平行四边形必做好题附答案详解

1、平行四边形必做好题附答案详解 一.选择题（共8小题） 1-如图，ABC的周长为26,点D, E都在边BC上，ZABC的平分线垂直于AE, 垂足为Q, ZACB的平分线垂直于AD,垂足为P,若BC=10,则PQ的长为（ 2 2 2.如图，在-ABCD中，BF平分ZABC,交AD于点F, CE平分ZBCD,交AD于 A. 点 E, AB=6, EF=2r 则 BC 长为（ 8 B. 10 C. 12 D. 14 3 如图，在四边形ABCD中，Er F分别为DC、AB的中点，G是AC的中点，则 A- 2EF=AD+BC B. 2EFAD+BCC 2EFVAD+BCD.不确定 4如图，平行四边形ABC

2、D中，AB： BC=3： 2, ZDAB=60 E在AB上，且AE： EB=1： 2, F是BC的中点，过D分别作DP丄AF于P, DQ丄CE于Q,则DP： DQ 等于（ 第1贞（共1贞） A. 5. 下列说法错误的是（ A. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 B. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 D. 一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形 3： 4 B. a/Ts： 25 C- VTS： 26 D 23： VTs 6. 已知：如图，在BCD中，点E在AD上，连接BE, DFBE交BC于点F, AF BE 交于点 M, CE D

3、F 交于点 N, AF, BE 分别平分 ZBAD, ZABC； CE, DF分别平分ZBCD, ZADC,则四边形MFNE是（ A. 菱形 B.矩形 C.平行四边形D.正方形 7.如图，D 是ABC 内一点，BD丄CD, AD=6, BD=4, CD=3r E、F、G、H 分别 是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是（ C. 10 D. 11 （2）如图2,将图1中的四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为FG, 求0G的长 图1 13. 已知：如图，-ABCD中，ZABC的平分线交AD于E, ZCDA的平分线交BC 于F. (1) 求证：ABE竺CDF； (2) (1

4、) 求证：BN=DN； 求ABC的周长. (2) 连接EF、BD,求证S EF与BD互相平分 14. 如图，M是ABC的边BC的中点，AN平分ZBAC, BN丄AN于点N,延长 BN 交 AC 于点 D,已知 AB=10, BC=15, MN=3 15. 如图，四边形ABCD中，ADBC, AE丄AD交BD于点E, CF丄BC交BD于点 F,且AE=CF.求证.四边形ABCD是平行四边形. 16-如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F是对角线AC上的两点， （1）求证；AE=CF： （2）求证：四边形EBFD是平行四边形 17-如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点6 E、F分别是

5、AB、CD 的中点，且AC=BD- 求证：OM=ON 18. 已知，点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点（不与Ao B重合），分别过 A, B向直线CP作垂线，垂足分别为E、F. BC, BC=6cm, P、Q分别从A、C同时 长线分别交于点E、F. 出发，P以Icm/s的速度山A向D运动，Q以2cm/s的速度山C出发向B运动, 儿秒后四边形ABQP是平行四边形? 点0是AC打BD的交点，过点0的直线与BA、DC的延 （1）求证：AOE丝COF； （2）证明：四边形AECF是平行四边形. 21-如图，分别以RtAABC的直角边AC及斜边AB向外作等边ACD及等边 ABE, 已知：ZBAC=3

6、0 EF丄AB,垂足为F,连接DF. 试说明A8EF； 求证：四边形ADFE是平行四边形. (2) AN平分ZBAC,且BN丄AN,垂足为N, 且 AB=6r BC=10, MN=1.5,求ABC 的周长. 23. 如图，分别以RtAABC的直角边AC及斜边AB向外作等边ACD、等边 ABE.已知ZBAC=30 EF丄AB,垂足为已 连接DF.求证：四边形ADFE是平行 四边形 24. 如图，在ABC 中，ZABC=90 ZBAC=60, AACD 是等边三角形，E 是 AC 的中点，连接BE并延长，交DC于点F,求证: (1) AABEACFE； （2）四边形ABFD是平行四边形. D B

