微分方程求解

1、(7)学习目的:学习重点 学习难点 学习内容第一节微分方程的基本概念理解并掌握微分方程的基本概念， 主要包括微分方程的阶，微分方程的通解、特解及微分方程的初始条件等常微分方程的基本概念，常微分方程的通解、特解及初始条件 微分方程的通解概念的理解1、首先通过几个具体的问题来给出微分方程的基本概念。(1) 一条曲线通过点(1，2)，且在该曲线上任一点M (x,y)处的切线的斜率为2X,求这条曲线的方程。解设曲线方程为y y(x).由导数的几何意义可知函数y y(x)满足dx 2x(1)同时还满足以下条件:X 1 时，y(2)把(1)式两端积分，得(11)欢迎下载32xdx 即yX2C其中C是任意常

2、数。把条件(2)代入(3 )式，得由此解出C并代入(3)式，得到所求曲线方程:0.4m/s2.(2)列车在平直线路上以 20 m/s的速度行驶；当制动时列车获得加速度问开始制动后多少时间列车才能停住，以及列车在这段时间里行驶了多少路程?解设列车开始制动后t秒时行驶了 s米。根据题意，反映制动阶段列车运动规律的函数s s(t)满足:噢0.4dt2此外，还满足条件:（5）式两端积分一次得:dsdt再积分一次得其中Ci,C2都是任意常数。把条件“ t 0时V 20 ”和“C1把G,C2的值代入（7）及（8）式得dss 0,V 不 200.4t C10.2t2CitC2(8)分别代入（7）式和（8）式

3、，得20,C2V 0.4t20,(9)s 0.2t220t(10)在（9）式中令V 0，得到列车从开始制动到完全停止所需的时间:t 04 50（s）。再把t 5代入（10）式，得到列车在制动阶段行驶的路程2s 0.2 50220 50500(m).上述两个例子中的关系式（1 ）和（5）都含有未知函数的导数，它们都是微分方程。2、定义 一般地，凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系到的方程，叫做微分方程。未知函数是一元函数的方程叫做常微分方程;未知函数是多元函数的方程,叫做偏微分方程。本章只讨论常微分方程。微分方程中所出现的求知函数的最高阶导数的阶数，叫做微分方程的阶。例如，方程（1）

4、 是一阶微分方程；方程（5）是二阶微分方程方程。又如，方程y 44y 10y 12y 5y sin 2x是四阶微分方程。般地，n阶微分方程的形式是F(X, y, y,y(n) 0,其中F是个n 2变量的函数。这里必须指出，在方程（11）中，y（n）是必须出现的，而(12)x, y, y,y（n 1）等变量则可以不出现。例如n阶微分方程y(n)10中，除y（n）外，其他变量都没有出现。如果能从方程（11）中解出最高阶导数，得微分方程(n)Y f(X,y,y,y(n 1).欢迎下载5且（12）以后我们讨论的微分方程都是已解出最高阶导数的方程或能解出最高阶导数的方程, 式右端的函数f在所讨论的范围内

5、连续。由前面的例子我们看到，在研究某些实际问题时，首先要建立微分方程，然后找出满足微分方程的函数，就是说，找出这样的函数，把这函数代入微分方程能使该方程成为恒等式。这个函数就叫做该微分方程的解。确切地说，设函数y （X）在区间I上有n阶连续导数，如果在区间I上,Fx, (X),(X),n(X)0,那么函数y（X）就叫做微分方程（11）在区间I上的解。例如，函数（3）和（4）都是微分方程（1）的解；函数（8）和（10）都是微分方程（5） 的解。如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的 解叫做微分方程的通解。例如，函数（3）是方程（1）的解，它含有一个任意常数，

6、而方程（1 ）是一阶的，所以函数（3）是方程（1）的通解。又如，函数（8）是方程的解，它含有 两个任意常数，而方程（5）是二阶的，所以函数（8）是方程（5）的通解。必须由于通解中含有任意常数，所以它还不能完全确定地反映某一客观事物的规律性, 确定这些常数的值。为此，要根据问题的实际情况提出确定这些常数的条件。例如，例 中的条件（2），例2中的条件（6），便是这样的条件。设微分方程中的未知函数为y y（X），如果微分方程是一阶的，通常用来确定任意常数的条件是X Xo 时，yyo，或写成y |x Xoyo其中Xo, y。都是给定的值；如果微分方程是二阶的，通常用来确定任意常数的条件是:或写成Xo

