二次根式混合运算(经典)

1、 二次根式的混合运算二次根式的混合运算 二次根式的混合运算 1、二次根式的混合运算是指二次根式的 _、_、_、_的混合运算 2、二次根式的混合运算顺序与实数的运 算顺序相同： 先算_，后算_，有括号的先 算括号里面的 加减乘 除 乘除加减 二次根式的混合运算： 3、二次根式的加减运算步骤： 4、二次根式的乘法运算公式： 5、二次根式的除法运算公式： 2.整式乘法中多项式与多项式相乘的法则用字母 表示为 上次更新: 2021年4月21日星期三 1.整式乘法中单项式乘以多项式的法则用字母 表示为： 一、借用整式乘法的法则进行二次根式混合运算。 . 上次更新: 2021年4月21日星期三 乘法公式中

2、平方差公式、完全平方公式用字 母如何表示？ 1、平方差公式： 。 2、完全平方和公式： 。 3、完全平方差公式： 。 二、套用乘法公式进行二次根式混合运算 说一说说一说 如果梯形的上、下底长分别为如果梯形的上、下底长分别为 高高 为为 ，那么它的面积是多少？，那么它的面积是多少？ 2 2 cm4 3 cm， ， 6 cm 1 = 2 2+4 36 2 = 2+2 36 = 26+2 36 = 2 6+2 3 6 = 2 2 3+2 3 3 2 = 2 3+2 3 2 梯梯形形面面 积积 () () ()() 2 = 2 3+6 2 cm .()() 举举 例例 例例3 计算：计算： 3 1 6

3、 2 8 2 2 + 3 2 1 2 - - - - ( ( ) ) ； ( () )( () )( () ). . 二次根式的混合运算是根据实数的运算律进二次根式的混合运算是根据实数的运算律进 行的行的. 3 1 6 2 8 - -解解 ( ) ( ) 3 = 6 2 2 8 - - 3 = 6 2 2 8 - - 3 = 3 2 2 4 - - 3 = 2 3 2 - - 1 = 2 3 2 - -()() 3 = 3 2 ； 2 2 + 3 2 1 2 - - ( () ) ( () )( () ) = 2 2 2+ 3 2 3 22- - - = 2 2 2+ 3 2 3 2- - -

4、 = 4 + 2- - . . 从例从例3的第的第( (2) )小题看到，二次根式的和相乘，小题看到，二次根式的和相乘， 与多项式的乘法相类似与多项式的乘法相类似. 例例3 计算：计算： 2 2 + 3 2 1 2 - -( () )( () )( () ). . 我们可以利用多项式的乘法公式，进行某些二我们可以利用多项式的乘法公式，进行某些二 次根式的和相乘的运算次根式的和相乘的运算. 举举 例例 例例4 计算：计算： 2 1 2 + 1 2 1 2 2 3 - - - - ( ( ) )( () )( () ) ； ( () )( () ) . . 从例从例4的第的第( (1) )小题的结

5、小题的结 果受到启发，把分子与果受到启发，把分子与 分母都乘以分母都乘以 ，就，就 可以使分母变成可以使分母变成1. 2+1()() 动脑筋动脑筋 如何计算如何计算 ？ 2+1 2 1- - 2+1 2 1- - 2+12+1 = 2 12+1 ()()()() ()()()()- - 2 2 2+2 2+1 = 21 ()() ()() - - = 2+2 2+1 = 3+2 2. 举举 例例 例例5 计算计算： 15 1+ 5 - - . . 15 1+ 5 - - 解解 1515 = 1+ 515 - - - ()()()() ()()()() 2 22 1 2 5+5 = 15 ()(

6、) ()() - - - - 6 2 5 = 4 - - - - 31 = +5 22 - -. . 1 2 5+5 = 1 5 - - - - 1. 计算：计算： 练习练习 3 1 5 15 4 5 - -( ( ) )( () ) ；3 答答案案： 2 1 + 2 3 3 3 - -( () )( () )( () )； 3 2 + 3 2 3 - -( () )( () )( () )； 2 4 5 + 3 2 ( () )( () ) . . 5 3 3 答答案案：- - 1 答答案案： 43+30 2 答答案案： 2 )377()5(、)2762)(6227)(4( 22 )632(

7、)632()6(、 3213547()7(）、 )23(18)8(、 2 77)3(）（、 3 1 3 2 31）、（ 5 1 27)2(、 1、计算： 注意： 1、运算顺序 。 2、运用运算律和乘法公式，简化运算。 3、结果为最简二次根式。 1、分母有理化的定义： 把分母中的根号化去。 2、方法： 分子、分母同时乘以分母的有理化因式。 3、有理化因式： 4、常见的互为有理化因式： 两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们 的积中不含二次根式 ，我们说这两个二次根 式互为有理化因式。 a ab cab cdab 的有理化因式： a a cab cdab 二、巧用“分母有理化”进行二次根式混合运算

8、 三更灯火五更鸡，正是男儿读书时； 黑发不知勤学早，白首方悔读书迟。 二次根式运算二次根式运算 （提高篇）（提高篇） 一：二次根式混合运算一：二次根式混合运算 例例1 1：计算：计算：(每小题4分) 解题示范解题示范规范步骤，该得的分一分不丢！规范步骤，该得的分一分不丢！ 2分 4分 4分 (3)(3)已知已知 的整数部分为的整数部分为a，小数部分为，小数部分为b，求，求a2 2b2 2的值的值 知能迁移知能迁移: : y11x 4 1x,y 23xyxy 例 、 （ ）当 =时，求代数式的值； yx 1 xyxy xxyyxy xyxy xxyyxy x-y x y x y 解：( ) （）

