超对称可积系统的玻色化和精确解毕业论文

1、毕 业 论 文2013届 超对称可积系统的玻色化和精确解 学生姓名 学 号 09103118 院 系 数理信息学院 专 业 物理学 指导教师 完成日期 2013年5月25日 超对称可积系统的玻色化和精确解摘 要 在量子场论和非线性方程中，运用超对称几乎是同时进行的。非线性方程进行超对称化扩展后拥有的特性是在超对称变换下系统不变并且在费米场趋向于零时回归到普通方程，进行超对称化扩展的非线性方程是一个玻色场和费米场相耦合系统。超对称方程的重要性已经在众多学者从物理学领域中进行的相关研究里得到充分体现。对超对称方程进行玻色化可以避开因常规方法在处理棘手的反对易费米子领域时所遇到的困难。 本文首先介绍

2、skdv方程和sito方程，然后逐步引出两、三个费米子参数的玻色化skdv方程和sito方程，最后得到n费米子参数的玻色化skdv方程和sito方程。并对这些玻色化的超对称方程利用形变映射法构造其精确解。关键词 超对称方程；玻色化；行波解bosonization supersymmetric integrable systems and the exact solutionabstract in the quantum field theory and nonlinear equations, using the supersymmetry is almost at the same time

3、.the characteristics of nonlinear equations are supersymmetric extensions with the supersymmetry transformation system unchanged and in the fermi field tends to zero return to ordinary equation,for the nonlinear equation of supersymmetric extensions is a bose and fermi field coupled system.fully ref

4、lected the importance of the research of supersymmetry equations have been carried from the field of physics in many scholars. for bosonization of supersymmetry equations can be avoided for the conventional method in the treatment of intractable anticommuting fermion fields encountered difficulties.

5、 this paper first presents the skdv equation and sito equation,then gradually raises the two or three fermion parameter bosonization of skdv equation and sito equation, the n fermion parameters obtained the bosonization of skdv equation and sito equation.and these bosonization supersymmetry equation

6、s using the mapping method to construct the exact solution.key words supersymmetry equations;traveling wave solutions;bosonization目 录中文摘要i英文摘要ii目录iii引言11. 两费米子skdv方程和sito方程的玻色化研究31.1 两费米子情况下skdv方程和sito方程的玻色化31.2形变映射法构造skdv方程和sito方程的精确解42. 三费米子skdv方程和sito方程的玻色化研究72.1三费米子情况下skdv方程和sito方程的玻色化72.2形变映射法构

7、造skdv方程和sito方程的精确解83. n费米子skdv方程和sito方程的玻色化研究113.1 n费米子情况下skdv方程和sito方程的玻色化113.2 形变映射法构造skdv方程和sito方程的精确解134. 结论14参考文献14致 谢16引言 作为一门基础学科的非线性科学主要研究一些在非线性现象中所体现出的共同性质。从二十世纪六十年代以来，非线性科学从相关以非线性为特征的分支学科的基础之上进行了逐步发展。非线性科学被誉为是本世纪自然科学继相对论、量子力学之后的“又一次大革命”。非线性科学所涉及到的学科范围之广是令人惊叹的，自然和社会科学各个领域都能发现的非线性科学使得人们对现实世界

8、的传统看法得到颠覆性的改变。对非线性科学的研究不但在自然科学上有重大的意义，而且对社会科学中相关决策国计民生和利用人类生存环境等问题上也有着不可估量的实际意义。物理学中，非线性的相关问题出现已久。在过去，物理学中研究动力学问题都局限于容易求解的线性系统，然而实际的自然现象和社会现象的动力学规律都需要利用非线性的方程来表示。线性系统所常用的叠加法在非线性系统中想要解决问题是如此困难以致在更多的情况下完全是无效的。在诸多学者对非线性方程的大量研究下，目前，解析方法和数值方法成为了用于求解非线性微分方程的重要手段。随着上个世纪六十年代计算机技术的迅猛发展，人们可以比较简便的用数值方法求得一般非线性方

9、程的精确解。相关的非线性方程内容在物理领域中也随着研究的深入而逐渐丰富。在量子场论和非线性方程中，运用超对称几乎是同时进行的。非线性方程进行超对称化扩展后的特点是在超对称变换下系统不变并且在费米场趋向于零时回归到普通方程。物理领域中，玻色子和费米子具有不同的自旋以及不同的统计性质说明了超对称并不是将一个玻色场和一个费米场进行简单的结合，进行超对称化扩展的非线性方程是一个玻色场和费米场相耦合系统。超对称方程的重要性已经在众多学者从物理学领域中进行的相关研究里得到充分体现。对非线性方程超对称化的研究首先起源于二十世纪七十年代初期由理论物理学家提出的统一场论，随后逐渐发展起来的超分析、超几何、超代数