7、25如图，已知D AABC的边AB上一点,CEAB,DE交AC于点6且OA=OC.求 证：四边形ADCE是平行四边形. E 26.如图，在四边形 ABCD 中，ADBC, AD=12cm, BC=15cm,点 P 自点 A 向 D 以Icm/s的速度运动，到D点即停止点Q自点C向B以2cm/s的速度运动, 到B点即停止，点P, Q同时出发，设运动时间为t（S）. （1）用含t的代数式表示: AP=； DP=； BQ=； CQ= （2）当t为何值时，四边形APQB是平行四边形? （3）当t为何值时，四边形PDCQ是平行四边形? c 27. 求证：EFG是等腰三角形. 点. 28.已知，如图, A

8、BF, ACD, ZiBCE都是等边三角形，求证j四边形ADEF 如图所示，在四边形ABCD中，AD=BC, E, F, G分别是AB, CD, AC的中 是平行四边形 29.如图，ABCD是矩形纸片，翻折ZB、ZD,使BC, AD恰好落在AC上，其中 F, H分别是B, D的落点.求证：四边形AECG是平行四边形. 30-如图所示，在四边形ABCD中，ADBC, AD=24cm, BC=30cm，点P从A向 点D以Icm/s的速度运动，到点D即停止点Q从点C向点B以2cm/s的速度 运动，到点B即停止.直线PQ将四边形ABCD截得两个四边形，分别为四边形 ABQP和四边形PQCD,则当P,

9、Q两点同时出发，儿秒后所截得两个四边形中, 其中一个四边形为平行四边形? C 第1页（共1页） 第1贞（共1贞） 平行四边形必做好题附答案详解 參考答案与试題解折 一-选择题（共8小题） ZABC的平 1-（2013*淄博）如图，ABC的周长为26,点D, E都在边BC上, 分线垂直于AE,垂足为Q ZACB的平分线垂直于AD,垂足为P, 若 BC=10, 则PQ的长为（ 2 2 CA=CD, lli 【分析】首先判断BAE、CAD是等腰三角形，从而得出BA=BE, ABC的周长为26,及BC=10,可得DE=6,利用中位线定理可求出PQ. 【解答】解:VBQ平分ZABC, BQ丄AE, BA

10、E是等腰三角形, 同理CAD是等腰三角形, 二点Q是AE中点，点P是AD中点（三线合 PQ是ADE的中位线, VBE+CD=AB*AC=26 - BC=26 - 10=16, ADE=BE-HCD - BC=6, E=3 故选：C 【点评】本题考查了三角形的中位线定理，解答本题的关键是判断出BAE. CAD是等腰三角形，利用等腰三角形的性质确定PQ是ADE的中位线 2. （2016*丹东）如图，在-ABCD中，BF平分ZABC,交AD于点已CE平分Z BCD,交 AD 于点 E, AB=6, EF=2r 则 BC 长为（ A. 8 B. 10 C- 12 D 14 【分析】山平行四边形的性质和

11、角平分线得lliZABF= ZAFB,得出AF=AB=6,同 理可证DE=DC=6,再山EF的长，即可求出BC的长. 【解答】解：四边形ABCD是平行四边形, ADBC, DC=AB=6r AD=BC, AZAFB=ZFBC, / BF 平分ZABC, AZABF=ZFBC, 则 ZABF=ZAFBr /.AF=AB=6, 同理可证：DE=DC=6r / EF=AF+DE - AD=2, 即 6+6 - AD=2, 解得：AD=10； 故选：B. 【点评】本题主要考査了平行四边形的性质、等腰三角形的判定；熟练掌握平行 四边形的性质，证出AF=AB是解决问题的关键 3.（2016*薛城区模拟）如

