2011年全国数学建模A题一等奖论文

1、城市表层土壤重金属污染分析摘要土壤重金属的污染对于人类的生存环境造成了严重的威胁，研究其分布与来源对保护人类健康、创造良好的生态环境具有重要意义。本文分析了重金属污染物的分布及其传播特征，借助最速下降法的思想建立了重金属传播轨迹模型，找到了其污染源。本文首先利用三次卷积插值法得到8种重金属污染物的空间分布等值线图。其次，利用模糊理论对所给数据进行统计分析，得到各个小区的污染物关于四级污染标准的隶属度。由权重与隶属度矩阵的乘积并归一化得到综合模糊综合评价矩阵。据此，得出319个小区域的污染级别。结果显示，主干道路区和工业区的污染较为严重，重度污染面积达到了9%以上。基于模糊综合评价矩阵，本文作出

2、了8种重金属污染物在5类区域中的平均含量的直方图。然后，利用因子分析法将8种污染物分为3类：汞；镉、铜、锌、铅；镍、铬、砷。直方图的分析结果显示，峰值地区的重金属污染物属于前两类。同时，直方图显示，只有汞、镉、铜、锌四种重金属对该城区造成严重污染，与汽车尾气及工业三废的排放产生的污染物成分一致。故推断汽车尾气和工业三废是造成该城区的重金属污染的原因。在分析对该城区造成严重污染的四种重金属的传播特征的基础上，忽略地形对重金属传播的影响，借助最速下降法的思想，通过线性拟合，得到其传播轨迹，通过回归溯源确定了多个污染源。最终取它们的中心作为对实际污染源位置的近似。本文得到问题三的结果是：铜的两个污染

3、源分别是以（2260.42,3903.29）和（3304.2,5919.36）为圆心，以88.47m和88.47m为半径的园；锌的两个污染源分别是以（9256.26,4268.60）和（3329.41,5762.07）为圆心，以357.78m和197.68m为半径的圆；汞的两个污染源分别是以（13687.47，2308.22）和（2390.84，2770.97）为圆心，以121.75m和3m为半径的圆；镉的两个污染源分别是以（2218.65，2983.38）和（3565.17,5880.85）为圆心，以462m和167.8m为半径的圆。 基于对最速下降因子回归溯源模型的优缺点的分析，细化污染物

4、在大气中的传播规律并考虑河流对污染物浓度变化的影响，得到了确定污染源的优化模型。 最后，本文给出了模型的评价与改进方向。关键词 土壤重金属污染 模糊理论 因子分析法 最速下降因子回归溯源模型一、 问题重述重金属在土壤中积累不仅会直接影响土壤理化性状、降低土壤生物活性、阻碍养分有效供应，而且会通过食物链数十倍地富集，从多种途径直接或间接的威胁人类健康，因此土壤重金属污染问题是当今环境科学研究的重要内容。而且随着城市经济的快速发展和城市人口的不断增加，人类活动对城市环境质量的影响也日显突出。因此研究土壤重金属的污染，分析其来源及人类活动影响下城市地质环境的演变模式对保护人类健康、创造良好的生态环境

5、具有重要意义。现对某城市城区土壤地质环境进行调查，按照功能和受人类活动影响的程度不同可以将城市划分为生活区、工业区、山区、主干道路区及公园绿地区。一方面将所考察的城区划分为间距1公里左右的网格子区域，按照每平方公里1个采样点对表层土（010 厘米深度）进行取样、编号，并用gps记录采样点的位置。应用专门仪器测试分析，可获得每个样本所含的多种化学元素的浓度数据。另一方面，按照2公里的间距在远离人群及工业活动的自然区取样，将其作为该城区表层土壤中元素的背景值。结果见附件。现在，需要解决如下问题：1、给出8种主要重金属元素在该城区的空间分布，并分析该城区内不同区域重金属的污染程度。2、分析数据，说明

6、重金属污染的主要原因。3、分析重金属污染物的传播特征，由此建立模型，确定污染源的位置。4、分析已建模型的优缺点，指出为更好地研究城市地质环境的演变模式，还应收集的信息及获得这些信息之后的建模思路。二、 问题分析本文主要对重金属污染物在该城区的空间分布及其传播特征进行深入的分析。根据对题目所提供的数据进行统计分析，我们可得以下对四个问题的理解：1、重金属污染程度是一个很模糊的概念，在对8种污染物对各城区造成的污染程度进行综合评价时很难给出确定的结论，考虑到模糊理论在处理具有不确定性、模糊性的问题中的优势建立模糊综合评价模型来求解问题一。首先应给出污染等级及其评判标准，在此基础上建立模糊评价矩阵，