10、理论都是由数学家基于前者进行的。随着现代科学研究正进行着迅猛发展，近40年以来，人们已经得到了多个超对称化的可积的非线性方程，比较著名的有korteweg-de vries(kdv)方程,modified korteweg-de vries(mkdv)方程，sine-gordon方程1，ito方程以及经典boussinesq方程2。其中超对称kdv(supersymmetric kdv)方程是已经被人们广泛研究一类重要的有许多超对称推广的系统。它是荷兰数学家korteweg和他的学生de vries在1895年研究浅水波运动时所得到的，同时发现的skdv方程孤立解证明了相应孤子理论的正确性。s

11、kdv系统具有painlev属性3，是双hamilton结构4,5，它能够进行darboux变换6，它具有双线性形式， backlund变换（bt），lax对和无穷多守恒定律等性质。求解超对称方程精确解的方法并不是唯一的，如今发展起来的hopf-cole变换、逆散射法7,8、双线性hirota方法9 、齐次平衡法、backlund变换法、darboux变换法、常系数riccati展开法和tanh函数法、dressing方法等都是比较经典的求解方法。其中双线性hirota方法是由hirota为了求出kdv方程的多孤子解而在1971年发展起来的一种方法，现已经成为求非线性偏微分方程孤子解最普遍的方

12、法。双线性hirota方法适用于方程组中多个方程的多孤子求解。这种方法主要将方程通过变量代换化为双线性方程，然后运用摄动理论寻找该方程的孤子解。然而，由于反对易的费米领域会带来一些在处理超对称方程的困难，得到超对称系统的精确解比纯玻色子系统困难得多。正基于此，安德列等人将超对称方程进行玻色化来获得新的可积的玻色系统，如玻色化的supersymmetric kdv(skdv)方程，supersymmetric ito(sito)方程。其本质就是得到消去了费米子的方程组，从而避开反对易费米领域。使得方程的求解简化。 n = 1时skdv方程的形式， （0-1） 通过扩展经典的时空（x，t）建立一个

13、超时空（，x，t），其中是格拉斯曼变量，u是一个费米子场。 （0-2）这导致了一个非平凡的结果 (0-3)其中 是协变导数，方程（0-3）成为： （0-4） （0-5）其中u和是玻色子和费米子各自组成的领域，在公式（0-4）(0-5)中消去，这仍然是通常的经典的kdv方程。众所周知的ito方程为: (0-6)这是第一次提出的ito方程和它的双线性backlund变换，lax对和多孤子等得到的解决方案10。由于ito方程具有一个孤立子方程的典型特性，大量对ito方程的研究已经进行。这个可积的方程，如kac-moody代数、双hamilton结构、非线性叠加公式可积等性质得到了进一步的发现。最近，

14、超对称ito方程的一个，两个和三个孤子解已经得到。n=1时slto方程为： （0-7）其中是协变导数。它是在通常的空间变量（x，t）上所建立的超时空变量（，x, t），是格拉斯曼变量，u是一个费米场。组件（0-7）的版本成为： （0-8） （0-9）其中u和分别是玻色子和费米子组件领域。当费米子领域消失，超对称系统就退化为已知的经典方程（0-6）。本文下面章节将逐步引出两个和三个费米子的玻色化skdv方程和sito方程，最后得到n个费米子参数的玻色化skdv方程和sito方程。并对这些玻色化的超对称方程利用形变映射法构造其精确解。1. 两费米子skdv方程和sito方程的玻色化研究1.1 两费

15、米子情况下skdv方程和sito方程的玻色化 首先，在kdv方程中，对和u的组件领域的形式扩展为 （1-1） （1-2）是两个格拉斯曼参数，而系数pp（x，t），qq（x，t），（x，t）和 （x，t）是相对时空（x，t）四常用的复杂的功能变量，然后skdv系统（1-1）（1-2）改为 （1-3） （1-4） （1-5） （1-6） 这是在两费米子参数情况下的玻色化skdv系统（1-3）-（1-6），式（1-3）正是通常的已被广泛研究的kdv方程。式（1-4）和（1-5）分别在p和q均匀时是线性的，在式（1-6），是线性非齐次的。因此，在原则上，这些方程可以容易解决的。这是玻色化方法解决skd