7、时，yyo， y yoy |x xo yo，y|xxo yo其中Xo，yo和yo都是给定的值。上述条件叫做初始条件。确定了通解中的任意常数以后,就得到了微分方程的特解。例如（4）式是方程（1）满足条件（2）的特解；（10）式是方程（5）满足条件（6）的特解。求微分方程y f（x,y）满足初始条件 y |x x0y 0的特解这样一个问题，叫做一阶微分方程的 初值问题，记作y f(x,y), y |x xo yo.(13)微分方程的解的图形是一条曲线，叫做微分方程的积分曲线。初值问题（13）的几何意义是求微分方程的通过点（xo ,yo）的那条积分曲线。二阶微分方程的初值问题y f(x,y,y),y

8、ixxo yoylxxo yo的几何意义是求微分方程的通过点（xo, yo）且在该点处的切线斜率为yo的那条积分曲线。3、例题例1验证：函数Ci cosktC2 sin kt(14)欢迎下载7是微分方程(15)咚k2xdt2的解。求出所给函数（14）的导数dxdtkC1 sin ktkC2 coskt,d2xdt22k C1 cos kt2k C2sin kt2k (C1 coskt C2sin kt)把IJS及x的表达式代入方程（dt215)得2k (C1 coskt2C2 sin kt) + k (C1 coskt C2 sin kt) 0函数（14）及其导数代入方程（15）后成为一个恒等

9、式，因此函数（14）是微分方程（15)的解。小结：本节讲述了微分方程的基本概念，及一般形式，常微分方程的通解、特解及微分方程的初始问题第二节可分离变量的微分方程学习目的 学习重点 学习难点 学习内容熟练掌握可分离变量的微分方程的解法 可分离变量的微分方程的解法 可分离变量的微分方程的解法本节开始，我们讨论一阶微分方程(1)y f(x,y)的一些解法.一阶微分方程有时也写成如下的对称形式P(x, y)dx Q(x, y)dy 0在方程 中,变量x与y对称,它既可以看作是以为x自变量、y为未知函数的方程dyP(x, y)dxQ(x, y)(Q(x, y)0)，也可看作是以x为自变量、y为未知函数的

10、方程dxQ(x, y)dyP(x, y)(P (x,y)0)，在第一节的例1中，我们遇到一阶微分方程dy 2xdx.把上式两端积分就得到这个方程的通解:3）的右端含有未知yx2C。但是并不是所有的一阶微分方程都能这样求解。例如，对于一阶微分方程dy C 2 2xy dx就不能像上面那样直接两端用积分的方法求出它的通解。原因是方程（ 函数y积分dx-y，使方程（3）变为y2xy2dx求不出来。为我解决这个困难，在方程（3 ）的两端同时乘以dy2xdx， y这样，变量x与y已分离在等式的两端，然后两端积分得x2 C1x2 C其中C是任意常数。可以验证，函数（4）确实满足一阶微分方程（3），且含有一

11、个任意常数，所以它是方 程（3）的通解。般地，如果一个一阶微分方程能写成g(y)dy f(x)dx的形式，就是说，能把微分方程写成一端只含y的函数和dy ,另一端只含x的函数和dx， 那么原方程就称为可分离变量的微分方程。假定方程（5）中的函数g（y）和f（x）是连续的，设y （x）是方程的解，将它代入（5）中得到恒等式g (x) (x)dx f(x)dx.将上式两端积分，并由y （X）引进变量y，得g(y)dy f(x)dx欢迎下载9(8)设G（y）及F（x）依次为g（y）和f（x）的原函数，于是有G(y) F(x) C因此，方程（5）满足关系式（6）。反之，如果y （X）是由关系到式（6）

