等差数列的求和方法是根据等差数列的特点和根据学生的知识结构和认知水平产生的， 形式上是倒序

22、相加，本质上就是消去数列中项与项之间的差异，构造一个新的各项相同的常 数列，然后根据常数列的和导出Sn的公式来，其本质特征是等差数列从第二项起，每一项 都比前一项多了一个 do 那么等比数列是不是也可以用类似的方法，构造出一个常数列或者部分常数列呢？让学 生亲自去试一试，结果呢？ 这时候学生们很自然的会用倒序相加的方法来进行思考。结果显然是行不通的。 此时教师的主要任务是要让学生的思维迅速发散一一从倒序相加的定势中解脱出来。抓 住学生迫切想解决这个问题的心态，及时地通过媒体进行启发。老师要告诉学生，构造常数 列或者部分常数列的思路是正确的。既然倒序行不通，那么还有没有其它的方式构造常数列 呢？

23、 接着要引导学生从等比数列的定义出发，进一步认识等比数列从第二项起，每一项都是 前一项的q倍，也就是说将每一项乘以q以后就变成了它的后一项，那么将Sn这个和式的 两边同时乘以q，在q Sn这个和式中的第一项就是 Sn的第二项，也就是 Sn和q Sn之间产 生了一个错位。由两个和式能否构造常数列或者部分常数列的和式呢？相加行不行？显然不 行！相减行不行？显然行。 将Sn和q Sn相减后，中间就得到了 n 1项各项都是0的常数列，找到了这个常数列，难点就突破了， Sn 的导出就容易了，导出了 Sn 就基本上达到了本节课的认知目标。 为了加深理解， 这时还应该对等差、 等比两种数列的求和公式的推导过

24、程进行类比和分 析： 两种数列求和的基本思路都是构造常数列， 构造常数列的思想也是其他一些数列求和的 基本思想。等比数列在构造常数列的过程中，采用“错位相减” ，等差数列采用的是“倒序 相加”， 倒序相加本质上也是“错位相加” ，是一种大幅度的“错位相加” ，等比数列只不过 是步幅为1的小幅度的“错位相加”。说明一下，在Sn的和式中，两边同时乘以 q是解决问 题构造常数列的关键所在，是推导等比数列求和公式的一把钥匙。 所以， 这两种数列的求和公式的推导方法，从数学思想和数学方法上来讲是一致的，但 是它们也有差异，即错位的方法不同。正是由于这种差异，教师才有了更大的教学空间。当 教师把学生从“倒

25、序相加”的思维定式中引导出来的时候，学生的数学思维的深刻性、广阔 性等思维品质就得到了提高，思维品质提高了，思维能力也就提高了。这样，这节课的认知 目标和素质目标就基本上都达到了。 推导出公式之后， 对公式的特征要加以说明， 以便学生记忆。 同时还要对公式的另一种表示形式和应用中的注意事项加以说明。 帮 助学生弄清其形式和本质， 明确其内涵和外延， 为灵活运用公式打下 基础。 4、讨论交流，延伸拓展 在此基础上，我提出：探究等比数列前 n项和公式，还有其它方法吗？这样可以激 Sn的 它源 发学生的探索欲望，营造一个让学生主动观察、思考、讨论的氛围，让学生发现关于 一个递推式， 递推数列有非常重

26、要的研究价值， 是研究性学习和课外拓展的极佳资源， 于课本，又高于课本，对学生的思维发展有促进作用。 5、例题讲解 在分析完等比数列的前 n 项和公式后，要趁热打铁，设计几种典型的例子， 对前 n 项和公式的理解和，并学会应用。本节课设置如下两种类型的例题： 1) 等比数列中知三求二的解答题 例：求首项为 2，公比为 2的等比数列的前 8项和以及第 5 项的值。 以及书上的例 4 2) 实际应用题。 例：某制糖厂第 1 年制糖 5 万吨，如果平均每年的产量比上一年增加10%，那么从第 1 年起，约几年内可使总产量达到 30 万吨(保留到个位) ? 这样设置主要依据： (1) 例题与大纲中规定的教学目标与任务及本节课的重点、难点有相对应的匹配关系。 (2) 遵循巩固性原则和传授反馈再传授的教学系统的思想确立这样的例题。 (3) 应用题比较切合对智力技能进行检测，有利于数学能力的提高。同时，它可以使学 生在后半程学习中保持兴趣的持续性和学习的主动性。 让学生深化 6、归纳小结 提问学生