湖南省三湘名校2019届高三第二次大联考数学(理)试题14页

1、三湘名校教育联盟2019届高三第二次大联考理科数学一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已经集合，则A B C D2.复数的共轭复数为A B C D3.下列说法正确的是A若命题“”为假命题，则，均为假命题 B“”是“”的必要不充分条件 C命题“若，则”的逆否命题为真命题 D命题“，使得”的否定是：“，均有” 4.已知等差数列的前项和为，则数列的前2018项和为A B C. D5.将甲、乙、丙、丁四位老师分配到三个班级，每个班级至少一位老师，则共有分配方案A81种 B256种 C. 24种 D36种6.2018年9月24日，

2、阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主、英国著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学界的震动.在1859年，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为论小于某值的素数个数的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想.在此之前，著名数学家欧拉也曾研究过这个问题，并得到小于数字的素数个数大约可以表示为的结论.若根据欧拉得出的结论，估计10000以内的素数的个数为（素数即质数，计算结果取整数）A1089 B1086 C.434 D1457.已知数列满足，则的最小值为A B C. D108.某几何体的三视图如图所示，其中正视图中的曲线为圆弧的一部分，则该几何体的体积为A B C. D9.已知直线，为

3、抛物线上任意一点，则点到直线与的距离之和的最小值为A2 B C. 1 D10.已知，满足约束条件，若的取值集合为，且，则实数的取值范围是A B C. D11.已知函数，若方程恰有两个不同的实数根，则的最大值是A-1 B C. D12.已知函数，对任意的恒有，且在区间上有且只有一个使得，则的最大值为A B8 C. D二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知倾斜角为的直线的斜率等于双曲线的离心率，则 14.在区间内任取一个实数，在区间内任取一个实数，则点位于曲线的图像上方的概率为 15.如图，在同一平面内，点位于两平行直线，同侧，且到，的距离分别为1，2.点，分别在，上，则

4、的最大值为 16.如图，在棱长为2的正方体中，、分别为棱、的中点，是线段上的点，且，若、分别为线段、上的动点，则的最小值为 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：60分17. 已知，分别为内角，的对边，.（1）求的值；（2）若，为边上的点，且，求的长.18. 如图，菱形与正所在平面互相垂直，平面，.（1）证明：平面；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.19. 某种产品的质量以其质量指标值来衡量，质量指标值越大表明质量越好，记其质量指标值为，当时，产品为一等品；当时，产

5、品为二等品；当时，产品为三等品.现有甲、乙两条生产线，各生产了100件该产品，测量每件产品的质量指标值，得到下面的试验结果.（以下均视频率为概率）甲生产线生产的产品的质量指标值的频数分布表：指标值分组频数10304020乙生产线产生的产品的质量指标值的频数分布表：指标值分组频数1015253020（1）若从乙生产线生产的产品中有放回地随机抽取3件，求至少抽到2件三等品的概率；（2）若该产品的利润率与质量指标值满足关系：，其中，从长期来看，哪条生产线生产的产品的平均利润率更高？请说明理由.20. 已知椭圆的离心率为，其上焦点到直线的距离为.（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线交椭圆于，两点.试探

6、究以线段为直径的圆是否过定点？若过，求出定点坐标，若不过，请说明理由.21. 已知函数.（1）求函数在区间上的最大值；（2）证明：，.（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.【选修4-4：坐标系与参数方程】 在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标，曲线的极坐标方程为.（1）写出曲线的直角坐标方程与直线的极坐标方程；（2）若直线与曲线交于点（不同于原点），与直线交于点，求的值.23. 【选修4-5：不等式选讲】已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若不等式有解，求实数的取值范围.试卷答案

7、一、选择题1-5: CCCAD 6-10:BCBBD 11、12：BC10.【解析】作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，其中，的最值一定在顶点处取到，所以，解得：11.【解析】作出的函数图像如图所示：由可得，即.不防设，则，令，则，令，则，当时，当时，当时，取得最大值.12.【解析】由题意知，则，其中，故与同为奇数或同为偶数.在上有且只有一个最大值，且要求最大，则区间包含的周期应该最多，所以，得，即，所以当时，为偶数，此时，当或或时，都成立，舍去；当时，为奇数，此时，当且仅当时，成立.二、填空题13. 14. 15.6 16.15.6 过点作的垂线为轴，以为轴，建立平面直角坐标系，设

8、，所以，由，可知，或，16.首先的最小值就是到的距离.连接交于，连接，则平面，故，从而的最小值，可知为的中点，为的四分之一.其次，连接，在线段上取点，使，连接，则，从而，最后，连接交于，则当为时，取得最小值，所求最小值为.正方体的棱长为2，.三、解答题17. 解析：（1）由得：即、是的内角，因此，又，故 由得：（2）由得：由正弦定理得：， 在中，18 解析：（1）如图，过点作于，连接，. 平面平面，平面，平面平面于 平面.又平面，.， 四边形为平行四边形. ， 平面，平面，平面.（2）连接.由（1）得为中点，又，为等边三角形，.分别以，为轴建立如图所示的空间直角坐标系.则，.，设平面的法向量为

9、.由，得令，得.， 直线与平面所成角的正弦值为.19. 解析：（1）由题意知，从乙生产线生产的产品中随机抽取一次抽中三等品的概率为， 所以.（2）甲生产线生产的产品的利润分布列为0.60.4所以，乙生产线生产的产品的利润分布列为0.50.40.1所以 ，因为，所以所以从长期来看，甲生产线生产的产品平均利润率较大20. 解析：（1） 由题意，所以，.又，所以，故椭圆的方程为（2）当轴时，以为直径的圆的方程为当轴时，以为直径的圆的方程为.可得两圆交点为由此可知，若以为直径的圆恒过定点，则该定点必为下证符合题意设直线的斜率存在，且不为0，则方程为，代入并整理得， 设，则， ，所以故，即在以为直径的圆上综上，以为直径的圆恒过定点21. 解析：（1），知：在和上递减，在上递增，当时，；当时， 故（2）由（1）知在和上递减，在上递增，当时，而，故在上递增，即；当时，令，则，故在上递增，上递减，即，综上，. 22. 解析：（1）