12、图，在四边形ABCD中，E, F分别为DC、AB的中点, A. 2EF二AD+BC B. 2EFAD+BCC 2EFVAD+BCD.不确定 【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得 Eg4aD, FG=iBC,再根拯三角形的任意两边之和大于第三边解答. 2 2 【解答】解：TE, F分别为DC、AB的中点，G是AC的中点， /. EgJD, FG=iBC, 2 2 在EFG 中，EFVEG+FG, 二EFV土 (AD+BC), 2 二 2EFVAD+BC. 故选c. 【点评】本题考査了三角形的中位线平行于笫三边并且等于第三边的一半，三角 形的三边关系，熟记定理与三边关系是

13、解题的关键 4 （2013无锡）如图，平行四边形ABCD中，AB： BC=3： 2, ZDAB=60 E在 AB C 上，且AE： EB=1： 2, F是BC的中点，过D分别作DP丄AF于P, DQ丄CE于 A. 3： 4 B. /13： 2-75 C- a/Ts： 26 D. zVs： a/Ts 【分析】连接DE、DF,过F作FN丄AB N,过C作CM一AB于根据三角 形的面积和平行四边形的面积得出Sadec=Sadfa=S平你妆形ABCD，求出AFXDPCE 乙 XDQ,设 AB=3“ BC=2a,贝ij BF=a, BE=2ar BN=ia, BM=a,CM=V3a, 2 2 求Ill

14、AF=VT3a, CE=2V3a,代入求出即可. 【解答】解：连接DE、DF,过F作FN1AB于N,过C作CM丄AB于 根据三角形的面积和平行四边形的面积得：SaDEC=S/.DFA=-S平你血形ABCD 乙 即丄AFXD P 去:EXDQ, 2 2 /.AFXDP=CEXDQr T四边形ABCD是平行四边形, 二 ADBC, 7ZDAB=60 AZCBN=ZDAB=60 /. ZBFN=ZMCB=30 TAB： BC=3： 2r 二 设 AB=3a, BC=2a, VAE： EB=1： 2, F 是 BC 的中点, BF=a, BE=2a * BM=a, 山勾股定理得：FN B、两组对边分别

15、相等的四边形是平行四边形，故本选项说法正确; C、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故本选项说法正确; D、一组对边相等，另一组对边平行的四边形不一定是平行四边形，例如：等腰 梯形，故本选项说法错误; 故选：D 【点评】此题主要考査了平行四边形的判定：（1）两组对边分别平行的四边形是 平行四边形 (2) 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 对角线互相平分的四边形是平行四边形 6- （2015*麒麟区一模）已知S如图，在QABCD中，点E在AD上，连接BE, DF BE交BC于点F, AF与BE交于点 CE D

16、F交于点N, AF, BE分别平分Z BAD, ZABC； CE, DF 分别平分ZBCD, ZADCr则四边形MFNE是（ A.菱形 B.矩形 C.平行四边形 D.正方形 【分析】由平行四边形的性质得到邻角互补，再根据角平分线的性质得到两锐角 互余，得到直角，于是可得结论 【解答】证明：在BCD中, TADBC, AZDAB+ZABC=180 VAFr BE 分别平分ZBAD, ZABC, AZBAF=ZDAFr ZABE=ZCBEr zfab+zabe=（zdab+Zmc）=90, AZEMF= ZAMB=90, 同理 ZMEN=ZMFN=90 二四边形MFNE是矩形 故选B. 【点评】本

17、题考查了平行四边形的性质，角平分线的性质，矩形的判定，熟记矩 形的判定定理是解题的关键 1. （2011安徽）如图，D 是ABC 内一点，BD丄CD, AD=6r BD=4, CD=3, E、 F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周K是（ C10 D11 【分析】根据勾股定理求出BC的长，根据三角形的中位线定理得到HG=BC=E. 求出EF、HG、EH. FG的长，代入即可求出四边形EFGH的周长. 2=5, 【解答】解:VBD丄DC, BD=4, CD=3,山勾股定理得：BU低瓦云 TE、F、G、H 分别是 AB、AC、CD、BD 的中点, AHG=iBC=EF,

