第21炼多元不等式的证明

1、第 21 炼 多元不等式的证明多元不等式的证明是导数综合题的一个难点，其困难之处如何构造合适的一元函数，本章节以一些习题为例介绍常用的处理方法。一、基础知识1、在处理多元不等式时起码要做好以下准备工作：（ 1）利用条件粗略确定变量的取值范围（ 2）处理好相关函数的分析（单调性，奇偶性等），以备使用2、若多元不等式是一个轮换对称式（轮换对称式：一个n 元代数式，如果交换任意两个字母的位置后，代数式不变，则称这个代数式为轮换对称式），则可对变量进行定序3、证明多元不等式通常的方法有两个（ 1）消元： 利用条件代入消元 不等式变形后对某多元表达式进行整体换元（ 2）变量分离后若结构相同，则可将相同的

2、结构构造一个函数，进而通过函数的单调性与自变量大小来证明不等式（ 3）利用函数的单调性将自变量的不等关系转化为函数值的不等关系，再寻找方法。二、典型例题：例 1：已知 fxln x, g ( x)fxax2bx ，其中 g x 图像在1,g 1处的切线平行于 x 轴（1）确定 a 与 b 的关系（ 2） 设 斜 率 为 k 的 直 线 与 fx 的 图 像 交 于 A x1, y1 , B x2, y2x1x2， 求 证 ：1 1kx2x1解：（ 1） gxln xax2bxgx12 a x，b依题意可得：xg 112ab0b2a 1（2）思路： ky2y1ln x2ln x1 ，所证不等式为

3、1ln x2ln x11x2x1x2x1x2x2x1x1即 x2x1ln x2x2x1，进而可将 x2视为一个整体进行换元，从而转变为证明一元不x2x1x1x1等式解：依题意得 ky2y1ln x2ln x1，故所证不等式等价于：x2x1x2x11ln x2ln x11x2 x1ln x2x2x11x1ln x2x21x2x2x1x1x2x1x1x2x1x1令 tx2 ,( t1) ，则只需证： 11ln tt1x1t先证右边不等式：ln tt1ln tt10令 h xln t t 1 h t1 11 ttth t在 1,单调递减hth 10即 ln tt 10对于左边不等式：1 1ln tl

4、n t110tt令 p(t)ln t11 ，则 pt11t1ttt 2t2p t 在 1，+单调递增ptp 10小炼有话说：（ 1）在证明不等式1ln x2ln x11 时，由于 x1 , x2 独立取值，无法利用等量关系消x2x2x1x1去一个变量， 所以考虑构造表达式fx1, x2：使得不等式以fx1, x2为研究对象， 再利用换元将多元不等式转变为一元不等式（2）所证不等式为轮换对称式时，若x1, x2 独立取值，可对x1, x2 定序，从而增加一个可操作的条件例 2：已知函数 fxx ln x （1）求 f ( x) 的单调区间和极值；（ 2）设 A x1, fx1 , B x2, f

5、 x2，且 xx ，证明：f x2f x1f x1x212x2x12解：（1）定义域为0,f xln x1令 f x 0 解得： x 1 e fx的单调增区间是1,，单调减区间是0, 1eefx的极小值为 f11 ln 11 ，无极大值eeee（2）思路：所证不等式等价于证x2 ln x2x1 ln x1ln x1x21，轮换对称式可设x1x2 ，x2x12进而对不等式进行变形，在考虑能否换元减少变量证明：不妨设 x1x2kABf ( x1x2 )x2 ln x2x1 ln x1ln x1x212x2x12x2 ln x2x1 ln x1x2 ln x1x2x1 ln x1x2x2x1（由于定

6、序 x1x2 ，去分母避免了22分类讨论）x2 ln2x2x1ln2x1x2x1（观察两边同时除以x1 ，即可构造出关于x2 的不等式）x1x2x1x2x12x2两边同除以 x 得， x2 lnx1ln2x21令x2t，则 t 1，1x1x2x2x1x1111x1x1即证： t ln 2tln2t11t1t令 g(t)t ln2tln2t11 t1tg (t)ln 2tt 1t21t21ln 2t1 tln(1t 1)t11 t2t (1 t) 22(1 t )21 t 1 tt 1t 1令 t1m m0， h mln 1mm（再次利用整体换元）t1h m1m1m0 ， h m在 0,上单调递