7、然后确定8种重金属污染物的权系数向量，最后得出8种污染物共同作用下的模糊综合评价矩阵，并对此进行归一化处理，据此我们可以清楚地从结果得出各区域的污染程度。2、对于问题二，要想找出重金属污染的主要原因，关键在于分析每种重金属污染分别是由什么区造成的，这样问题就转化为分析每种重金属在各区的分布。根据问题一的结果，统计得出各种污染物在该城区的分布，找出其浓度较高的区域。然后利用因子分析法找出8种重金属污染物之间的关系，将问题简化，最终得出每一类重金属元素产生的原因。3、对于问题三的分析，我们得到了重金属污染的主要原因。考虑重金属污染物的传播特性，由于该城市中主要的地形为平原与山地，故从两方面考虑重金

8、属污染物的传播特性。在平原区域，我们假设土壤中重金属主要来源于大气中沉降，得到了重金属在平原地区的传播特性为：逐渐减少。在山地区域，由于高山的阻挡，重金属会在山脚下表现出聚集的性质，成为一个非污染源的高污染中心。在潜在污染源区域，我们使用最速下降的思想，采集最速下降因子点集，对这些点集进行回归分析，对多条回归曲线进行溯源，得到回归曲线的交点集合，故得到了污染源的区域范围。4、问题三中的模型忽略了实际复杂环境对污染物传播规律的影响，故为了进一步优化污染源的确定模型，需要添加该城区的地形环境的有关信息。结合污染物在大气中的实际传播模型及河流对污染物的影响，得到对模型的优化和完善。三、 模型假设1、

9、 假设所考察的每个子区域中的采样点在该子区域中随机分布；2、 假设每个子区域的海拔高度相等；3、 假设未考虑水体时土壤中重金属来源于大气沉降。四、 符号说明符号意义单位第k个子区域测得的第i种污染物处于第j级污染的程度的隶属度无第i个目标（污染物）归一化的权系数无第i种污染物的权重无第i种污染物的浓度实测值mg/kg第i种污染物的四个级别浓度标准限值的均值mg/kg第k个子区域的模糊综合评判矩阵无第k个子区域归一化的模糊综合评判矩阵无第m个水文站的第i种污染物的浓度mg/kg第m个水文站的水流量注：i=1,2，8分别表示砷、镉、铬、铜、汞、镍、铅、锌等8种污染物；j=1,2,3,4分别表示第一

10、、二、三、四共4级重金属污染标准；k=1,2，319分别表示标号从1到319的319个子区域。五、 模型的建立与求解根据对原问题的分析可知，我们的主要工作就是根据题目中给出的数据，统计出8种污染物在该城区的分布，为直观起见可以作出它们在该城区的空间分布等值线图，基于此图分析重金属污染的主要原因。在分析重金属污染物的传播特征的基础上，建立模型，确定污染源的位置。5、1污染物的空间分布及各区域重金属污染程度的求解5.1.1 8种主要重金属元素在该城区的空间分布图的求解由于每平方公里只有一个采样点，采样点并不一定能够代表整个子区域的各种信息，还可能会造成一些重要信息的丢失，因此在绘制三维图形时，我们

11、需要通过插值的方法来尽量补足信息，绘制各种重金属污染物的含量分布图。在选用插值算法时，我们首先考虑了邻近插值法。通过这种方法得到的图像较为简单，但是质量不高。然后考虑双线性插值，这种方法虽然精度高，图像质量好，不会出现图像不连续的现象。但其算法具有低通性，图像的高频部分受损，图像轮廓上会变得模糊。而三次卷积插值法可以很好的弥补上述插值方法的不足，得到高质量的图片，故我们使用三次卷积插值法来解决此问题，做出8种主要重金属污染物的空间分布图。首先，我们对题目中提供的数据进行统计分析，利用matlab编程得出8种主要污染物在该城区的空间分布，如下图所示：图一 城市土壤中砷含量的空间分布 图二 城市土