12、所确定的隐函数，那么在g（y）0的条件下,y（x）也是方程（5）的解。事实上，由隐函数的求导欢迎下载11法可知，当g（ y）这就表示函数y（x）满足方程（5）。所以如果已分离变量的方程（5）中g（ y）和f （x）是连续的，且g（y）0，那么（5）式两端积分后得到的关系式（6），就用隐式给出了方程（5）的解，（6）式就叫做微分方程（5）的隐式解。又由于关系式（6）中含有任意常数，因此（6） 式所确定的隐函数是方程（5）的通解，所以（6）式叫做微分方程（5）的隐式通解。例1求微分方程(7)dx 2xy的通解。解 方程（7）是可分离变量的,分离变量后得dyy2xdx两端积分dyy2xdx,Inx2

13、从而x2 C1eC1 x2e e 。C又因为 e 1仍是任意常数，把它记作C便得到方程（7）的通解2y Cex 。铀的含量就不断例2放射性元素铀由于不断地有原子放射出微粒子而变成其它元素,减少，这种现象叫做衰变。由原子物理学知道，铀的误变速度与当时未衰变的原子的含量M成正比。已知t 0时铀的含量为 Mo,求在衰变过程中含量 M（t）随时间变化的规律。解铀的衰变速度就是M（t）对时间t的导数罟。由于铀的衰变速度与其含量成正比，得到微分方程如下M,dMd?其中（0）是常数，叫做衰变系数。前的负号是指由于当t增加时M单调减少，即0的缘故。dt由题易知，初始条件为M It 0Mo方程（8）是可以分离变

14、量的，分离后得dMM dM以InC表示任意常数，因为 M 0，得两端积分In MM Ce t是方程（8）的通解。以初始条件代入上式，解得Mo Ceo故得MMoedt.dt.InC,由此可见，铀的含量随时间的增加而按指数规律衰落减。小结：本节讲述了一阶微分方程中可分离变量的微分方程，及其解法第三节齐次方程学习目的 学习重点 学习难点 学习内容熟练掌握齐次微分方程的解法齐次方程的解法齐次方程的解法1、齐次方程的形式如果一阶微分方程y f(x,y)中的函数f (x, y)可写成y的函数，即f (x, y)(丄)，则称这方程为 齐次方程。例如x(X y)dx(yx)dy 0是齐次方程，因为其可化为dy

15、 xdx x1 y x 门 x2、齐次方程f(x, y)(1)的解法。作代换u-，则yxux，于是从而分离变量得两端积分得求出积分后，再用dydxdux udxdudxdux u.dx(u)，(u) udu(u) udu(u) udxdx上代替u，便得所给齐次方程的通解。如上例x欢迎下载191 u1 udxxy y(1 In yIn x)。du x一 udx分离变量，得(1 u)du1 u2积分后，将U = y代回即得所求通解。x解方程原式可化为dydxy(1 I諾x令u = X，则x于是dydxduxdx分离变量duxdx du u I n uu(1 In u)dx两端积分得In In uI

16、n uInC故方程通解为3、练习xy2 23x y )dx2xydy小结:In uCxCxe 。xeCx。通解为通解为本节讲述了齐次方程，及其解法In yy2 Cx 1第四节 一阶线性微分方程学习目的：掌握一阶线性微分方程的形式，熟练掌握其解法；掌握利用变量代换解微分方程的方法；了解贝努利方程的形式及解法学习重点：一阶线性微分方程的形式，及解的形式，利用变量代换解微分方程学习难点：一阶线性微分方程通解的形式，利用变量代换解微分方程学习内容：、线性方程1、定义 方程dy P(x)y Q(x) ( 1)称为一阶线性微分方程。 dx特点 关于未知函数 y及其导数y是一次的。若Q(x) 0 ，称(1)

17、为齐次的;若Q(x) 0 ，称(1)为非齐次的。xy 2xy 2xe x(2) yx 1（X2、解法当 Q(x)0时，方程（1）为可分离变量的微分方程。当 Q(x)0时，为求其解首先把 Q（x）换为0，即dy(2)/ P（x）y 0 dx称为对应于（1）的齐次微分方程，求得其解P( x)dxy Ce为求（1）的解，禾U用常数变易法,u(x)代替C ,即yu(x)eP( x)dx于是,代入（1),得dydxueP (x)dxP(x)dxueP(x)P(x)dxQ(x)e dx3、例求方程P(x)dx(Q(x)eP (x)dxdx C)。(3)y (xx 1解这是一个非齐次线性方程。先求对应的齐次

