高三数学二轮备考练习题 (196)

1、课时跟踪训练(四十五)一、选择题1已知向量a(2，3,1)，b(2,0,4)，c(4，6,2)，则下列结论正确的是()Aac，bc Bab，acCac，ab D以上都不对解析：c(4，6,2)2(2，3,1)，ac.又ab22(3)0140，ab.答案：C2(2014湖南长沙模拟)已知向量m，n分别是直线l和平面的方向向量和法向量，若cosm，n，则l与所成的角为()A30 B60 C120 D150解析：由于cosm，n，m，n120，所以直线l与所成的角为30.答案：A3已知两平面的法向量分别为m(0,1,0)，n(0,1,1)，则两平面所成的二面角为()A45 B135C45或135 D

2、90解析：cosm，n，即m，n45.两平面所成二面角为45或18045135.答案：C4. (2014浙江舟山月考)平行六面体ABCDA1B1C1D1中，向量，两两的夹角均为60，且|1，|2，|3，则|等于()A5 B6 C4 D8解析：设a，b，c，则abc，2a2b2c22ab2bc2ca25，因此|5，故选A.答案：A5如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线NO、AM的位置关系是()A平行 B相交C异面垂直 D异面不垂直解析：建立坐标系如图，设正方体的棱长为2，则A(2,0,0)，M(0,0,1)，O(

3、1,1,0)，N(2,1,2)，(1,0，2)，(2,0,1)，0，则直线NO、AM的位置关系是异面垂直答案：C6已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于()A. B. C. D.解析：建立如图所示的空间直角坐标系，设AA12AB2，则B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，C1(0,1,2)，故(1,1,0)，(0,1,2)，(0,1,0)设平面BDC1的法向量为n(x，y，z)，则即令z1，则y2，x2，所以平面BDC1的一个法向量为n(2，2,1)设直线CD与平面BDC1所成的角为，则sin |cosn，|.故选A.答案：

4、A7(2014河北石家庄模拟)在正三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB2，CC1，则异面直线AB1和BC1所成角的正弦值为()A1 B. C. D.解析：取线段A1B1，AB的中点分别为O，D，则OC1平面ABB1A1，可以以，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，则A(1,0，)，B1(1,0,0)，B(1,0，)，C1(0，0)，(2,0，)，(1，)，因为(2,0，)(1，)0，所以，即异面直线AB1和BC1所成角为直角，则其正弦值为1.故选A.答案：A8(2014四川卷)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点O为线段BD的中点设点P在线段CC1上，直线OP

5、与平面A1BD所成的角为，则sin的取值范围是()A. B.C. D.解析：以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示不妨设DCDADD11，则D(0,0,0)，B(1,1,0)，A1(1,0,1)，O，并设点P(0,1，t)且0t1.则，(1,0，1)，(0,1，1)设平面A1BD的法向量为n(x0，y0，z0)，则有即取x01，y01，z01，n(1，1，1)sin|cos，n|(0t1)，sin2，0t1.令f(t)，0t1.则f(t)，可知当t时，f(t)0；当t时，f(t)0.又f(0)，f1，f(1)，f(t)maxf1，f(t)

6、minf(0).sin的最大值为1，最小值为.sin的取值范围为.答案：B二、填空题9若向量a(1，2)，b(2，1,2)且a与b的夹角的余弦值为，则_.解析：由已知得，83(6)，解得2或.答案：2或10正四棱锥SABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SOOD，则直线BC与平面PAC所成的角是_解析：如图所示，以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz.设ODSOOAOBOCa，则A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(a,0,0)，P.则(2a,0,0)，(a，a,0)设平面PAC的法向量为n，可求得n(0,1,1)，则cos，n.，n60，直线BC与平面PAC所成的角为90

7、6030.答案：3011正方体ABCDA1B1C1D1中，二面角ABD1B1的大小为_解析：建系如图设A(1,0,0)，D1(0,0,1)，B(1,1,0)，B1(1,1,1)C(0,1,0)则(1,1,0)为平面BB1D1的一个法向量设n(x，y，z)为平面ABD1的一个法向量则n0，n0.又(1,0,1)，(0,1,0)，令x1，则z1，cos，n，n120，即二面角ABD1B1的大小为120.答案：120三、解答题12(2014大连双基测试)已知三棱柱ABCABC中，平面BCCB底面ABC，BBAC，底面ABC是边长为2的等边三角形，AA3，E，F分别在棱AA，CC上，且AECF2.(1

