概率初步.几何概型

1、几何概型本节内容、几何概型及其概率公式(1 )几何概型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型.(2)几何概型的概率公式设几何概型的基本事件空间可表示成可度量的区域门，事件A所对应的区域用 A表示(A二)，A的几何度量 门的几何度量二、几何概型中概率为 0和1的理解如果随机事件所在区域是一个单点，由于单点的长度、面积、体积均为0，则它的概率为0，但它不是不可能事件，即概率为0的事件不一定是不可能事件；如果一个随机事件所在区域是全部区域扣除一个单点，则它的概率为 1，但它不是必然事件，即概率为 1的事件不一定为必然事件.

2、本节例题题型一维情形【例1】【例2】在区间1.0,10 1中任意取一个数，则它与 4之和大于10的概率为两根相距3m的木杆上系一根拉直的绳子，并在绳子上挂一彩珠，则彩珠与两端距离都大于 1m的概率为(【例3】一个路口的红绿灯，红灯亮的时间为30秒,黄灯亮的时间为 5秒，绿灯亮的时间为 40秒,当你到达路口时，看见下列三种情况的概率各是.(1)红灯;(2)黄灯；(3)不是红灯.【例4】平面上有一组平行线，且相邻平行线间的距离为3cm，把一枚半径为1cm的硬币任意投掷在这个平面上,则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是(【例5】在圆心角为150的扇形AOB中，过圆心O作射线交弧 AB于P，则同时满足

3、： AOP 45。且【例6】BOP 75的概率为点A为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B，则劣弧AB的长度小于1的概率为题型二二维情形【例7】某人向一个半径为6的圆形标靶射击，假设他每次射击必定会中靶,且射中靶内各点是随机的,则此人射击中靶点与靶心的距离小于2的概率为(11 11A .B. C. D.-13942【例8】 在边长为1的正方形ABCD内任取一点P,则点P到点A的距离小于1的概率为.【例9】 在直角坐标系xOy中，设集合门-(x, y)0 x 1,0 y 1?，在区域门内任取一点P(x,y),则满足x y w1的概率为【例10】如图，在边长为25的正方形中挖去边

4、长为 23的两个等腰直角三角形，现有均匀的粒子散落在 正方形，问粒子落在中间带形区域的概率为 .【例11】在平面直角坐标系xOy中，设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D中随机投一点，则所投的点落入E中的概率为.【例12】向面积为S的ABC内任投一点P，则随机事件 “PBC的面积小于-”的概率为3【例13】如右图，向圆内投镖，如果每次都投入圆内，那么投中正方形区域的概率为.21A .nB.n21C .3D .3【例14】如下图所示，ABCD是正方形，E、F、G、H分别是AD、BC、AB、CD的中点，三只麻雀分别落在这三个正方形木板上休

5、息，它们落在所在木板的任何地方是等可能的，麻雀落在甲、乙、丙三块木板中阴影部分的概率分别是P1、P2、P3,则()FB F C屮A . P1P2= P3B . P1P2P2= P3【例15】已知函数f x - -x2，ax-b.若a、b都是从区间0, 4内任取的一个数，则f ( 1)0成立的概率为.【例16】设有关于x的一元二次方程x2 2ax b2二0.若a是从区间0, 3任取的一个数，b是从区间0 , 2任取的一个数，则上述方程有实根的概率为【例17】平面上一长12 cm，宽10 cm的矩形ABCD内有一半径为1 cm的圆0 （圆心O在矩形对角线交点处）把一枚半径为1 cm的硬币任意掷在矩

6、形内（硬币完全落在矩形内），则硬币不与圆0相碰的概率为【例18】小明的爸爸下班驾车经过小明学校门口，时间是下午6:00到6:30，小明放学后到学校门口的候车点候车，能乘上公交车的时间为5:50到6:10，如果小明的爸爸到学校门口时，小明还没乘上车，就正好坐他爸爸的车回家，问小明能乘到他爸的车的概率为【例19】甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟，过时即离去，则两人能会面的概率为 题型三三维情形【例20】在500 mL的水中有一个细菌， 现从中随机取出2mL水样放到显微镜下观察， 则发现这个细菌的概率是（）A 0.004B 0.002C. 0.04D 0.0

7、2【例21】在棱长为a的正方体ABCD A1 B1C1D1 内任取 一点P,则点P到点A的距离小于等于 a的概率为（)A.三B 21 C -DJI2266【例22】一只小蜜蜂在一个棱长为 30的正方体玻璃容器内随机飞行若蜜蜂在飞行过程中与正方体玻璃容器6个表面中至少有一个的距离不大于10,则就有可能撞到玻璃上而不安全；若始终保持与正方体玻璃容器 6个表面的距离均大于 10,则飞行是安全的，假设蜜蜂在正方体玻璃容 器内飞行到每一位置可能性相同，那么蜜蜂飞行是安全的概率是（）16C.27课堂练习【练1】 长为1米得木棍折成任意长三段，这三段构成三角形的概率为【练2】 实数a,b满足a2+ b2 1

8、 ,则关于x的方程x2 -2x a b = 0无实数根的概率为 ! T ： x : 122【练3】用计算机产生随机二元数组成区域 _2 . y . 2，对每个二元数组（X, y），用计算机计算x2y2的值，记（X, y）满足x2y21为事件A，则事件A发生的概率为 【练4】y乞x 1不等式组y兰0表示的平面区域为X 1-1，不等式组Jy兰冈十1表示的平面区域为y-0M 若在区域 门内随机取一点P，则点P在区域M内的概率为 【练5】 某游戏规则如下：随机地往半径为1的圆内投掷飞标，若飞标到圆心的距离大于1 、，则成绩2111为及格；若飞标到圆心的距离小于 一，则成绩为优秀；若飞标到圆心的距离大于

9、 一且小于一，442贝倣绩为良好，那么在所有投掷到圆内的飞标中得到成绩为良好的概率为.【练6】 利用计算机产生01之间的均匀随机数 a，则时间3a_1 .0”发生的概率为 【练7】在区间1,3上随机取一个数 x，使得x1 一仪-2|_1成立的概率为【练8】已知X可以在区间-2t,3t ( t 0)上任意取值，则1B. 一21C.6【练9】已知函数f (x)二 ax2 _2bx -1 ,其中实数a b - 6 _ 0 Ia, b满足a 0b 0则函数yf (x)在区间2,:上是增函数的概率是(C.课后练习【题1】已知一个正方形及其它的外接圆，随机向圆内抛一粒豆子，则豆子落入正方形外的概率为.【题2】 已知- x, y x亠0, y亠0,x y三6,A = x, y x込4, y亠0,x - 2y亠0,若向区域内随机投一点P,则点P落在区域A内的概率为 .【题3】在1万平方千米的大陆架海域中有40平方千米的大陆架储藏着石油，假设在海域中任意一点钻探，钻到油层面的概率为 .【题4】设A为圆周上一定点，在圆周上等可能的任取一点P与A连结，求弦长超过半径的、3倍的概率为.S【题5】 在面积为S的厶ABC的边AB上任取一点，则 PBC的面积大于一的概率为 .4【题6】 在长为12 cm的线段AB