7、减，所以h mh 0011 mt1)t1即 ln1mm ，即 g (t )ln(10恒成立t1t1 g(t) 在 (1,) 上是减函数，所以g(t)g(1)02tln2 t lnt 1得证1 t1t所以 kABf ( x1x2 ) 成立2小炼有话说：（ 1）本题考验不等式的变形，对于不等式2x22x1x2x1 而言，观察x2 lnx1 lnx1 x2x1 x2到每一项具备齐次的特征（不包括对数），所以同除以 x1，结果为 x2或者 1，观察对数的真x1数，其分式也具备分子分母齐次的特点，所以分子分母同除以x1 ，结果为 x2或者 1，进而x1就将不等式化为以x2 为核心的不等式x1（2）本题进

8、行了两次整体换元，第一次减少变量个数，第二次简化了表达式例 3：已知函数f ( x)ex1 x2ax （ aR ）2（1）若函数 fx在 R 上是增函数，求实数 a 的取值范围；（ 2）如果函数 gxfxa1x2 恰有两个不同的极值点x1, x2 ,2证明：x1x2ln 2a 2解：（1）f x是 R 上是增函数xR, f xexx a0(注意：单调递增导数值0 ）a ex x min设 h x exx hx ex1令 hx0 解得 x0故 hx 在,0单调递减，在0，+单调递增hx minh 01a1（ 2）思路： gxfxa1 x 2exax 2ax ， g xex2ax a 。所证不2等

9、式含有ex12ax1a03 个字母，考虑利用条件减少变量个数。 由 x1, x2 为极值点可得ex22ax2a0从而可用 x1, x2 表示 a ，简化所证不等式。解：依题意可得：g xf xa1 x 2exax 2ax ， g x ex2ax a2x1 , x2 是极值点gx10ex12ax1a0两式相减可得：ex1ex2gex22ax202ax2a0x1x2x1x2exxx1x2xx所证不等式等价于：ln1e2ee 1e22x1 x22x1，不妨设 x1 x2x2两边同除以 e可得： ex1 x2xx，x22e 121（此为关键步骤：观察指数幂的特点以及分式的分母，化x1x2不同为相同，同

10、除以ex2 使得多项呈 x1x2 的形式）从而考虑换元减少变量个数。令tx1x2t0,tet1tet +10 ，设 p xtet所证不等式只需证明：e2te2te21tp xttte2e212ttp x由（ 2）证明可得： e21002p t在 0，+单调递减，p tp 00证明完毕原不等式成立即x1x2ln 2a2小炼有话说：本题第（3）问在处理时首先用好极值点的条件，利用导数值等于0 的等式消去 a ，进而使所证不等式变量个数减少。最大的亮点在于对x1x2ln ex1ex2的处理，2x1x2此时对数部分无法再做变形，两边取指数， 而后同除以 ex2，使得不等式的左右都是以x1 x2为整体的

11、表达式，再利用整体换元转化为一元不等式。例 4：已知fxa1 ln xax21（1）讨论fx 的单调性（ 2）设 a2 ，求证：x1 , x20, fx1fx24 x1x2解：（ 1）定义域x0f xa1 2ax2ax2a1令 f x0 ，即xx2ax2a102ax2a1 a0则 f x0恒成立，fx为增函数 a0则 x2a1x0 恒成立， fx 为增函数， f 2a a0 时， x2a 12a当 a1 ，则 f x0 恒成立，fx 为减函数当 1a0时，解得： 0xa12ax0,a1a 1,2a2af xfx（2）思路：所证不等式fx1fx24 x1x2含绝对值，所以考虑能否去掉绝对值，由（

12、 1）问可知 fx 单调递减，故只需知道 x1, x2 的大小即可，观察所证不等式为轮换对称式 ， 且 x1, x2任 取， 进而 可定序x2x1 ， 所证 不等 式 f x2 f x14x24x1 ， 即f x24x2fx 14x 1，发现不等式两侧为关于x1 , x2 的同构式，故可以将同构式构造一个函数，从而证明新函数的单调性即可。解：不妨设 x2x1 ，a2 ，所以由第（ 1）问可得 f x 单调递减，f x2f x1所 证 不 等 式 等 价 于 ： f x1f x24 x2 4 x1f 1x 4 1x f 2x 4 ，2x 令gxfx4 xa 1 lnx21 4，x只需证明 gx