12、壤中镉含量的空间分 的平面等值线图 布的平面等值线图图三 城市土壤铬含量的空间分布 图四 城市土壤中铜含量的空间分布 平面等值线图 的平面等值线图图五 城市土壤汞含量的空间分布 图六 城市土壤中镍含量的空间分布 平面等值线图 的平面等值线图图七 城市土壤铅含量的空间分布 图八 城市土壤中锌含量的空间分布 平面等值线图 的平面等值线图5.1.2该城区不同子区域的重金属污染程度的评判借助互联网，我们可知中华人民共和国国家土壤重金属环境质量标准如下：一级标准 为保护区域自然生态，维持自然背景的土壤环境质量的限制值。二级标准 为保障农业生产，维护人体健康的土壤限制值。三级标准 为保障农林业生产和植物正

13、常生长的土壤临界值。此标准规定的三级标准值，见表1。表1 土壤环境质理标准值 mg/kg级别项目 一级二级三级砷（as）153040镉（cd）0.20.61.0铬（cr）90200300铜（cu）35100400汞（hg）0.150.51.5镍（ni）4050200铅（pb）35300500锌（xn）100250500通过对所给数据的分析，存在一些区域的某些重金属含量不属于上面所给的三级标准的任何一级，为避免丢失重要信息，我们再设一个标准，即四级标准。下面建立模糊综合评价模型来解决各子区域的重金属污染程度的评价问题。5.1.2.1建立模糊评价矩阵记模糊评判矩阵为，其中表示在第k（k=1,2，3

14、19）个子区域测得的第i（i=1,2，8）种污染物处于第j（j=1,2,3,4）级污染的程度的隶属度，而隶属度就是通过对隶属函数的计算来确定的，隶属函数一般采用“降半梯形”的函数。下面以砷为例，给出它对应四个级别的隶属函数。下图所示为隶属函数的示意图，其中a，b，c是三个分割点，将整个定义域分为四部分。设砷的测量值为自变量x，对1、2、3、4四个级别的隶属度分别为：其余7种重金属对四级标准的隶属函数见附录1。将各子区域的测量数据带入到上面的隶属函数中，就可以计算出其隶属度，进而建立每个子区域的单因子模糊评价矩阵（程序见附录2）。5.1.2.2确定评价指标的权系数向量当对多个（8个）目标进行综合

15、模糊评价时，还要对多个目标分别加权。权重是衡量所有因子构成的集合中的某一个因子对土壤重金属污染程度影响相对大小的量，权重系数越大，则该因子对水质的影响程度越大。设第i（i=1,2，8）个目标（污染物）权系数为，则可得权系数向量为，其中满足，。我们以污染物的超标情况决定权重，各因素的测量值相对于土壤质量标准的超标越大，对污染的贡献越大，从而权重越大，可用下面的公式求权重系数（见附录3）：式中：1）（i=1,2,，8）表示第i种污染物的权重；2）表示第i种污染物的浓度实测值；3）表示第i种污染物的四个级别浓度标准限值的均值，即为。为了进行模糊符合运算，还必须对各因子权重进行归一化处理，即：根据各子

16、区域中8种污染物的实测值和平均浓度，得到了因素权重分配集的归一化处理结果，下表2给出了结果的一部分，整体结果见附录4。表2 8种因素权重的归一化结果（部分）子区域砷（as）镉（cd）铬（cr）铜（cu）汞（hg）镍（ni）铅（pb）锌（zn）10.152410.141190.124100.063500.204440.103700.070010.1406520.133310.155200.145900.080400.076430.113330.0827940.21263930.063720.269700.054460.133380.056040.040400.098380.283953170.1

17、4050.16500.15120.09190.05100.08510.118460.19683180.21490.085250.137820.09890.067440.104160.119490.172003190.17130.134930.151370.09040.04270.13850.09520.17575.1.2.3求模糊综合评判矩阵x利用矩阵的模糊乘法得到第k个子区域的模糊综合评判矩阵：经过归一化处理后得：按照此方法可得出所有的319个子区域的重金属污染物的数据经归一化处理后所得的模糊综合评判矩阵（程序见附录5），见下表3（仅给出部分，完整结果见附录6）：表3 319个子区域的综合评