18、 EH二FG丄AD, 2 2 7AD=6r AEF=HG=2.5, EH=GF=3, 化四边形 EFGH 的周长是 EF+FG-hhG+EH=2X （2.5+3） =11- 故选D- 【点评】本题主要考査对勾股定理，三角形的中位线定理等知识点的理解和掌握, 能根据三角形的中位线定理求出EF、HG、EH. FG的长是解此题的关键 8- （2016*龙岩模拟）如图所示，M是-ABCD的边AD 任意一点，若CMB的 面积为S, CDM的面积为S1, ABM的面积为S2，则下列S, Si，S2的大小关 系中正确的是（ A. SSi+S2 B. S二S1+S2 C. SVS1+S2 D. S * j S

19、1+S2的大小关系无法确定 【分析】根据平行四边形的性质得到AD=BC,而CMB的面积为S=BCe高， 2 CDM的面积为Si4|VID高,ABM的面积为SzAM臥这样得到Si+Sz-MD* 2 2 2 喝am高令D+A高令BC倂S,山此则可以推出S, sn S2的大小关 系- 【解答】解：四边形ABCD是平行四边形, AAD=BCr V ACMB的面积为S二丄BG高，CDM的面积为51=171 D*高，ABM的面积为 2 $2= 2 而它们的高都是等于平行四边形的高， D咼=BC咼=S 2 A Si+S2=iMD* fSi+iAM 高丄（MD+AM） 2 2 2 则S, Sn S2的大小关系

20、是S=Si+S2. 故选B 【点评】本题考查平行四边形的性质对边相等以及三角形的面积计算公式 二填空题（共3小题） 9. （2015梅州）如图，在BCD 中，BE 平分ZABC, BC=6, DE=2r 则-ABCD 的 周长等于20 【分析】根据四边形ABCD为平行四边形可得AE/BC,根据平行线的性质和角 平分线的性质可得出ZABE二ZAEB,继而可得AB=AE,然后根据已知可求得结果 【解答】解：四边形ABCD为平行四边形, AEBC, AD=BC, AB=CD, ZAEB=ZEBC, BE 平分ZABCr ZABE=ZEBC, ZABE=ZAEB, .AB=AE, .AE+DE=AD=

21、BC=6, AE+2=6, .AE=4, .AB=CD=4, .-ABCD 的周长=4+4+6+6=20, 故答案为：20. 【点评】本题考査了平行四边形的性质，解答本题的关键是根据平行线的性质和 角平分线的性质得出ZABE二ZAEB. 10. （2013碑林区校级一模）如图，已知AB=10, P是线段AB 的动点，分别 以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边ACP和PDB,连接CD,设CD的中点 为G,当点P从点A运动到点B时，则点G移动路径的长是_ 【分析】分别延长AC、BD交于点H,易证四边形CPDH为平行四边形，得出G 为PH中点，则G的运行轨迹HAB的中位线MN,运用中位线的性质求出

22、MN 的长度即可 【解答】解：如图，分别延长AC、BD交于点H, VZA=ZD PB=60, /.AH PD, VZB=ZCPA=60, ABH PC, 二四边形CPDH为平行四边形9 A CD j HP互相平分 TG为CD的中点, G正好为PH中点，即在P的运动过程中，G始终为PH的中点，所以G的运 行轨迹为HAB的中位线MN. AMN=AAB=5r即G的移动路径长为5. 2 故答案为：5. H 【点评】本题考査了三角形中位线定理及等边三角形的性质，解答本题的关键是 作出辅助线，找到点G移动的规律，判断出其运动路径，综合性较强. 11. （2016春靖江市校级期中）如图，平行四边形ABCD中

23、，BE丄AD于E, BF 丄CD于F, BE=2, BF=3,平行四边形ABCD的周长为20,则平行四边形ABCD的 面积为 12 【分析】根据平行四边形的周长求出AD+CD,再利用面积列式求出AD、CD的关 系，然后求出AD的长，再利用平行四边形的面积公式列武讣算即可得解. 【解答】解:V-ABCD的周氏为20, A 2 (AD+CD) =20, AD+CD=10 , VSm8CO=AD*BE=CD*BF, /.2AD=3CD, 联立.解得AD=6, -ABCD 的面积=AD*BE=6X2=12. 故答案为：12. 【点评】本题考查了平行四边形的性质，根据面积的两种表示求出2AM3CD是 解