16、v方程的一个优点。 对ito微分方程的超对称扩展是一个交换耦合方程系统和反对易的领域。为了避免在处理超对称方程费米子场反交换的困难，扩展组件领域和两个费米子参数的u。 （1-7） （1-8） 其中是两个格拉斯曼参数，而参数，和是相对于时空变量x和t四常用或复杂的函数。然后，将（1-7）-（1-8）替代到ito系统（0-8）-（0-9），我们得到的方程： （1-9） （1-10） （1-11） （1-12）上面的方法只是两个费米子参数情况下对lto系统（0-8）-（0-9）的玻色化程序。方程（1-9）正是通常已经被广泛的研究的ito微分方程11-13。方程（1-10）（1-11）分别在和是线性的

17、，均匀的。在方程（1-9）-（1-12）是线性非齐次方程。这些方程原则上通常是可以轻松解决的纯玻色子系统。这是玻色化方法的优点所在。1.2形变映射法构造skdv方程和sito方程的精确解首先考虑纯玻色方程（1-3 ）-（1-6）的行波解。其行波变量，其中k，和为常数，（1-3）（1-6）转化为常微分方程（ode）系统 （1-13） （1-14） （1-15） （1-16） 备注：行波在超空间=，与在那些通常的时空 x，t ，格拉斯曼常数是不同的。此后，行波解的讨论只在通常的时空 x，t 而不在超空间 x，t，。显然，式（1-13）是众所周知的行波化的kdv方程的周期波解，包括孤波的解决方案。为

18、了解决ode系统（1-13）（1-16），我们尝试建立行波解的经典的kdv方程和skdv方程之间的形变映射关系，然后构造skdv方程和kdv方程的精确解。首先从式（2-7）解决。结果表示为 (1-17)其中和为两个积分常数，=1。唯一的非齐次线性常微分方程（1-16）可以一次直接集成，成为 (1-18)其非齐次项 (1-19)其中是一个积分常数。为了得到p，q和的映射关系，我们介绍变量变换如下 (1-20) 使用转换（1-20），通过等式（1-17）消除，该线性常微分方程（1-14）（1-15）以及（1-18）改为 （1-21） （1-22） (1-23)其中 (1-24) 在此基础上，构造形

19、变映射关系为 (1-25) (1-26) 其中是任意的常数，而且有如下方程 从（1-25）-（1-26）的关系，为得到的解决方案可以从式（1-23）作为 (1-27)其中和是两个积分常数。因此，我们得到一般的两个费米子参数的skdv系统的行波解 * (1-28) (1-29)是通常为已知的kdv方程的解。 现在考虑玻色化sito方程（1-9）-（1-12）的行波解。介绍行波变量与常数k，和，（1-9）-（1-12）转化为普通微分方程（组） （1-30） （1-31） （1-32） （1-33） 为了求得（1-30）精确解，我们试图建立一般ito方程和sito方程之间的行波解的映射和形变的关系，

20、然后去与已知的ito方程解决方案结合得到方程的精确解。 首先，从（1-30）解出 （1-34） 为了简化（1-33），我们将线性非齐次方程整体化一次 （1-35） 为积分常数。为了得到的，的映射关系，我们引入了变量变换如下 （1-36） 使用转换（1-36），通过（1-34）消去，线性常微分方程（1-31）-（1-32）以及（1-35）成为 （1-37） （1-38） （1-39） 其中 （1-40） 通过（1-37）-（1-40）构造形变映射关系 （1-41） （1-42） （1-43） 是任意常数。在（1-43）可以通过得到的解。如果我们知道的解，再考虑（1-41）-（1-43），（1-3

21、6）和（1-24）-（1-25），那么两个费米子参数系统的行波解都会得到。在这里，我们列出一个解决方案为例。的解决方案可以使用（1-34）表示为如下形式 （1-44）替代（1-44）到（1-41）-（1-43）并且组合（1-36）和（1-7）-（1-8），我们可以得到的sito系统的解决方案。2. 三费米子skdv方程和sito方程的玻色化研究2.1三费米子情况下skdv方程和sito方程的玻色化 对于skdv方程，在三格拉斯曼参数和的情况下，和u的领域扩展为 （2-1） （2-2） 其中的系数，pipi（x，t）（i1，2，3，4）和u，u（x，tj）（j = 0，1，2，3）是八个真实的或

22、复杂的玻色函数的显示变量。然后skdv系统（1-7）（1-8）改变为 （2-3） （2-4） （2-5） (2-6)正是类似于以前的案例，系统（2-3）（2-6）也没有费米子数量。此外，方程（2-3）正是kdv方程。其余七个方程的线性分别为和。它的方程数量被观察到非均匀的增加，使寻找这种玻色子的skdv系统有些复杂。 对于sito方程，在三格拉斯曼参数和的情况下，构件和u的领域扩大为 (2-7) (2-8)是格拉斯曼参数，是八个常用函数，则sito方程变为 (2-9) (2-10) (2-11) (2-12)方程（2-9）-(2-12)是三费米参数的玻色化sito系统。2.2形变映射法构造sk