18、价矩阵归一化处理结果（样表）子区域一级二级三级四级所属级别10.930.0700.00一级21.000.0000.00一级30.540.4600.00一级3181.000.0000.00一级3190.990.0100.00一级举例解释说明如下：对于上表中的第二行，表示编号为1的子区域对于一级标准的归一化的综合隶属度为0.93，对于二级标准的归一化的综合隶属度为0.07，对于三、四级标准的归一化的综合隶属度为0、0，故认为区域1为一级标准区。表4 各类区域污染程度表区域类别一级二级三级四级生活区81.82%11.36%2.27%4.54%工业区75.76%12.12%3.03%9.09%山区98

19、.48%1.52%0%0%主干道路区75.57%13.74%0.76%9.92%公园绿地区88.24%2.94%2.94%5.88%5.2重金属污染的原因分析5.2.1 8种主要的重金属污染物在5类区域的分布统计根据问题分析我们可知，我们的主要工作转向分析8种主要的重金属在5类区域的分布，对问题一的结果进行统计分析，做出如下8个柱状图（为是结果具有可比性，我们取5类区域中各种重金属的平均含量作为评判标准）：图9 砷在各类型区域中的含量分布图 图10镉在各类型区域中的含量分布图 图11 铬在各类型区域中的含量分布图 图12铜在各类型区域中的含量分布图图13 汞在各类型区域中的含量分布图 图14镍

20、在各类型区域中的含量分布图图15 铅在各类型区域中的含量分布图 图16锌在各类型区域中的含量分布图这样我们就得到了8种主要的重金属污染物在5类区域中的分布情况：铜元素与汞元素在工业区富集，含量远远超过与其他区域；除镍元素外，山地的重金属含量最低；工业区每种元素含量都普遍较高，主干道区其次，然后是生活区与公园区，含量最低的区域是山区。5.2.2 对8种主要的重金属污染物的因子分析由于一般这些污染物之间具有一定的相关性，我们可以利用因子分析法将这些具有复杂关系的变量通过降维得到几个综合指标（综合指标是原来多个变量的线性相关组合），将原问题进行简化。步骤如下：5.2.2.1确定待分析的原有若干变量是

21、否适合进行因子分析因子分析是从众多的原始变量中重构少数几个具有代表意义的因子变量的过程，其潜在的要求是：原有变量之间具有较强的相关性，因此，因子分析要先进行相关分析，计算原始变量之间的相关系数矩阵。如果相关系数矩阵在进行统计检验时，大部分相关系数均小于0.3且未通过检验，则这些原始变量就不太适合进行因子分析。spss在因子分析中还提供了几种判定是否适合因子分析的检验方法，主要有：1）、巴特利特球度检验(bartlett test of sphericity）该检验以相关系数矩阵作为出发点，它的零假设h0为相关系数矩阵，是一个单位矩阵，即相关系数矩阵对角线上的所有元素都为1，而所有非对角线上的元

22、素都为0，也即原始变量两两之间不相关。此检验的统计量是根据相关系数矩阵的行列式得到的。如果该统计量较大且概率小于显著性水平，则应该拒绝零假设h0 ，即相关系数矩阵不可能是单位阵，也即原始变量之间具有相关性，适合作因子分析。一般认为巴特利特球度检验值大于100适合做因子分析。2）、反映象相关矩阵(anti-image correlation matrix)检验这种检验方法以变量的偏相关系数矩阵为出发点，将偏相关系数矩阵的每个元素取反，得到反映象相关阵。其中偏相关系数是在控制了其他变量影响的条件下计算出来的相关系数。如果反映象相关矩阵中的很多元素的绝对值比较大，则说明这些变量可能不适合作因子分析。

23、3）、kmo检验该检验的统计量用于比较变量之间的简单相关和偏相关系数。kmo的定义如下：kmo=所有变量间简单相关系数平方和/(所有变量间简单相关系数平方和+所有变量间偏相关系数平方和)显然kmo的值介于0和1，越接近于1，表明所有变量之间简单相关系数平方和越远大于偏相关系数平方和，越适合做因子分析。一般认为kmo值在0.7以上就可以作因子分析。利用spss软件，可自动完成对已知数据的上面几种方法的检验。本文分别采用kmo和巴特利特球度两种方法对所给出的8种主要重金属污染物做相关性检验，结果如下图17所示：图17 8种主要重金属污染物之间相关性的kmo和bartlett检验结果图从上图中容易看