13、单调递减即可axgxa12ax 42ax 24xa1。xx设 h x 2ax2 4x a 1方程 h x01 61 a6a11 6a2a10h x0gx0g x在 0,单调递减。g x1g x2即所证不等式成立小炼有话说： 同构式以看作是将不同的变量放入了同一个表达式，从而可将这个表达式视为一个函数， 表达式的大小与变量大小之间的关系靠函数的单调性进行联结。将不等式转化为函数单调性的问题。双变量的同构式在不等式中并不常遇到，且遇且珍惜。例 5：已知函数fx2ln xx 2ax .（1）当 a3 时，讨论函数 yfx 在1 ,上的单调性；2（ 2）如果 x , x2x1x是函数 fx 的两个零点

14、，f x为函数 fx 的导数，证明：12f x1 2 x203解：（ 1） f x22xa可判断 f x 在 1 ,单调递减x2f xf 14 1 a 3 a 02fx 在1 ,单调递减2（2）思路： f x22xa 可得： f x12x262x1 2x2 a ，含有x3x12x23三个字母，考虑利用条件减少字母的个数。由fx1fx20 可得：2ln x12ax102lnx2x1x1, x2 表示 a , 即 ax1x2x1 , 代入可得：x22两式相减便可用2ln x2ax20x2x1x12 x2612lnx26 x2x1x21fx2x1x12lnx2x123x12x23x2x1x12x2x

15、13从而考虑换元法将多元解析式转变为一元解析式进行证明解： f x12x2x162 x12x2a32 x23x1 , x2x1x2 是函数 fx的两个零点fx12ln x12ax102lnx2x1ax1x2x1fx22ln x2x22ax20x2x12lnx2f x12x262 x16x11 x22 x2ax1x2x13x12x232 x2x131x2x10232lnx23x216x16 x2x1x2x1x2只需证00ln0x12 x2x2x1x12x22lnx2x1x112x1，令 tx2 , t1,x1则设 ht3t 1ln t下面证 h t012th10, h tt14t21t1,ht0

16、恒成立t2t 1h t在 1,单调递减，h th 10 即 f x12 x203小炼有话说：（1）体会在用x1, x2 表示 a 时为什么要用两个方程，而不是只用2ln x1x12ax10 来表示 a ?如果只用 x1 或 x2 进行表示，则 ln x1 很难处理，用 x1, x2 两个变量表示a ，在代入的时候有项 ln x2 ，即可以考虑利用换元法代替x2 , 这也体现出双变量换元时在结构上要求“平x1x1衡”的特点2lnx2（2）在 f x12x26x2x11 x2x1 这一步中，对1x2 x1 项的处3x1 2x2x133理可圈可点，第三问的目的落在判断f x12x2的符号，而1 x2

17、x1符号为负，且33在解析式中地位多余 （难以化成 x2 ) ，所以单拿出来判断符号，从而使讨论的式子得到简化x1且能表示为x2 的表达式x1例 6：（ 2010 年天津， 21）已知函数fxxe x（1）求函数fx 的单调区间和极值（2）已知函数yg x 的图像与函数yfx 的图像关于 x1 对称，证明当x1时，f xg x（ 3）如果 x1x2 ，且 fx1f x2 ，求证： x1x2 2解：（ 1） f xxe xe x1 x e x令 f x0x1f x的单调区间为：x,11,f xfxfx的极大值为 f 11，无极小值e（2）解：与 fx关于 x1 轴对称的函数为 f 2xgxf2x

18、2x ex 2所证不等式等价于证：xe xx 2 ex 20 设 h x xe xx 2 ex 2h 1 0h xxe xe xex 2x 2 ex 2x 1 ex 2e xe xx1e2 x21x 1e2x 21 0h x 0h x在 1,单调递增hxh 10即 fxg x（3）思路：所给条件fx1fx2x1e x1x2e x2 ，但很难与 x1x22 找到联系。首先考虑 x1, x2 的范围， 由（ 1）可得 x1 是极值点，fx1fx2x1 , x2 应在 x 1的两侧，观察已知和求证均为x1, x2 的轮换对称式，所以可设x1x2 ，进而x11 x2 ，既然无法直接从条件找联系，不妨从