18、方程的通解。dy 2ydx x 1dy 2dx y xIn y 2ln(x1) InC ,y C(x1)2用常数变易法。把 C换成u（x），即令则有dydx代入（1）式中得两端积分，得再代入（4）式即得所求方程通解另解我们可以直接应用（得到方程的通解，其中,代入积分同样可得方程通解y u(x 1)2，u(x 1)2 2u(x 1)，u (Xl(x31)2P(x)（X1)2l(x31/ C。P(x)dx(Q(x)eP(x)dxdxC)Q(x)(x51)2(x 1)2|(x 1)C，此法较为简便，因此，以后的解方程中，可以直接应用（3 ）式求解。、贝努力方程1、定义乌 P（x）y Q（x）0,1）

19、称为贝努力方程。2、0,1时，为一阶线性微分方程。解法两边同除ynn dydxP(x)y1 n Q(x)n，则有dzdx宀乎 P (x)z Q(x)1 n dx(1n)y号 dxpld-(1 n)P (x)z (1 n)Q(x)dx为一阶线性微分方程，故(1 n)P(x)dx(1 n)P (x)dxz e( (1 n)Q(x)edx C)。贝努力方程的解题步骤(1)两端同(1 n)yn代换zy1 n解关于z的线性微分方程还原解方程 xy过程略，通解为Cx5。例解方程xyyy(n xny)解令xyu，则duydy x ，dxdxdudxCx，即Cxu exye例解方程dy1dxxy解过程略，通解

20、为1x yCey。、利用变量代换解微分方程解得于是y l nu -nux小结:本节讲述了一阶线性微分方程，及贝努力方程的解法，利用常数变易法,和变量代换法来解微分方程。第五节全微分方程学习目的：掌握全微分方程成立的充要条件，掌握全微分方程的解法，会用观察学习重点:学习难点:学习内容:法找积分因子全微分方程的解法，观察法找积分因子 全微分方程的解法，观察法找积分因子1、定义若 P(x,y)dx Q(x, y)dy 0(1 )恰为某一个函数的全微分方程，即存在某个u(x, y)，使有du P(x, y)dx Q(x,y)dy，则称(1)为全微分方程。可以证明u(x, y) C是(1 )式的隐式通解

21、。2、解法 若P(x,y)， Q(x, y)在单连通域G内具有一阶连续偏导数，条件(1)式为全微分方程的充要要条件。xP(x, y)dxx0通解为u(x,y)yQ(x, y)dy C 。yo例1求解(5x4-23,3xy y )dx，-2 - 2 2(3x y 3xy y)dy4解令P 5 xc23 xy-23x y- 23xy3y2此方程为全微分方程。于是通解为 x5u(x, y)3223-x y xy2(5x40 53 2x x y213 Qr C3xy2y3)dx3xy1 33yy 2 .0 y dy3、积分因子若上yQ，则(1)式不是全微分方程，但若有一个适当函数x(x, y)，使(1

22、)式乘以(X, y)后为全微分方程，称函数 (X, y)为积分因子。般积分因子不好求，我们只要求通过观察找到积分因子。例2 方程ydx xdy0不是全微分方程，但dU)y1于是将方程乘以4，则有yydx xdy2yxx即d()0，从而一C为其通解。此时yy1为其积分因子。y注意 积分因子一般不唯一。1如上述方程，若同乘有xydxx 于是 d(ln x In y) 0，即- yC为其通解。1也是其积分因子。xy小结：本节讲述了全微分方程的解法，用观察法长积分因子，使之满足全微分方程的充要条件0第六节 可降阶的高阶微分方程学习目的 学习重点 学习难点 学习内容掌握三种容易降阶的高阶微分方程的求解方

23、法 三种可降阶的高阶微分方程的求法 三种可降阶的高阶微分方程的求法(n)yf(X)型y(n 1)则原方程可化为乎 f(x)，dx于是 zy(n 1)f (x)dx C1同理y(n 2)f(x)dx C1dxn次积分后可求其通解。其特点：只含有y(n)和x，不含y及y的1 (n 1)阶导数。解得二、y解方程 y1y 15(2xf(x,y)令 y p,贝yy1J2x 151辽 Gx2 C2X C3为其通解。p，于是可将其化成一阶微分方程。欢迎下载25特点含有y, y,x，不含y。例 2 xy y x解得通解为 yi 3 -x 9Ciln x C2三、yf(y,y)令y p,则ydpdpdydppd

