数列中档题精编(东莞中学何国柱)

1、2 若数列CaJ的前n项和为Sn ,对任意正整数n都有6Sn = 1 - 2an，记 bn = log 1 an.2(1) 求 a ,a2 的值；(2) 求数列bn的通项公式；(3) 若 Cn 1 -Cn 二 bn,C1 = 0,求证：对任意 n _ 2,n N* 都若11 小 13有C2 C3 Cn 4【广东文数中等生提分训练】数列中档题自主性训练【编者按语】一个考生不在于他做了多少题，而在于他可以 接受了多少题，单纯靠老师灌输的题是没有用的，所以我宁愿给 一些不明不白提示让学生去思考也不愿意讲评，没有提示的题有时候令学生白花时间，珍惜时间犹如珍惜分数一样重要。根据广 东文数高考特色及考生智

2、力水准，进行针对性应试训练是快速提升各层次考生考试成绩的有效途径，其中立体几何与数列”中档题训练对中等生来说尤其重要，它是一场包括优等生在内以高考 夺分为目标的激烈攻坚战。值得指出，不是所有中档题”对考生成绩都有促进作用，作为一道优良试题应具备浅中有新意”的特点，让不是很笨的考生有思考余地，从中悟出做题门道，增长智 慧。顺便提醒，尽管目前各种模拟试可能给考生带来灰心意冷， 但要坚信将来以中档题为主的高考会给考生(尤其是中等生)带 来好运，保持良好心态是考试成功的一半。广东省东莞市东莞中学何国柱1 已知等差数列an中，a2 *4 =10忌=9，数列bn中, b1 = al , h 1 = bn

3、an (1) 求数列an的通项公式，写出它的前 n项和Sn ；(2) 求数列bn的通项公式；(3) (编者自拟题)若存在实数，使得bn _，Sn恒成立，求 实数的取值范围。3 设数列心訂的各项均为正数，它的前 n项的和为Sn，点111(an，Sn)在函数yx2X 的图像上；数列:bn ?满足8 2 2 d 二 a1,bn.1(an.1 - a.* 6 其中 n N (1) 求数列:an ?和bn?的通项公式；a5*(2) 设Cnn，求证:数列cnf的前n项的和Tn(nN )bn9提示：(1)可证an - an7 = 4提示：(3) 可表示为关于以 为未知数的二次函数。Snn(1)求证数列，是等

4、差数列,并求数列an的通项公式;(2)设 bn求数列bn的前n项和Tnf (x)4 已知 x, 3(x _ 0)成等差数列。又数列an( an 0)中，冃=3，此数列的前n项的和Sn ( n- N .) 对所有大于1的正整数n都有& = f(SnJ.(1) 求数列an的第n1项；1 1(2) 若.0是 ，一的等比中项，且Tn为0的前n项an 卅 an和，求Tn。15. f (x)对任意 x R 都有 f(x) f(1-x)=2亠 11n1*(i)求 f()和 f () f( ) (n N )的值。2 nn(n)数列满足：an 二 f(0) f(1) f (2) III川f(g) f(1)n n

5、n数列 订鳥是等差数列吗？请给予证明；(川)令 bn4 ,人 J2 * b； bT|)| * b：,4-116Sn = 32。试比较Tn与Sn的大小。na6在数列an中，f (n2013(3)设P八 ； 1 a： aj.1，求不超过P的最大整数的值i=1提示：(1)可证、Sn = Sn 43 ；(2)可证 a* 二 3(2n T)1111提示：5)可证豕十E乔川提示：(3)可证 n2(n 1)2 (n 1)2 =n(n 1) T21其中小11 j丄4工+川十=一 minC2C3Cn211+ 22(3)要使bn - Sn恒成立，就要使bn _ n2 _2n 2Snn2n22 2 1 12 _21

6、 =2 丄-1n当n =2时，上述等号成立,故实数n项和为的取值范围是i -,1 。I 2Sn,对任意正整数n都有(1)(2)(3)11有丄丄IIIC2C3anan _Jn-11 1i丨84.(1二 logi l- 二2anbn二 bn=2 n 1,2即 Cn G = (n 1)(n 1)，其中 n _ 2,g =0。-1 1 1 1 1=I .，g2)C n-1 n 12 n-1 n 111 ILL 13 + +IH + -Cn 4 1 1 1 1 小2 4 3 531 11丨=十1 1+ + |n -2 nn-1 n 1【广东文数中等生提分训练】数列中档题自主性训练答案1 .已知等差数列a

7、n中，a2飞4=10月5=9，数列bn中, Dy , bn 1 = bn an.(1) 求数列an的通项公式，写出它的前 n项和Sn；(2) 求数列bn的通项公式；(3) (编者自拟题)若存在实数，使得bn _ / Sn恒成立，求 实数的取值范围。1 解：(1)设 aa1 - (n -1)d，则由 a2 a = 10,a5 二 9 , 口 2a1 4d =10 ”口得。解得 a-i = 1, d = 2 , an = 2n -1。c1 4d =9n(n -1)2Sn 二 nd 二 n .2(2) ： bn 1 -bn 二 a. = 2n -1,匕二印=1 ,(b2 -g (b3-b2)III