19、另一个角度尝试。已知条件给的是函数值，所证不等式是关于自变量的， x1x22x12x2 ，而 2x21，根据 fx的单调区间可发现2 x2 , x1 同在单调递增区间中，进而与函数值找到联系x12x2fx1f 2 x2由 fx1fx2可得所证不等式等价于fx2f2x2 ，刚好使用第二问的结论。解：fx1fx2 ， x1是极值点x1 , x2 在 x1 的两侧，不妨设x11x2所证不等式等价于x12x2而2x21fx在,1 单调递增x12 x2f x1f 2 x2f x1f x2只需证明 fx2f2x2x21由第（ 2）问可得fx2g x2f2x2成立x1x2 2 得证小炼有话说：（ 1）本题第

20、（ 3）问是利用函数的单调性，将自变量的不等式转化为函数值的不等关系， 进而与前面问题找到联系。在处理此类问题感到无法入手时，不妨在确定变量的范围后适当将其赋予一个函数背景，扩展不等式变形的空间（2）本题第（ 2（） 3）两问存在图形背景。 首先说第三问： 所证不等式 x1 x2 2x1x212，即证 xx1 , xx2 的中点横坐标大于 1，而 x1恰好是 f x 的极值点。 fx1f x2可理解为 fxx1x21说明什么？ 说明如果是以极大值点与一条水平线交于 x1 , x2 ，而2x 1 为起点向两边走，左边下降的快而右边下降的慢！从函数角度来看说明fx 增长快下降慢 （如图）。那么如何

21、使用代数方法说明函数快增长慢下降的特点呢？本题的第二问提供了一个方法，就是以极值点所在竖直线为对称轴，找fx 的对称图形（虚线） ，这样便把极值点左边的情况对称到右边来（即g x ），由于对称轴右边都是从 x1起开始下降，那么通过证明对称轴右侧原图像在对称图像的上方即可说明增减的相对快慢。例 7：已知函数 fx1aln x , aRx（1）求 f x 的极值（2）若 ln xkx0对任意的 x0 均成立，求 k 的取值范围（3）已知 x10, x20 且 x1x2e ，求证： x1x2x1 x2解：（ 1） f xaln x令 f x0 解得 xeax2fx 在 0, ea单调增，在ea ,单

22、调递减fx 有极大值 feae a ，无极小值（2） ln xkx0kln x( 参变分离法）xkln x设 g xln x( 即 a1 时的 f x )xxmaxgx maxg e1k1ee（3）思路：所求证不等式x1x2x1 x2 无法直接变形，联系f x , g x 的特点可以考虑不等式两边取对数，即x1x2x1 x2ln x1x2ln x1ln x2 ，由 x1 0, x2 0 且x1x2e 可 得 x1, x20,e ， 联 系 第 （ 2 ） 问 的 函 数 g x即 可 寻 找 ln x1,ln x2 与ln x1x2 的联系了。解：x10, x2 0 ， x1 x2ex1, x

23、20,e考虑 gxln x在 0,e单调递增xg x1g x1x2ln x1ln x1x2x1 ln x1x2x1x1x2ln x1x1x2同理：gx2gx1 x2ln x2ln x1x2ln x2x2 ln x1x2x2x1x2x1x2ln x1ln x2x1 ln x1x2x2 ln x1x2ln x1x2x1x2x1x2即 ln x1x2ln x1 x2x1x2x1x2例 8：已知函数g xln xbx（1）函数 g x有两个不同的零点x1 , x2 ，求实数 b 的取值范围（2）在（ 1）的条件下，求证：x1 x2e2解：（ 1） gx有两个不同的零点x1, x2 ，即 ln xbx0

24、有两个不同的根bln x设 fxln xxx1ln xf x令 f x0 可得：1ln x0xex2fx在0,e单调递减，在e,单调递增且 x时， f x0 ， fe1eb 1 ,0 e（ 2）思路一：所证不等式中含有两个变量x1, x2 ，考虑利用条件消元将其转化为一元不等式，ln x1bx10x1x2 ，即 ln x1x2b x1 x2 ，下面只需用由零点可知bx2，从中可以找到ln x20ln x2x1, x2 将 b 消 掉 即 可 ， 仍 然 利 用 方 程 组 两 式 作 差 可 得 bx1， 从 而x1x2x1x2ln x2x1x2ln x2ln x1 x2x1x1，只需证明x1x12 ，两边同除以 x1 ，即可利用换元x2x2将所证不等式转为一元不等式来进行证明解：不妨设 x