8、)求证：BB底面ABC；(2)在棱AB上找一点M，使得CM平面BEF，并给出证明解：(1)证明：如图，取BC中点O，连接AO，因为三角形ABC是等边三角形，所以AOBC，又平面BCCB底面ABC，AO平面ABC，平面BCCB平面ABCBC，所以AO平面BCCB，又BB平面BCCB，所以AOBB.又BBAC，AOACA，AO平面ABC，AC平面ABC，所以BB底面ABC.(2)如图，显然M不是A，B，棱AB上若存在一点M，使得CM平面BEF，过M作MNAA交BE于N，连接FN，MC，所以MNCF，即CM和FN共面，所以CMFN，所以四边形CMNF为平行四边形，所以MN2，所以MN是梯形ABBE的

9、中位线，M为AB的中点13(2014武汉调研)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，ABAC，AA13，D是BC的中点，点E在棱BB1上运动(1)证明：ADC1E；(2)当异面直线AC，C1E所成的角为60时，求三棱锥C1A1B1E的体积解：(1)ABAC，D是BC的中点，ADBC.又在直三棱柱ABCA1B1C1中，BB1平面ABC，AD平面ABC，ADBB1.由，得AD平面BB1C1C.由点E在棱BB1上运动，得C1E平面BB1C1C，ADC1E.(2)ACA1C1，A1C1E是异面直线AC，C1E所成的角，由题设，A1C1E60.B1A1C1BAC90，A1C1A1B1，又AA

10、1A1C1，从而A1C1平面A1ABB1，于是A1C1A1E.故C1E2，又B1C12，B1E2.从而V三棱锥C1A1B1ESA1B1EA1C12.14(2014皖南八校联考)如图，已知ABCD是正方形，直线AE平面ABCD，且ABAE1.(1)求二面角ACED的大小；(2)设P为棱DE的中点，在ABE的内部或边上是否存在一点H，使PH平面ACE，若存在，求出点H的位置，若不存在，说明理由解：(1)如图，连接BD交AC于O，则DO平面ACE，作OMCE于M，连接DM，则OMD就是二面角ACED的平面角sinOMD，OMD60，二面角ACED为60.(2)如图，存在BE的中点H，使PH平面ACE

11、.PH是BDE的中位线，则PHBD，而BD平面ACE，故PH平面ACE.15(2014辽宁卷)如图，ABC和BCD所在平面互相垂直，且ABBCBD2，ABCDBC120，E，F分别为AC，DC的中点(1)求证：EFBC；(2)求二面角EBFC的正弦值解：(1)证明：证法一：过E作EOBC，垂足为O，连接OF，由ABCDBC可证出EOCFOC.所以EOCFOC，即FOBC.又EOBC，因此BC面EFO.又EF面EFO，所以EFBC.图1图2证法二：由题意，以B为坐标原点，在平面DBC内过B作垂直BC的直线为x轴，BC所在直线为y轴，在平面ABC内过B作垂直BC的直线为z轴，建立如图2所示空间直角

12、坐标系易得B(0,0,0)，A(0，1，)，D(，1,0)，C(0,2,0)，因而E，F，所以，(0,2,0)，因此0.从而，所以EFBC.(2)解法一：在图1中，过O作OGBF，垂足为G，连接EG.由平面ABC平面BDC，从而EO面BDC.又OGBF，由三垂线定理知EGBF.因此EGO为二面角EBFC的平面角在EOC中，EOECBCcos30，由BGOBFC知，OGFC，因此tanEGO2.从而sinEGO，即二面角EBFC正弦值为.解法二：在图2中，平面BFC的一个法向量为n1(0,0,1)设平面BEF的法向量n2(x，y，z)又，.由得其中一个n2(1，1)设二面角EBFC大小为，且由题

13、意知为锐角，则cos|cosn1，n2| .因此sin，即所求二面角正弦值为.热点预测16(2015绵阳诊断)如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，ADC90，AE平面ABCD，EFCD，BCCDAEEFAD1.(1)求证：CE平面ABF；(2)求证：BEAF；(3)在直线BC上是否存在点M，使二面角EMDA的大小为？若存在，求出CM的长；若不存在，请说明理由解：(1)证明：如图，作FGEA，AGEF，连接EG交AF于H，连接BH，BG，EFCD且EFAG，AGCD，即点G在平面ABCD内由AE平面ABCD知AEAG，又AGEF，AEFG，四边形AEFG为正方形，四边形CDAG为平行四边形，H为EG的中点，B为CG的中点，BHCE，CE平面ABF.(2)证明：在平行四边形CDAG中，ADC90，BGAG.又由AE平面ABCD知AEBG，BG平面AEFG，BGAF.又AFEG，AF平面BGE，AFBE.(3)