23、dv方程和sito方程的精确解 首先考虑玻色化的skdv方程，行波变量，其中k，和为任意常数，玻色系统（2-3）-（2-5）成为 (2-13) (2-14) (2-15) (2-16)式（2-13）和（1-34）是一样的这是很明显的，而方程组（2-14）（2-16）类似于（1-35）（1-36）。最后一个方程的左边系数与方程组（2-14）（2-16）一致，但它的右边和相关，不一定为零。为了解决常微分方程组（2-14）（2-16），以下的方法在上一节中曾经采用，我们首先解决和。整合非齐次常微分方程（2-15）（2-16）一次，我们有 (2-17) (2-18) (2-19)其中和为常数。考虑到变

24、量变换 (2-20)以及使用（2-20）消除，我们可以将常微分方程（2-14）（2-16）和（2-17）化为， (2-21) (2-22) (2-23)其中 (2-24) (2-25)重复最后一段过程，一般可以得到三个费米子参数skdv系统的行波解 (2-26) (2-27) (2-28)其中是任意常数，并且。 现在要得到玻色化sito方程（2-9）-(2-12)的行波解。先介绍行波变量，（2-9）-(2-12)转化为常微分方程 (2-29) (2-30) (2-31) (2-32)利用在上一节中所采用的方法，我们可以获得非齐次微分方程（2-33）-（2-34） (2-33) (2-34)是任

25、意的常数。我们利用变量变换方法进行如下的考虑 (2-35)通过（2-35）变换和消除，线性常微分方程可以由（2-29）变为 (2-36) (2-37) (2-38)其中 (2-39)一般三费米子参数的行波解可以通过（3-41）得到 (2-40) (2-41) (2-42)是任意常数。3. n费米子skdv方程和sito方程的玻色化研究3.1 n费米子情况下skdv方程和sito方程的玻色化 对于n2个费米子的参数的skdv系统，组件域和u可以扩大为 (3-1)其中和的系数为实数或复数的经典时空变量（x，t）的玻色函数。替代式（3-1）为skdv模型，我们得到以下的玻色系统的方程 (3-2) (

26、3-3) (3-4)其中变换算符为 现在考虑n2费米子参数的sito系统。其组件域和u可以展开为 (3-5) (3-6)，的系数为实数或复数的经典时空变量（x，t）的玻色函数。替代（3-6）为模型，我们得到以下的玻色系统的方程 (3-7) (3-8) (3-9)其中 (3-10)3.2 形变映射法构造skdv方程和sito方程的精确解 一般n个费米子参数的skdv方程的行波解可以写为 (3-11)其中 (3-12) (3-13) (3-14) (3-15)其中代表kdv方程（4-2）的解。，是任意的常数。 一般n费米子参数sito方程的行波解可以写为 (3-16)其中 并且 (3-17)代表一

27、般ito方程的解，是任意常数。4. 结论 由于超对称系统所具有的的广泛意义使得将非线性方程超对称化成为了一项重要的工作。近年来，人们已经得到了多个超对称化的可积非线性方程：korteweg-de vries(kdv)方程,modified korteweg-de vries(mkdv)方程，sine-gordon方程，ito方程以及经典boussinesq方程等。求解超对称方程精确解的方法并不唯一，如今发展起来的hopf-cole变换、逆散射法、双线性hirota方法、齐次平衡法、backlund变换法、darboux变换法、常系数riccati展开法和tanh函数法、dressing方法等都

28、是比较经典的求解方法。但由于反对易的费米领域会带来一些在处理超对称方程的困难，得到超对称系统的精确解比纯玻色子系统困难得多。所以本文采用玻色化方法来研究skdv方程和sito方程从而避开反对易费米领域使求解简化。 首先，本文介绍经典的skdv方程和sito方程，然后引出两个、三个和n个费米子的耦合玻色系统。该系统通常是微分方程和一些线性微分方程。接着利用形变映射法，得到了玻色化系统的精确解。不仅skdv方程和sito方程能够进行玻色化扩展，其他超对称方程也是可以利用这样的玻色化扩展方法，mkdv方程和 schrodinger方程就是一个可以进行继续研究的例子。通过玻色化过程所得到的结论与通过其他方法所得到的结论是完全不同的，如双线性方法得到的结论。玻色化程序不仅能够有效地适用于超对称可积系统而且能够适用于其他不可积的超对称系统。该方法将是解决这些问题的强大的工具，今后在这些方面值得我们去学习和研究。参考文献1 ablowitz m j, kaup d j, newell a c, etal. method for solving the sine-gordon equationj. phys. re