8、(bn-bn)=1 3 III 2(n1)1=(n1)2即 bn -d =(n -1)2二 bn = n2 -2n 2(n _2) 又 n =1 时，n2-2n 2=1= , 二数列bn的通项 bn =n2 -2n 2 .2 .若数列 a / 的前6Sn =1 -2an，记 bn log1 an.2求a1,a2的值； 求数列bn的通项公式；若 cn 1 -cn 二 bn,c, = 0,求证：对任意 n 一 2,n N*都13+ .Cn 412. 解: (1)由 63 = 1 - 2ai ,得 6ai = 1 - 2ai,解得 a =81再由 6S2 =1 -2a2,得 6 a1 a2 = 1-

9、2a2,解得 a2 = .32(2) 6Sn =1-2an,6Sn=1-2an(n _ 2)两式相减，得1dii，故数列Can?是首项a ，公比q的等比数列。4 84d。22n1= 2n + 1.2(3)，G 1 (C -G) G 7)1)1 G -G)(n 1)3+2( n 1) + 1二3 5 III 2(n-1) 1=C2 C31 11 -3 2 43111 1= 1 +2 2nn1 4 2 nni丄2 n n 11113*-+ + j|+_对任意n巴2,n N均成立。C2 C3Cn 43.设数列歸昇的各项均为正数，它的前 n项的和为Sn ,点111. ,(an，Sn)在函数丫 nX2

10、二X ；的图像上；数列 小昇满足82 2= ai,bn i(an i a.) = d .其中 n N .(1) 求数列咕,和I b的通项公式；(2) 设cn二弘,求证:数列：cn 的前n项的和Tn 5 (n，N*)bn91 2 1 13 .解(1 )由已知条件得Sn = $ an 2內2，12 11当 n _ 2 时，Sn_|寺_1an_1 8 221 2 2 1两式相减，得：a- (an - a1 k - (a aQ，即81an and(an an_1)(an - an_1),4数列laj的各项均为正数， an-an_1=4 ( n_2 ),又 Ci = 2, an = 4n 2 ； q，b

11、n.i(an i-an)= bn , 2単 , b 1 ；bn44(2)： Cn 晋=(2 n-1)4n,bn Tn = 13 45 42 III(2n- 3) 4匚2(2n- 1)4心,4Tn = 43 425 43 川(2n - 3) 4心(2n-1)4n两式相减得-3Tn =1 2(4 42 III 4心)- (2n- 1)4n,55n 5(2n) 4 :3 335Tn9f ( x)4 .已知. x,八3(x 一 0)成等差数列。又数列an(an 0)中，q = 3，此数列的前n项的和Sn ( n N .) 对所有大于1的正整数n都有Sn = f (SnJ .(1)求数列an的第n T项

12、；1 i(2 )若.bn是，一的等比中项，且Tn为bn的前n项an 勺 an和，求Tn4解：(1V - x,f2凶八3(x- 0)成等差数列,2“二 f(x)=(d、/3)2.- Sn 二 f(Sn(,(n 2), Sn 二 f(Sn_1)=(.石匕)2。 Sn = . Sh； 3.- Sn 是以 3 为公差的等差数列。*4=3,. S = ai = 3 o.，石石(n 一1) .3八、3n二 Sn =3n2(n N ).2 2 an 4 = Sn 4 - Sn = 3(n 1) -3n = 6n 3。1的等比中项，anbn =（2 ）数列 bn是1（6）2an 11an 1,1an1 ).a

13、n 1an3(2n 1) 3(2n_1)1 n 1n + 12an =f(0) f(1) f() f()f(1) f(0)= =n n2n+1n + 1 + 1 n+1-anan d - an :44二数列an是等差数列.44(川)根据bn，得4an -1nTn 二 b： b；b： =16(11 1 118 2n-1 2n+1- Tn 巾 b2 III bn111 1(1 -一)( ) 1833 51 1(1 )18 2n 11 1川(kh) 161 1x22x3 n(n 1)11 1 1= 161 (1-二)()III (-22 3n-1116-1)n-16(2)=32Sn,即 TnSn o

14、nn5. f (x)对任意 x R 都有 f(x) f(1-x) =a6.在数列an中，a1,an几十(n N*).n .(1 )n n 12 + n12耐=1 (_2) 2n+1 = 1 - 2n+122 + n =22 .(3)： j1+a； + 4；_ l 亠 1 *1 _n2(n 1)2 一，n2(n 1)2n(n 1)11111 1 -n(n 1)n(n 1) n n 12013二 P = 2；寸 1+ai2 + ay111111心11=(1) (1) (1) HI (1)122334201320141= 2014，故不超过P的最大整数为2013 .2014n+1n2(n 1)2 (

15、n 1)2 n21（I）求f（罗（n）数列Bn ?满足:1an 二 f（0） f （-） f1n 1*和 f( ) f( ) (n N )的值。n n广（1）求证数列丿丄是等差数列，并求数列an的通项公式;(2) III川 f(口) f(1)nn n数列：an堤等差数列吗？请给予证明；（川）令 bnJ,Tn =2 b| b JU b2,4an -116Sn =32 o试比较Tn与Sn的大小。n1(2) 设bn，求数列2 62013(3) 设 p 八、.1 ai2i J6 解：（1）由已知得:5.解：（I）:f(2)1bn的前n项和Tn ；，求不超过P的最大整数的值.1 1 1=丄 1,即-1an 1anan 1an11令 x ，得 f () f (1 -nn1 n 1 即f (丄)f (丄)nn1111f（r，f（；）=.222 4n）2，1故数列一为首项为an1 .1 (n -1)1 = n= an : an1，公差