24、xdydxdy于是可将其化为一阶微分方程。特点不显含x 。例 3 yy y2 y 0解化为一阶线性或可分离变量的微分方程，解得通解为ln(1 Ciy) Cix C2。小结：本节讲述了三种容易降阶的高阶微分方程及其求解方法第七节高阶线性微分方程学习目的:学习重点 学习难点 学习内容掌握二阶线性方程解的结构，齐次线性方程的通解，非齐线性方程的 特解及通解的形式。齐次线性方程的通解，非齐线性方程的特解及通解的形式。齐次线性方程的通解，非齐线性方程的特解及通解的形式。I、定义：方程 雪 P(x)dy Q(x)y f(x) (i)称为二阶线性微分方程。 dxdx当f(x) 0时称为齐次的，当 f(x)

25、0时称为非齐次的。为求解方程(1)需讨论其解的性质2、解的性质乎 P(x)乎 Q(x)y 0 dxdx(2)性质1若yi(x), y2(x)是(2)的解，贝U yCiyi(x) C2y2(x)也是(2)的解,其中Ci，C2为任意常数。称性质i为解的叠加原理。但此解未必是通解，若 yi(x) 3y2(x)，则yi(x) (C2 3Ci)y2(x)，那么Ci y（X）C2 y （X）何时成为通解？只有当 y与y?线性无关时。1(,kn线性相关设y1,y2,|,yn是定义在区间I内的函数，若存在不全为零的数 匕*2,使得k1y1 k2y2 IH kn yn 0恒成立，则称y1, y2,1 L yn线

26、性相关。线性无关不是线性相关。2 2如： 1,cos x,sin x线性相关,21,x,x线性无关。对两个函数，当它们的比值为常数时，此二函数线性相关。若它们的比值是函数时,线性无关。性质2若yi（x）, y2（x）是（2）的两个线性无关的特解，那么y Ciyi(x) C2y2(x)（Ci，C2为任意常数）是方程（2）的特解。此性质称为二阶齐次线性微分方程（2）的通解结构。如：y-i cosx,y2 sinx 是 y y 0的两个解，又/ ctgx 常数。因此，y2Gcosx C2sinx 为 y y 0 的通解。又(x 1)y xy y 0 的解 y1 x, y2ex亦线性无关。xy Cix

27、 C2e为其通解。F面讨论非齐次微分方程（1）的解的性质淋（2 ）为（1）所对应的齐次方程。性质3设y*是（1 ）的特解，丫是（2）的通解，则y 丫 y*是（1）的通解。如：y y22x ， y C1 cos x C2 s inx 为 y y 0 的通解，又 y* x2 是特解,y C1 cosxC2sin x的通解。性质4设(5)式中 f(x) f1(x)f2(x)，若 y1*, y2* 分别是d2 ydy护 P(x)- Q(x)yf1(x)，2# P(x)寻 Q(x)yf2(x)的特解，则yi* y2*为原方程的特解。称此性质为解的叠加原理。小结：本节讲述了二阶线性方程解的结构， 包括齐次

28、线性方程的通解，非齐线性方程的特解及通解的形式。第八节二阶常系数齐次线性微分方程学习目的:掌握二阶常系数齐次线性微分方程的特征方程，特征根，及对应于特征根的三种情况，通解的三种不同形式。学习重点:特征方程，特征根，及对应于特征根的三种情况，通解的三种不同形式。学习难点:学习内容:根据特征根的三种不同情况，得到三种不同形式的通解。P（x） Q（x）y 0（2）中P（x）,Q（x）为常数，称之为二阶常系数齐次dx微分方程，而（2）称之为二阶变系数齐次微分方程。记：ypy qy 0( 3)将y e代入（3）中有（r2pr q）erx0，称r2 pr q 0为（3）的特征方程。e x(C1 cosC2sin x)。(1 )当 r12 即 p24q0时，yGe存C2er2x为其通解。(2)当r1r2r即2P4q 0 时，（3）只有一个解y(3)当ri即