24、出，对这8种主要的重金属污染物的相关性检验结果为：对于kmo检验，其kmo=0.7780.7，认为这8种主要的重金属污染物可以做因子分析；对于bartlett检验，其检验统计量为905.711，远大于100，其相伴概率为0.00，小于默认的显著性水平0.05，故bartlett检验的结果认为这8种主要的重金属污染物可以做因子分析。这样我们就完成了因子分析法的第一步，接下来继续做因子分析法的第二步，即构造因子变量。5.2.2.2构造因子变量因子分析中有很多确定因子变量的方法，如基于主成分模型的主成分分析和基于因子分析模型的主轴因子法，极大似然法、最小二乘法等，本文采用的是应用最广泛的主成分分析法

25、。该方法通过坐标变换，将原有变量作线性变换，转换为另一组不相关的变量吗，即主成分，也称公共因子。公共因子的个数的确定准则有很多，本文仅选取其中常用的两个：1、根据特征值的大小来确定，取大于1的特征值对应的几个公共因子(主成分)；2、通过直接观察碎石图的方法来判断。利用spss软件根据特征值来确定因子变量的结果如下图18：图18 特征值法确定主成分因子变量个数的结果从上图可以看出，只有两个特征值大于1，故取这两个特征值对应的因子作为公共因子也即主成分。利用sps软件做出碎石图，如下图19所示：从下图可以看出，汞（hg）自成一类，其他7种重金属元素分为一类，共同构成另外一种主成分。且可以看出第二类

26、中，pb、cd、cu、zn和as、cr、ni分别表现出明显的聚类效应，我们不妨将它们分成三类来讨论。图19 确定因子变量个数的碎石图5.2.2.3因子变量的命名解释构造因子的载荷矩阵，在理想状态下，让某些变量在某个因子上的载荷趋于1，而在其他因子上的载荷趋于0，一般通过对因子载荷矩阵进行旋转来实现。利用spss软件得到经过因子旋转后的载荷矩阵（具体求解过程见参考文献2），结果如下图20所示：图20 因子变量的载荷矩阵从上图可以看出，除汞之外的其他所有的重金属元素对于主因子1的载荷均大于对于主因子2的载荷，因此直观地我们也可以将汞（hg）分为一类，将其他的7种归为一类。综上,我们可以将8种重金属

27、元素笼统地分为两大类，其中一类只有汞（hg），其它7种归为另一类，为进一步深入地分析此问题，我们将除汞之外的7种重金属再分为两类，其中pb、cd、cu、zn为一类，as、cr、ni为一类。通过对这三类元素在该城区的分布的分析可知，只有污染程度为第一级别的区域的各种污染物的含量小于背景值，将8种污染物在各类区域的污染程度分别达到2、3、4级的结果统计如下：首先对于二级标准，我们将污染物类别及达到二级标准的子区域个数及其类别制表说明如下：表四 达到二级标准的污染物类别及其影响区域的关系表污染物类别生活区工业区山区主干道路区公园绿地区汞（hg）11020镉（cd）511364铜（cu）891322铅

28、（pb）12042锌（zn）11151392砷（as）00020铬（cr）10110镍（ni）00200横向方面：显然污染最严重的区域属于主干道路区，其次是工业区和生活区，而山区和公园绿地区几乎没有污染。纵向方面：第一类，汞（hg）的污染较小；第二类，镉（cd）、铜（cu）、铅（pb）、锌（zn）造成的污染较为严重；第三类，砷（as）、铬（cr）、镍（ni）的污染较小。其次对于三级标准，我们将污染物类别及达到三级标准的子区域个数及其类别制表说明如下：表五 达到三级标准的污染物类别及其影响区域的关系表污染物类别生活区工业区山区主干道路区公园绿地区汞（hg）00000镉（cd）01042铜（cu）

29、01010铅（pb）00000锌（zn）11092砷（as）00000铬（cr）11030镍（ni）00010横向方面：污染相对最为严重的仍然是主干道路区，其次是工业区和公园绿地区，生活区和山区几乎没有污染。纵向方面：第一类的汞没有造成污染；第二类的镉（cd）、铜（cu）、铅（pb）、锌（zn）造成的污染相对较为严重；第三类，砷（as）、铬（cr）、镍（ni）的污染较小。最后对于四级标准，我们将污染物类别及达到四级标准的子区域个数及其类别制表说明如下：表六 达到四级标准的污染物类别及其影响区域的关系表污染物类别生活区工业区山区主干道路区公园绿地区汞（hg）17081镉（cd）12031铜（cu

