常用基本求导公式

1、1 基本求导公式(C) =0(x -y =: x j o特别地：(C为常数)(x)” = nx；般地，1 1 1(x)1 , (x2) =2x , (, ( x)JoXX，2”X(exy = e ； 般地，(ax)： = axlna (a 0,a)。 (In x) = - ；般地，(log a x) - (a 0,a = 1)。x 77xln a2 求导法则四则运算法则设f (x) , g(x)均在点x可导，则有:()(f(x) _g(x) = f (x) g (x)；(2)(f (x)g(x)二 f (x)g(x) f(x)g (x), 特别 (Cf(x) =Cf (x)(C为常数)；( )

2、 =2, (g(x) - 0), 特别g(x)g (x)(i 、g x()()2 og(x)g (x)3.微分 函数y = f (x)在点x处的微分：dy = y dx = f (x)dx4、常用的不定积分公式3xdx =3 .;1x2x dxx1 C(： p-1), dx = x c, xdxc, x2(1)(2) - 24x3dx =仝c4axexdx 二 ex C ；axdxC (a 0, a = 1);In a(3) kf (x)dx = k f (x)dx (k 为常数)5、定积分a f(x)dx = F(x)|： = F(b)-F(a)abbb a k1 f (x) k2g(x)d

3、x =匕 & f(x)dx k2 a g(x)dx分部积分法设u(x)，v(x)在a，b上具有连续导数 u(x),v(x)，贝Ubb bu(x)dv(x) = u(x)v(x) a - v(x)du(x)6、线性代数特殊矩阵的概念(1 )、零矩阵10 0101BBLI(2 )、单位矩阵In =+0.00 o o_-22o=10,0(3)、对角矩阵A =0a2+.*000、an2对称矩阵aj = aji , A = 121-3-5ai1ai2a1n(5)、上三角形矩阵 A =(6)、矩阵转置A =6、矩阵运算0a?2an1an2a1 na2nanna2na nnF三角形矩阵a11a210 a20

4、 0a n1 I转置后AT = a12a22an2a1na2nanne g_+-fIJ b d a c_eg + + a c_f h + + b d2-5700ana be f ：ae + bg af+bh ab = i i=上 dLg h_ ce + dg cf +dhj7、MATLAB件计算题例6试写出用MATLAB软件求函数y=|n(. x x2 ex)的二阶导数 /的命令语句。解：clear。syms x y 。y=log(sqrt(x+xA2)+exp(x) 。dy=diff(y,2)例：试写出用MATLAB软件求函数y=|n(. x，ex)的一阶导数目的命令语句。clear 。sy

5、ms x y 。y=log(sqrt(x)+exp(x) 。dy=diff(y)2 43例11试写出用MATLAB件计算定积分丄exdx的命令语句。1 x解: clear 。syms x y 。y=(1/x)*exp(xA3)。i nt(y,1,2)13例 试写出用MATLAB软件计算定积分ex dx的命令语句。 x解: clear 。syms x y 。y=(1/x)*exp(xA3)。i nt(y)MATLAB软件的函数命令表1 MATLAB软件中的函数命令函数a xJxx eln xlg xlog：MATLABxA asqrt(x)exp(x)log(x)log10(x)log 2(x)

6、abs(x)运算符号运算符+-*/A功能加减乘除乘方典型例题例1设某物资要从产地 A, A, A调往销地B, B2，B3,已，运输平衡表(单位：吨) 和运价表(单位：百元/吨)如下表所示：运输平衡表与运价表销地产地BE2B3供应量BB2B4A17311311A41928A3974105需求量365620(1) 用最小元素法编制的初始调运方案，(2) 检验上述初始调运方案是否最优，若非最优，求最优调运方案，并计算最低运输总费用。解：用最小元素法编制的初始调运方案如下表所示： 运输平衡表与运价表销地产地B1EbB3E4供应量B1B2E3B4Ai437311311A3141928A63974105需

7、求量365620找空格对应的闭回路，计算检验数：11 = 1 ,，12 = 1,22 = 0, 24 =- 2已出现负检验数，方案需要调整，调整量为1调整后的第二个调运方案如下表：运输平衡表与运价表7、.销地产地BB2B4供应量BB2B3B4A527311311A3141928A63974105需求量365620求第二个调运方案的检验数：11 = 1已出现负检验数，方案需要再调整，调整量为2调整后的第三个调运方案如下表：运输平衡表与运价表肖地 产地、BB2B4供应量BB2B3B4A257311311A1341928A63974105需求量365620求第三个调运方案的检验数：12 = 2 ,

8、14 = 1 , 22 = 2, 23 = 1 , 31 = 9,33 = 12所有检验数非负，故第三个调运方案最优，最低运输总费用为：2X 3 + 5X 3+ 1X 1 + 3X 8+ 6 X 4 + 3X 5= 85 （百元）例2某物流公司下属企业经过对近期销售资料分析及市场预测得知，该企业生产的甲、乙、丙三种产品，均为市场紧俏产品，销售量一直持续上升经久不衰。今已知上述三种产品的单位产品原材料消耗定额分别为4公斤、4公斤和5公斤；三种产品的单位产品所需工时分别为 6台时、3台时和6台时。另外，三种产品的利润分别为400元/件、250元/件和300元/件。由于生产该三种产品的原材料和工时的

