参数方程应用总结

1、参数方程应用专题1、圆的参数方程的应用 圆(xa)2b)2=R2的参数方程为r：RC：(为参数)、求最值P(x, y为圆上一点(1)求Ax2 + Bxy +Cy2的最值(2)求Ax + By的最值2 2(3) A,B为定点，求PA +PB的最值。例1已知点P (X, y)在圆x2 + y2 =1 上,(1)求X2+2xy + 3y2的最大值和最小值。(2)求2x + y的最值2 2 2 2(3)点A(1,2 和B(1,0 和 C(1,4 及D(2,0 求 PA +|PB| +| PC + PD| 的最值。练习1、已知实数x, y满足(X -1 丫 +(y -2)2 =25，求x2 + y2,2

2、x+ y的最值。2、在 ABC中，/ A, / B, / C所对的边分别为a、b、c ,且cos A _ b _ 4c=10, cosB a 3 ,卩为 ABC的内切圆的动点，求点P到顶点A、B、C的 距离的平方和的最大值和最小值。13二、求轨迹两个动点B、C,且A、B、C按逆时针方向排列,例2在圆x? +y2 =4上有定点A (2,0),及/ BAC=-，求 ABC的重心G (X, y)的轨迹3方程。三、求范围例3已知点P (X，y)是圆x?+ (y_l)2=i上任意一点，欲使不等式 x+y+c 0恒成立，求c的取值范围。四、求斜率(2,1)例4求函数宓 的最大值和最 小值。2、椭圆的参数方

3、程的应用2 2y a b計1的参数方程为fy：ac：(为参数)、求椭圆的内接多边形的周长及面积例1求椭圆X2a2的内接矩形的面积及周长的最大值。二、求轨迹例2 已知点在椭圆2 2+厶=1上运动，点B(0，9)、点M在线段AB14436上，且AMUMB 2试求动点M的轨迹方程。三、求最值P(X,Y)为椭圆上一点(1)求Ax2 + Bxy +Cy2的最值(2)求Ax + By的最值 (3) P(x,y)为椭圆上一点，A,B为定点，求PA? + PB 2的最值。(4 A为椭圆外一定点，求椭 圆上与A距离最值，和A点的坐标。已知直线I : Ax + By+ C =0,求椭圆上的点到直线I的距离的最值。

4、2 2设点P(x，y)在椭圆計L1，(1)(2)已知A (6,8),求PA的最值。(3)求2x+3y的最值。试求点P到直线X +y _5 =0的距离d的最大值和最小值。2 2 2 2已知 A(1,2B(-1,-2p(1,-2D(-1,2 求 PA +PB + PC + PD 的最值。例1、设P(X, y)是椭圆 的取值范围。2x2 +3y2 =12上的一个动点，求例2、在椭圆X + 2 y - 102X90的距离最小，并求出最小距离M，使点 M到直线3、已知椭圆2 24动点P(x,y)在曲线一+壬=1上变化，求2x+3y的最大值和最小值945设P是椭圆2X2 +3y2 =12上的一个动点，则X

5、 +2y的最大值是，最小值是。2 26, y+L1上一点P与定点(1, 0)之间距离的最小值7,设直线l:x+2y-2=0，交椭圆C2 2舒于A、B两点，在椭圆C上找一点P,使 MBP面积最大。3,直线的参数方程丨 X = X 0 +1 COSa过定点M 0（X0, y。）、倾斜角为a的直线I的参数方程为（t为参数）ly = y0 +t S inot(1)的几何意义是直线上点 M到M0的距离。（2）若t=0,则点颯与点M重合.由此，易得参数t具有如下 的性质：若直线l上两点A、B所对应的参数分别为tat，则性质一：A、B两点之间的距离为I AB |=|tA -tB |，特别地，A、B两点到M

6、0的距离分别为 |tAl，|tB |.性质二：A、B两点的中点所对应的参数为若Mo是线段AB的中点，贝y tA+tB = 0,反之亦然。求定点到过定点的直线与其它曲线的交点的距离71例1.设直线1经过点M0 （1,5）,倾斜角为3 ,1）求直线】和直线书二0 的交点到点那0的距离；2）求直线/和圆F+h =16的两个交点到点他的距离的和与积.二求直线与曲线相交的弦长2 d2.例2过抛物线y二皱的焦点作斜角为4的直线与抛物线交于A B两点，求|AB|.例3已知直线L:x+y-1=0与抛物线y=F交于A，B两点，求线段AB的长和点M(-1,2)到 A，B两点的距离之积.点评:本题的解答中，为了将普

7、通方程化为参数方程，先判定点M(-1,2)在直线上，并求出直线的倾斜角，这样才能用参数t的几何意义求相应的距离.这样的求法比用普通方程求出交 点坐标，再用距离公式求交点距离简便一些.三、求解中点问题例1,已知经过点P(2,0)，斜率为3的直线和抛物线 b=2x相交于A，B两点,设线段AB 的中点为M,求点M的坐标.点评:在直线的参数方程中，当t0，则 胚4的方向向上：当t/279.下表是一条直线上的点和对应参数的统计值根据数据，可知直线的参数方程为的弦长为 练习二、1、如果实数X, y满足X2 + y2 -4x +1 = 0，求(1的最大值。(2y-x的最小值。y2、已知 P(X, y 是圆

8、X2 + y2-6x4y+12 = 0上的一点，求(1 X2 + y2的最值。(2 X + y的最值。(3点P到直线x中y -1 = 0的距离d的最值。3、设P(x, y是X2 + y2 = 2 y上的动点(1求2x+y的取值范围。(2k + y+ c0恒成立，求c的取值范围。2 24、课本原题 在椭圆X +y =1上求一点M,使M到直线x+2y-10=0的距离最小,94并求出最小距离。5、实数X, y满足3x2+4y2 =12，则2x + V3y的最大值为2 26、已知实数x，y满足才話,求z*2y最值2 27、求椭圆+”上的点到直线x+2y亠0距离的最小值.28、点M(X, y在椭圆X12

9、并求此时点M的坐标。2+ ；“上，则M到直线x + y-4=0的距离的最大值是多少?练习三轨迹问题对应参数分别为1、(2013已知P、Q都在曲线cx=2cs：(P为参数上,ly =2sin PP =2a，M为PQ中点(Owa 2 .M的轨迹是否经过原点。(1求M的轨迹方程。(2将M到坐标原点的距离d表示为a的函数，并判断点2 2点C在该椭圆上运动,2、A、B分别为椭圆丄+丄=1的右顶点和上顶点，动369求 MBC的重心G的轨迹方程。3、 (课本原题 厂0的半径为2, P是圆上的动点，Q(6,0是X轴上的动点，M是 PQ的中点，当P绕0作匀速圆周运动时，求M的轨迹方程。4(2011 曲线G的参数方程为xZcoso 0为参数,M是G上的动点，P点满ly =2 +2si na足OP =2OM,P点的轨迹为C2,(1求C2的方程.(2射线 =-与G、C2异于极点的交点分别为A( B，求I AB.3十仪=1 +tC0Sa 、 EX = C0S日5、(2010直线G J(t为参数，圆C2H阴为参数)iy=tsi naiy=si n9(1当a J时，求C、C2的交点坐标。3(2过坐标原点0作G的垂线，垂足为A,P为OA的中点，当a变化