30、）01010铅（pb）00000锌（zn）430101砷（as）00000铬（cr）00000镍（ni）00000横向方面：污染相对最为严重的仍然是主干道路区，其次是工业区和生活区，公园绿地区和山区几乎没有污染。纵向方面：第一类的汞造成较为严重的污染；第二类的镉（cd）、铜（cu）、铅（pb）、锌（zn）造成的重度污染相对较小；第三类，砷（as）、铬（cr）、镍（ni）的没有造成重度污染。综上可知：1、第一类的汞轻度污染较小，但对一些区域造成了重度污染，这些区域集中在主干道路区和工业区。由于汽车尾气和工业排放的废水废气废渣最终通过自然沉降和雨水冲刷等原因回到土壤里，对土壤造成较为严重的汞污染，

31、且由于其较难扩散，因此其分布较为集中。2、第二类的镉、铜、铅、锌造成较为严重的二、三级污染，且它们的来源集中在主干道路区和工业区。这是由于汽车尾气、汽车轮胎磨损产生的污染元素主要有镉、铜、铅、锌几类，而它们在工业中的产量也较高，但由于其扩散性质比汞要好，且由于国家对汽车和工业排放的污染物的控制，它们并没有造成特别严重的重度污染。3、第三类的砷、铬、镍造成的二、三、四级污染均较小，这是因为工业和汽车造成的污染中，这些物质的含量均较少，故它们最终在土壤中的含量几乎不会超过其背景值。总之，重金属污染的主要原因来自汽车尾气、汽车轮胎磨损和工业产生的废水废气废渣。5.3 重金属污染物的传播特性分析及其污

32、染源的确定在第二个问题中，我们将8种重金属污染物分为三类，其中第一类为汞，它会对较少的区域造成重度污染，因此必须找出其污染源。而对于第二类，除铅之外的三种重金属元素的污染较为严重，因此必须分析其传播特征，找出污染源。而对于铅和第三类的三种元素，它们几乎不会造成什么污染，认为不存在集中的污染源。这样，我们只需要对汞，镉，铜，锌四种元素的传播特征进行分析，进而找出其污染源。5.3.1 平原地区的传播特性研究。假设土壤中的重金属来自于大气中的重金属沉降。在平原地形条件下，大气中的重金属一维扩散方程为：；在稳定的情况下，我们考虑不随时间变化。故微分方程的解为：=；方程的解的形式为衰减的函数。设的范围内

33、，土壤中的重金属元素含量为：则=；所以土壤中重金属含量的解的形式同的导数的绝对值。故土壤重金属含量在平原地区随离开污染源的距离而衰减。故建立最速下降因子回归溯源模型求解潜在的污染源点。1、设为已知的一点（此点在潜在污染源区域取出），搜索周围与其污染物浓度相差最大的一点作为最速下降的因子点，再通过搜索的一点进行下一步搜索，得到新的最速下降因子点，直到搜索的点为附近区域的浓度最低点。2、将搜索出来的最速下降因子点集进行回归分析，得到近似的最速下降曲线。3、讨论多条这样的最速下降曲线，将他们进行溯源汇聚，得到最速下降曲线互相相交的点集。4、将所有的点集取其重心，取所有点集离重心最大的距离作为污染源的

34、区域半径。5.3.2 山地地区的传播特性研究。由于山地的阻隔作用，我们考虑将山地的高浓度污染物区域看做伪污染源，不对其进行一般传播特性研究。以汞为例，我们借助最速下降法的思想，针对汞造成严重污染的区域（例如图五中的左下角一点）。在此区域中找出一点，确定围绕在其周围，浓度比该点低，且两者之间的汞浓度梯度最大的一点，再以得到的这一点为中心，在其周围找一个浓度较低的点，使得两者之间的汞浓度梯度最大，这样一直找下去，直到所得到的一点的周围再也没有比该点的浓度更小的点。然后对所得到的点进行直线拟合，得到一条直线(如下图21所示)。再以该区域中的另一点为出发点，也可以得到另一条直线，两条直线的交点即可认为

