用解析法解平面几何问题

1、A3、如图：过圆中弦 AB的中点M，任引两弦CD和EF，连CF、ED分别交弦 AB于Q、P。解析法1、如图：四边形ABCD的对角线AC丄BD，交点为0,自0向各边作垂线，垂足为 E、F、G、H ; 连E0交CD于E,连F0交DA于F ，连 G0交AB于G ，连H0交BC于H 。求证： E、F、G、H、E、F、G、H 八点共圆。2、如图：设H是锐角三角形 ABC的垂心，由A向以BC 为直径的圆作切线 AP, AQ，切点分别为P、Q。 求证：P、H、Q三点共线。求证：PM=MQ。4、如图：已知 ABCD是正方形, 求证：DE=DH。CE / BD ,DBCE5、用解析法证明圆的切割线定理。T.6、

2、用解析法证明半角的正切公式：sin 1 - costtan21 + cos日sin 67、acos 日 +bsi n 日=c acos +bsi n = cabc = 0,2abce +0,立。练习题：b0, c0，求证：.a b -ab：r：bc - be.acac说明等号何时成1、 已知方程|x|=ax+1有一个负根但没有正根，则a的取值范围是 。2、 已知fx =、1 x2，若a,b R,a = b，则|fa - f b |与|a-b|的大小关系为（）（C）| f a - f b | J a -b|（D）不能确定.cos。一33、 函数 f x的值域为。sin。-14、 对一切实数 a有

3、| . a2 a 1 -、a2 - a 1卜：M ,则M的最小值为 5、求证三角形的三条高交于一点。参考答案1、证明以CA为x轴，DB为y轴建立坐标系，并记直线AB与0G的方程分别为 仝+丫=1上=上ca b=1，d =联立可解得Gabd.ac +bdabciac bd同理可得HEbedabciac +bdac bd bcd acdiac +bd ac +bd 丿Fabd acdiac +bd ac + bd 丿由于F与G, E 与H 的横坐标相同，有F G E H y轴；由于G与HE与 F 的纵坐标相同，有 G H E F x轴；所以四边形 E F G H 是矩形，以它的对角 线为直径作圆，

4、这圆过 E , F , G , H 又由/ G EE = / G GE = / H FF =/ H HF =90。知，这圆也过 E, G, F, H，得证八点共圆.2、证明以BC为x轴，线段BC的垂直平分线为 y轴建立直角坐 标系，记 ABC的顶点坐标为 A ( a, b), B ( R, 0), C ( R,2 2 20) (R0),则以BC为直径的圆的方程为 x+y=R 而过P, Q的切线方程分别为xx p yyp = Raxp by p = R2因为两切线过点 A，故有2xxq yyQ =Rax by = R这表明：P (xp,yp), Q ( xq$q)在直线 ax + by=R2AO

5、上，但过P, Q的直线是唯一的，故就是直线PQ的方程。又由锐角三角形知， AB , AC与圆相交，记交点为 E, F,贝U BF丄AC , CE丄AB，且BF与CE 交于 ABC的垂心H。由直线AC的斜率为 一 知，直线BF的斜率为 上空，得直线BF的方程为a Rba - R x by =R2 -aR;同理CE的方程为a R x b R2 aR;由+得知：BF与CE的交点在PQ上，即卩PQ通过 ABC的垂心。 3、证明以M为原点，直线 AB为轴建立直角坐标系，则已知圆可表示为x2 y2 -2by f = 0直线CD, EF可表示为yr/x, y = k2x合并为y -Kx y -k?x i=0

6、于是，过、交点 C、E、D、F的二次曲线系可表2 2示为X - y -2by + f + k(y - k)x (y - k2x )= 0其与X轴的交点P, Q的横坐标满足方程1 k1k2 x f = 0，由P, Q的存在性知：这方程 必有两个不相等的实根，且 Xp Xq =0，这说明：原点 M是P, Q的中点，从而PM=MQ。y轴建立直角坐标系，设正方形的边长为4、证明如图：以BC所在直线为x轴，CD所在直线为1，则 A ( 1，1)，B ( 1，0)，C( 0，0)，D( 0，1)因为CE/BD ,所以/ ECX= / DBC=45 ,因此直线CE 的方程为 y=x，设 E( a, a),由

7、 |BE|=|BD|=、2 知，J(a +1 2 +a2 = J2 由于 a0,故 a = ，因2此|DE|= 3 -1，又 BE 的方程为一y2 3 ,x +1设H ( 0, b)，代入上述方程得 b =2 - 3，于是|DH|= 3 - 1所以 |DE|=|DH|。PAB是圆的割线，以圆心为原点建立直角坐标系，设5、设P是圆O外一点，PT是圆的切线, 圆的方程为x2 y2 = r2点P的坐标为P X0, y0 x。2y02r2，点A, B的坐标为x1, y1 , x2, y2 x2yi r2 ,i = 1,2，过点 P 的直线方程为 y-y0=kx-x0有 PA= 1 k2|X1-X。|,

8、PB= . 1 k2 I X2 -X。|,PT2二 PO2 -OT2 二 x。2y。2-r2把代入得 1k2x_x022 ky0 x0 x _x0x。2 y。2 _r2 =02 2 2由韦达定理得/7v X0 +y0 -rX1 X。X2 _x。1 k从而 PA 卩B = 1 k2 xx0 x2 -x0 二 x。2 y。2 -r2 二 PT2 。6、证明如图：对任意角 v - =2k：，y作单位圆与始边 ox. e轴正向交于C,与终边交于A，有A cos =,Sn二，C 1,0又角一2的终边在点A、C的对称轴上，或为射线 OB，或为射线OB ,e而直线BB 的方程为y=xtar。由AC丄BB 知

9、2日 1-c o Stan，又 AC 的中点在 BB 上，有2 si nsin v 1 - cos 丄口”丄sin 二=-tan，即 tan =。22221 costcrn,sin 二 1-cos n所以tan21 + cos 日si n 日7、证明对a, b不为0,已知条件表明，不同的两点Acosr,sinr ,Bcos，sin：在直线ax by = c上,又 AB 所确定的直线方程为sinv-sinx-cos：；卜cosv-cos：: y - sin = 0日沁日+半日xcosysincos2 2由两点确定一条直线知，重合,2aQ +tp cos2b_0 +P sin2cQ -tp cos2a V3fc43Aja 1 B(b,0 )CJ-c2 2J |AB| 即得所