9、供应有一定限制，原材料每天 只能供应180公斤，工时每天只有 150台时。1. 试建立在上述条件下，如何安排生产计划，使企业生产这三种产品能获得利润最大 的线性规划模型。2. 写出用MATLAB件计算该线性规划问题的命令语句。解：1、设生产甲、乙、丙三种产品分别为X1件、X2件和X3件，显然Xi, X2, X30线性规划模型为max400x1 250x2 300x34x1 4x2 5x3 乞 180* 6xclear 。C=-400 250 300。A=4 4 5。6 3 6。B=180。150。LB=0。0。0。X,fval,exitflag=li nprog(C,A,B,LB)例3已知矩阵

10、A二10 -12，24-111-10-2，求:AB CT解:AB C 二-112二1-10 J一61 1 21 I一6 -3-2设 y = (12+ X )lnX,求：y解:y = (1x2) ln x (1 x2)(ln x)二 2xln xx例5设土，求：y解:(ex) (1 x) _ex(1x) xeX(1+x)2一 (1+x)2例7某厂生产某种产品的固定成本为2万元，每多生产1百台产品，总成本增加 1万元，销售该产品 q百台的收入为 Rq) = 4q 0.5 q2 (万元)。当产量为多少时，利润最 大？最大利润为多少？解：产量为q百台的总成本函数为：Qq) = q + 2利润函数 L(

11、 q) = F( q) C(q) = 0.5 q2 + 3q 2令MLq) =- q+ 3= 0得唯一驻点q= 3 (百台)故当产量q=3百台时，利润最大，最大利润为2 L(3) =-0.5 X3 + 3X 3- 2= 2.5 (万元)例8某物流企业生产某种商品，其年销售量为1000000件，每批生产需准备费1000元，而每件商品每年库存费为0.05元，如果该商品年销售率是均匀的，试求经济批量。q 1000000000解：库存总成本函数 C(q):40q令c(q)=丄一100000000二。得定义域内的唯一驻点q= 200000件。40q即经济批量为200000件。1例9计算定积分：Q(x 3

12、ex)dx解:10(x 3ex)dx例10计算定积分:1=(丄 x2 3ex)| =3e-52 |0 231(x2 2)dxx解:3221 31(x严飞X1.对编程问题，要记住函数log(x) , sqrt(x);2对积分问题，主要掌握积分性质及下列三个积分公式:3262l n|x|)|2l n33教案补充说明ex, lnx,x在MATLAB件中相应的命令函数 exp(x),xadx 二xa 1 c (az 1)a +1exdx =ex cdx =1 n | x| cx7. 记住两个函数值：e0= 1, In1 = 0。模拟试卷一、单项选择题：(每小题4分，共20分)1. 若某物资的总供应量(

13、 C)总需求量，可增设一个虚销地，其需求量取总供应量与总需求量的差额，并取各产地到该销地的单位运价为0,则可将该不平衡运输问题化为平衡运输问题。(A)等于(B)小于(C)大于(D)不超过2. 某物流公司有三种化学原料A, A, A。每公斤原料 A含B, Eb, R三种化学成分的含量分别为0.7公斤、0.2公斤和0.1公斤；每公斤原料 A含B, E2, E3的含量分别为 0.1公斤、0.3公斤和0.6公斤；每公斤原料 A含B1, E2, Bs的含量分别为0.3公斤、0.4 公斤和0.3公斤。每公斤原料 A1, A A的成本分别为500元、300元和400元。今需要 B 成分至少100公斤，E2成

14、分至少50公斤，B3成分至少80公斤。为列出使总成本最小的线 性规划模型，设原料A1, A2, A的用量分别为 X1公斤、X2公斤和X3公斤，则目标函数为(D )。(A) max S= 500X1 + 300x2+ 400X3(B) min S= 100X1 + 50x2+ 80X33设 A二 12,|4_x7x(A) 4(C) 24. 设运输某物品)。品100吨时的平均成本为(A(A) 170(C) 17005. 已知运输某物品 q吨的边际收入函数为 的收入增加量为(D300(A) MR(q)dq C(0)M00，并且A= B,则x=( C7(B) 3 (D) 1q吨的成本(单位：元)函数为

15、qq) = q + 50q+ 2000,则运输该物)元/吨。(B)250(D) 17000MRq)，则运输该物品从 100吨到300吨时)。(B)(C) MR(q)dq(D)100MR(q)dq-300300MR(q)dq100二、计算题：(每小题7分,6已知矩阵1。21，共 21 分)_24-11_1C=1 02，求：AB+ C解：ab+c = 00 1-111一100-2 | 6 -10-20-37设竺，求:1+x3解:才(l nx)l(1+x3)(l nx)(1+x3)8. 计算定积分:(1 X3)21o(x3 2eX)dx1 X32 !3x ln xx(1 x3)21117解：(X3