35、是该区域中的点（称为拟合源点，记为a、b、c等）。图21 直线拟合示例图5.3.1铜的源点求解对于铜，从图四可以看出，根据我们建立的模型的思想，铜有两个源点。对于第一个源点，首先通过对图四的分析，得到铜的浓度最高的点的坐标，再取以该点为中心到其上下左右各三个区域的中心的距离为误差范围，可得到源点坐标的范围为：，我们从此浓度最高的点所在的区域中的任三点出发得到三条拟合直线，设拟合的直线方程为：则可以计算出这拟合的三条直线方程分别为：进而得出它们的交点也即三个拟合源点分别为：、由距离公式可以就算出这三点的两两之间的距离分别为：通过计算可以发现、两点之间的距离特别小，与、与的距离较大，但相对于采样点

36、的距离（每1平方千米取一个点）较小，证明了我们的模型的有效性。至此，我们以三个拟合源点的的中心为圆心，以中心到它们各自距离的最大值为半径，确定了铜的一个污染源为：以（2260.42,3903.29）为中心，以88.47m为半径的圆。5.3.2 其余污染源的确定同样的方法，我们可以得到铜的另外一个污染源，现在仅将最终结果表示出来，具体求解步骤及模型的有效性判断见附录7。综上我们得到四种造成较严重污染的重金属的污染源，但是由于每一个污染源的具体位置都不好确定，我们在每一个存在污染源的区域求得了三个拟合污染源，为应进一步确定污染源的位置，基于假设3，我们认为实际的污染源的坐标为三个拟合污染源构成的三

37、角形的重心位置（其横坐标与纵坐标均为三角形三个顶点坐标的算术平均值），这样就可以得到最终结论：1）铜的两个污染源为：以（2260.42,3903.29）和（3304.2,5919.36）为半径，以88.47m和88.47m为半径的园；2）锌的两个污染源分别是以（9256.26,4268.60）和（3329.41,5762.07）为圆心，以357.78m和197.68m为半径的圆；3）汞的两个污染源分别是以（13687.47，2308.22）和（2390.84，2770.97）为圆心，以121.75m和3m为半径的圆；4）镉的两个污染源分别是以（2218.65，2983.38）和（3565.17

38、,5880.85）为圆心，以462m和167.8m为半径的圆。5.3.3模型的改进上面所建立的模型虽然比较有效，但它忽略了海拔高度对重金属的传播特征的影响。重金属污染物在空中以城市灰尘的形式存在，当它在空气中扩散遇到高山时，一般会被阻碍而遗留在高山部分，故我们得出以下的结论：1）、对于重金属污染物含量较高且周围没有高山的区域，认为其污染物是由该区域产生的，即认为该区域是污染源；2）、对于重金属污染物含量较高且周围有高山的区域，其污染物可能是由于自身产生，也可能是由于高山的阻挡，导致污染物沉积，最终经雨水或者河流的冲刷积聚在土壤中造成的。因此在当前缺乏此类信息的情况下，我们不好做出判断，认为该区

39、域不是污染源。这样，通过对比该城区的地形地貌图和所要讨论的四种污染物的空间分布的等值线图，我们可以得出最终的污染源的位置坐标。首先以铜为例说明如下：我们通过原来的模型得到的两个污染源的中心，它们的坐标分别为：（2260.42,3903.29）和（3304.2,5919.36）。对比图4和图22，可知这两个位置均远离高山，且铜不易于扩散，因此认为这两个位置就是污染源。由于铜的分布较为集中，比较易于分析，为进一步阐述我们的建模思想，我们再分析一下较为复杂的镉。通过上面的方法，我们得到镉的两个污染源中心的坐标为：（2218.65，2983.38）和（3565.17,5880.85）。对比图2和图22，的右侧的小区域污染也较为严重，但由于它附近有高山，则认为这个小区域没有污染源。依次分析下去可知，只有（2218.65，2983.38）和（3565.17,5880.85）两点是污染源中心的位置。同理，我们可以得出锌的污染源中心位置坐标为：（9256.26,4268.60）、（3329.41,5762.07）；汞的污染源中心位置坐标为：（13687.47，2308.22）和（2390.84，2770.97）图22 该城区的地形地貌图综上可知，最终结论为：1）