9、-（） = （)(） - = + = - 11 113 2 23 x,y5. 11 233 2 23 当 时， 原式= 22 11 (2)a, b=,a2abb7 5252 已知： = 求的值 22 2 2 1 2a52 , 52 1 b=52. 52 a2abb7 a-b7 47 9 3 Q ( ) （） 二：二次根式运算中的技巧二：二次根式运算中的技巧 例例2 2： 1.1.x2 2xyy2 2是一个对称式，可先求出基本对称式是一个对称式，可先求出基本对称式xy4 4， xy1 1，然后将，然后将x2 2xyy2 2转化为转化为(xy)2 2xy，整体代入即，整体代入即 可可. . ( (

10、3 3) )已知已知a a3 32 2 ，b b3 32 2 ，求，求a a2 2b babab2 2的值；的值； 解：解：a ab b(3(32 )2 )(3(32 )2 )4 4 ， abab(3(32 )(32 )(32 )2 )1111， a a2 2b babab2 2abab( (a ab b) )( (11)11)4 4 44 .44 . 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 ( (4 4) )已知已知x x ，y y ，求，求 的值；的值； 解：解：x x ( ( 1)1)2 23 32 2 ， y y ( ( 1)1)2 23 32 2 ， x xy y6

11、6，x xy y4 4 ，xyxy1.1. 原式原式 . . 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 xy xy xy 2 2 2 2xy 6 6 4 4 2 2 6 6 2 2 2 21 1 2424 2 2 3434 1212 1717 2 2 三：注意二次根式运算中隐含条件三：注意二次根式运算中隐含条件 例例3 3 已知：已知：a ，求，求 的值的值 学生作答解：原式学生作答解：原式 a1 1 a1 1 . . 当当a 时，时， 原式原式 1 1(2(2 ) )1 12 .2 . a1 1 a1 1 a1 1 a1 1 2

12、2 a a1 1 a1 1 a a1 1 1 1 a 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 3 3 3 3 规范解答规范解答 解：解：a 1 1，a1 10.0. | |a1|1|1 1a. . 原式原式 a1 1 . . 当当a 时，时， 原式原式 1 1(2(2 ) )3.3. 1 1 2 2 3 3 a 2 2 2 2a1 1 a1 1 2 2 a1 1 a1 1 a1 1 1 1a a a1 1 1 1 a 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 3 3 计算计算 22 ()x yxyxy 3131 (1) () (2) (3) 解：（解：（1）原式）原式= 2 aa

13、b 22 x yxyxyxyxy （2）原式）原式= (3) 原式原式= 2 2 313 1 2 21x（4）. （4）原式）原式= （5）原式）原式= 2 441xx 22 69xxyy （5） 2 3xy ：相信自己能行：相信自己能行 =2 例题讲析例题讲析 836 4 23 62 2 例1.计算 (2) 解：原式解：原式=8636 8636 4 33 2 4 22 23 62 2 3 23 2 解：原式解：原式= （1） （我是小老师）（我是小老师） 例例2. 计算计算 2325 5353 (1) (2) 解：原式解：原式= 解：原式解：原式= 2 25 23 215 22 215 13

14、2 2 22 53 53 2 例例3.先化简，再求值先化简，再求值 23366aaa a 21a ，其中 解：原式解：原式= 22 2366aaa 22 2666aaa 2 6aa 当当 21a 时，时， 原式原式= 2 21621 22 21 6 26 4 23 课堂展示课堂展示 235 80405 5332 3abab 1计算 （2） （3） （4） （1） 第一轮 解：原式解：原式= 解：原式解：原式= 解：原式解：原式= 解：原式解：原式= 2325805405 610 805405 42 2 53523332 152 532 3 33aaabbabb 33aababb 32abab

15、4747 6262 2 32 2 2 52 第二轮 （2） （3） （4） 2计算 （1） 解：原式解：原式=解：原式解：原式= 解：原式解：原式=解：原式解：原式= 2 2 47 167 9 22 62 62 4 2 2 32322 34 34 74 3 22 2 52 2 522 204 102 224 10 课堂小结课堂小结 在进行二次根式的运算时，类比整式的运算，灵活合理运用恰当的方法，在进行二次根式的运算时，类比整式的运算，灵活合理运用恰当的方法， 要注意过程和结果的正确要注意过程和结果的正确 老师忠告老师忠告 (1)(1)题目中的隐含条件为题目中的隐含条件为a 1 1，所以，所以

16、| |a1|1|1 1a，而不是，而不是a1 1； (2)(2)注意挖掘题目中的隐含条件，是解决数学问题的关键之注意挖掘题目中的隐含条件，是解决数学问题的关键之 一，上题中的隐含条件一，上题中的隐含条件a | |a1|1| 1 1a是进行二次根式化简的依据，同学们应注重分析能力是进行二次根式化简的依据，同学们应注重分析能力 的培养，提高解题的正确性的培养，提高解题的正确性. . 1 1 2 2 3 3 a 2 2 2 2a1 1 a1 1 2 2 a 2 2 2 2a1 1 a1 1 2 2 b a b a b a+ b a a a b b+ 练习： 1.已知ab=3，求 的值 2.已知a+b=-8,ab=12,求 的值 2.已知已知 23232 30abc（） 2 求求 3a + 5b c 的值。的值。 22 2a3abb0 a-b)(2ab)0Q解： （ aa ab=0a=b, =0. aa 当时， 即原式 2ab02a=b, a2aa(12)12 =2 23. a2aa(12)12 当时，即 原式 先化简，再求值：先化