2.2直接证明与间接证明

1、2.2直接证明与间接证明第6页共4页2.2.1综合法与分析法1.综合法教学要求：结合已经学过的数学实例，解分析法和综合法的思考过程、特点教学重点：会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程.教学难点：根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法 教学过程：一、复习准备：了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法;1 11.已知 “若a1,aR,且a1 +a2 =1，则一+ 4”试请此结论推广猜想. a1 a21 1(答案：若 a1,a2an 亡 R +,且+ a n2)an1112.已知 a,b,c壬 R +, a+b + c =1，求证：一+ - 9.a b c先完成证明 7

2、讨论：证明过程有什么特点？二、讲授新课：1.教学例题： 直接证明：聪明提的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理， 常用的直接证明方法有综合法与分析法。直接推证结论的真实性。例1：已知a, b, c是不全相等的正数，求证: 分析： ,a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) 6abc.:运用什么知识来解决？(基本不等式) 板演证明过程(注意等号的处理)7讨论：证明形式的特点综合法：禾U用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后 推导出所要证明的结论成立.(P m怕:卩Hun世刃框图表示：要点：顺推证法；由因导果 .a、2.练习：已知a

3、, b, c是全不相等的正实数，求证 b十c-a + a+c-b +a + b-c沁.abC例2:在 ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c,且A、B、C成等差数列， b、c成等比数列.求证：为 ABC等边三角形.分析：从哪些已知，可以得到什么结论？如何转化三角形中边角关系？7板演证明过程7讨论：证明过程的特点.7小结：文字语言转化为符号语言；边角关系的转化；挖掘题中的隐含条件(内角和) 练习：A, B 为锐角，且 tanA + tanB+J tanA taB=J 3 求证： A + 6.(提示：算 tan( A+B)3.114已知a Ab AC,求证：+丄.a-b b-c a-c

4、小结：综合法是从已知的 P出发，得到一系列的结论 Q,Q2,，直到最后的结论是 Q.运用综合法可以解决不等式、数列、三角、几何、数论等相关证明问题.三、巩固练习：求证：对于任意角0, COS4 0Si n40=cos2日.（教材P52练习1题）（两人板演 7订正 7小结：运用三角公式进行三角变换、思维过程）113+= a +b b +c a +b + c1.2.MBC的三个内角 A,B,C成等差数列，求证:3.作业：教材P54A组1题.2.分析法教学要求：结合已经学过的数学实例， 了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法; 解分析法和综合法的思考过程、特点.教学重点：会用分析法证明问题；了解

5、分析法的思考过程 .教学难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法.教学过程：一、复习准备：1. 提问：基本不等式的形式？2.讨论：如何证明基本不等式a + b ,；Jab （a AO,b 0）.2（讨论 7板演7分析思维特点：从结论出发，一步步探求结论成立的充分条件）二、讲授新课：1.教学例题： 例 3：求证 73+75 72+76.讨论：能用综合法证明吗？7如何从结论出发，寻找结论成立的充分条件？7板演证明过程（注意格式）7 再讨论：能用综合法证明吗？7比较：两种证法 提出分析法：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证 明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件

6、、定理、定义、公理等）为止框图表示：址空生丿要点：逆推证法；执果索因.1 1 练习：设 x 0, y 0,证明不等式：（X2 +y2f :（X3 +y3）3.先讨论方法 7分别运用分析法、综合法证明. 例4：见教材P48. 讨论：如何寻找证明思路？（从结论出发，逐步反推） 例5：见教材P49. 讨论：如何寻找证明思路？（从结论与已知出发，逐步探求）2. 练习：证明：通过水管放水，当流速相等时，如果水管截面（指横截面）的周长相等, 那么截面的圆的水管比截面是正方形的水管流量大.提示：设截面周长为I，则周长为I的圆的半径为 -截面积为兀（丄）2，周长为I的正I12方形边长为寸，截面积为（寸）2，问

7、题只需证：3.小结：分析法由要证明的结论 Q思考，一步步探求得到 所有的已知P都成立；2兀e)2兀（+）2Q所需要的已知P,P2,i，直到比较好的证法是：用分析法去思考，寻找证题途径，用综合法进行书写；或者联合使用分析法与综合法，即从“欲知”想“需知” 份析），从“已知”推“可知”（综合），双管齐 下，两面夹击，逐步缩小条件与结论之间的距离，找到沟通已知条件和结论的途径.（框图示意）三、巩固练习：1.设a, b, c是的 ABC三边，S是三角形的面积，求证： c a b +4ab4j3s. 略证：正弦、余弦定理代入得：/abcosC+4ab273absinC ,即证：2-cosC2j3sinC

8、，即：J3sinC+ cosC2，即证：sin（c + 壬）b0,那么7a7b 反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立 .反证法可以分为归谬反证法 （结论的反面只有一种）与穷举反证 法（结论的反面不只一种）。证明基本步骤：（反设） 7（归谬）7（结论） 反设是反证法的基础，必要的，例如：是/不是；了解间接证明的一种基本方法一一反证法；了解反证法的思了解间接证明的一种基本方法反证法；了解反证法的思培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的（原因：偶次）A、 B、 C 不D假设原命题的结论不成立从假设出发，经推理论证得到矛

9、盾矛盾的原因是假设不成立，从而原命题的结论成立为了正确地做出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于;大（小）于/不大（小）于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有（n 一 1）个； 至多有一个/至少有两个；唯一 /至少有两个。归谬是反证法的关键， 导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发， 否则推导将成为无源之水，无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾； 与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。方法实质：反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，即由一

10、个命题与其逆否命题同真假，通过证明一个命题的逆否命题的正确，从而肯定原命题真实.2. 教学例题： 例1:求证圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分.分析：如何否定结论？7如何从假设出发进行推理？7得到怎样的矛盾？与教材不同的证法：反设AB、CD被P平分， P不是圆心，连结 0P,则由垂径定理：0P丄AB, 0P丄CD ,则过P有两条直线与 0P垂直（矛盾），不被P平分. 例2:求证 灵是无理数.（同上分析 7 板演证明，提示：有理数可表示为m/n ）证：假设寸3是有理数，则不妨设 = m/n （m,n为互质正整数），从而：（m/n）2 =3 , m2=3n2，可见m是3的倍数.设m=3p （p是正整数），贝y 3n2 =m2 =9p2，可见n也是3的倍数.这样，m, n就不是互质的正整数（矛盾）.73 = m/n不可能，二J3是无理数. 练习：如果a +1为无理数，求证 a是无理数.提示：假设a为有理数，则a可表示为p/q （ p,q为整数），即a = p/q .由a +1 =（ p + q）