16、2eX)dx=( X4 2ex)|2e-三、编程题：(每小题6分，共12分)9. 试写出用 MATLAB软件求函数 y =1 n( . x x2 ex)的二阶导数 y的命令语句。解: clear 。syms x y 。y=log(sqrt(x+xA2)+exp(x)。dy=diff(y,2)1 10. 试写出用MATLAB件计算定积分xe Xdx的命令语句。J0解: clear 。syms x y 。y=x*exp(sqrt(x) 。i nt(y,0,1)四、应用题(第11、12题各14分，第13题19分，共47 分)11. 某物流企业生产某种商品，其年销售量为 1000000件，每批生产需准

17、备费1000元，而每件商品每年库存费为0.05元，如果该商品年销售率是均匀的，试求经济批量。解:库存总成本函数C(q) q 100000000040q入11000000000小令ST八亦- 一得定义域内的惟一驻点q= 200000件。即经济批量为200000件。12. 某物流公司下属企业经过对近期销售资料分析及市场预测得知，该企业生产的 甲、乙、丙三种产品，均为市场紧俏产品，销售量一直持续上升经久不衰。今已知上述三 种产品的单位产品原材料消耗定额分别为4公斤、4公斤和5公斤；三种产品的单位产品所需工时分别为 6台时、3台时和6台时。另外，三种产品的利润分别为400元/件、250元/件和300元

18、/件。由于生产该三种产品的原材料和工时的供应有一定限制，原材料每天 只能供应180公斤，工时每天只有 150台时。试建立在上述条件下，如何安排生产计划， 使企业生产这三种产品能获得利润最大的线性规划模型，并写出用MATLAB软件计算该线性规划问题的命令语句。解：设生产甲、乙、丙三种产品分别为X1件、X2件和X3件，显然X1, X2, X3 0线性规划模型为maxS =400禺 250x2300x34x1 4x2 5x3 乞 1806x1 3x2 6x3 _150X1, X2, X3 -0解上述线性规划问题的语句为：clear。C=-400 250 300。A=4 4 5。6 3 6。B=180

19、。150。LB=0。0。0。X,fval,exitflag=li nprog(C,A,B,LB) 线性规划习题1.某物流公司下属企业生产甲、乙两种产品，要用A, B, C三种不同的原料，从工艺资料知道：每生产一件产品甲，需用三种原料分别为1 , 1 , 0单位；生产一件产品乙，需用三种原料分别为1, 2, 1单位。每天原料供应的能力分别为6, 8, 3单位。又知，销售一件产品甲，企业可得利润3万元；销售一件产品乙，企业可得利润4万元。试写出能使利润最大的线性规划模型，并用MATLAB软件计算(写出命令语句，并用MATLAB软件运行)。解：设生产甲产品 X1吨，乙产品X2吨。线性规划模型为：ma

20、x3x1 4x2Xi + X2 兰 6Xi +2x2 兰 8 x2兰3Xi,X2 _0用MATLAB件计算该线性规划模型的命令语句为： clear 。 C=-3 4。 A=i i。i 2。0 i。 B=6。8o 3。 LB=0。0。 X,fval=li nprog（C,A,B,LB）2.某物流公司有三种化学产品Ai, A, A都含有三种化学成分 B, B2, R,每种产品成分含量及价格（元/斤）如下表，今需要 Bi成分至少i00斤，B2成分至少50斤，B3成分至 少80斤，试列出使总成本最小的线性规划模型。相关情况表产品含量 成分每斤产品的成分含量AiAAB0.70.10.3R0.20.30.

21、4Eb0.10.60.3产品价格（元/斤）500300400解：设生产 A产品xi公斤，生产A2产品x2公斤，生产A产品x3公斤，min S 二 500xi 300x2400x3b.7xi +0.ix2 +0.3X3 Ki000.2xi+0.3X2 +0.4X3500.ixi 0.6x20.3X3 -80IXi,X2,X3 狂03. 某物流企业下属家具厂生产桌子和椅子，产品的销路挺好。生产每张桌子的利润为 i2元，每张椅子的利润为 i0元。生产每张桌子在该厂的装配中心需要i0分钟，在精加工中心需要20分钟；生产每张椅子在装配中心需要i4分钟，在精加工中心需要i2分钟。该厂装配中心一天可利用的时间不超过i000分钟，精加工中心一天可利用的时间不超过880分钟。假设生产桌子和椅子的材料能保证供给。试写出使企业获得最大利润的线性规划模 型，并用MATLAB件计算（写出命令语句，并用MATLAB件运行出结果）解：设生产桌子 Xi张，生产椅子X2张max S = i2xi i0x2i0xi i4x2 clear 。 C=-1210。 A=10 14。20 12。 B=1000 ; 880。 LB=0 。 0。 X,fval=li nprog(C,A,B,LB)4、某物流企业在