24、题的关键，也是本题的难点 三.解答题（共19小题） 12. (2013*兰州)如图：b 在OAB 中，ZOAB=90 ZAOB=30 OB= （2）如图2,将图1中的四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为FG, 求OG的长 图1 【分析】（1）首先根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半可得DO=DA, 再根据等边对等角可得ZDAO=ZDOA=30进而算diZAEO=60再证明BCAE, COAB,进而证出四边形ABCE是平行四边形: （2）设OG二X,山折叠可得：AG=GC=8 - X,再利用三角函数可讣算出AO,再利 用勾股定理计算出OG的长即可. 【解答】（1）证明:VRtAOA

25、B中，D为0B的中点, 二AD=i0B, OD=BD=ioB 2 2 /. DO=DA, 二 Z DAO=乙 DOA=30, Z EOA=90, AZAEO=60% 乂 VAOBC为等边三角形, AZBCO=ZAEO=60, /. BCAE, 7ZBAO=ZCOA=90 /.CO# AB, 四边形ABCE是平行四边形; （2）解：设 OG=x, ll折叠可得：AG=GC=8 - Xr 在 RtAABO 中, VZOAB=90, ZAOB=30 B0=8, AAO-BO*cos30-8X 2 在 RtZiOAG 中，OG2+OA2二AG2, x2+（4/3）2=（8 - X）2, 解得：X=lr

26、 /.OG=1. 【点评】此题主要考査了平行四边形的判定与性质，以及勾股定理的应用，图形 的翻折变换，关键是掌握平行四边形的判定定理 13. C2015*滨州模拟）已知：如图，-ABCD中，ZABC的平分线交AD于E, Z CDA的平分线交BC于F. （1）求证：ABE空CDF； （2）连接EF、BD,求证S EF与BD互相平分 【分析】（1）首先山平行四边形的性质可得AB/CD, AB=CD； ZA=ZC, ZABC= ZCDA,再山条件ZABC的平分线交AD于E, ZCDA的平分线交BC于F可得Z ABE帯ABC, ZCD气RA,进而得到ZABE必DF,再利用ASA定理可判定 AABEAC

27、DF； （2）首先根据ABE空CDF可得AE=CFr再根据平行四边形的性质可得AD=CB, AD/BC.进而得到DE=BF且DEBF,根据一组对边平行且相等的四边形是平行 四边可证出四边形BFDE是平行四边形，再根据平行四边形对角线互相平分可证 出结论 【解答】（1）证明：T四边形ABCD是平行四边形, AB二CD, ZA=ZCr ZABC=ZCDA, TBE 平分ZABCr DF 平分ZCDA, 二 ZABE丄ZABC, ZCDF二丄ZCDA. 2 2 AZABE=ZCDFr 2 A=ZC 在ABE 和CDF 中 AB=CD Z ABE二 Z CDF 、 AAABEACDF (ASA). （

28、2）证明：连接EF、DB, ABE 丝CDF, .AE=CF, 四边形ABCD是平行四边形, .AD=CBr ADBC, DE二BF 且 DEBF 四边形BFDE是平行四边形, .EF BD互相平分. 【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质, 关键是熟练掌握平行四边形的性质：平行四边形对应边相等，对应角相等，对角 线互相平分 14. (2013永州)如图，M是ABC的边BC的中点，AN平分ZBAC, BN丄AN 于点N,延长BN交AC于点D,已知AB=10, BC=15, MN=3 (1) 求证：BN=DN； 求ABC的周长. (2) 即可得出结论: (2)先判断

29、MN是BDC的中位线，从而得出CD, 1 (1)可得AD=AB=10,从 而计算周长即可 【解答】(1)证明：在ADN中, 厶二 Z2 - AN二AN, ZANB=ZAM) 、 /.AABNAADN (ASA), /.BN=DN. (2)解：VAABNAADN, /.AD=AB=1O, 乂T点M是BC中点, A MN是BDC的中位线, ACD=2MN=6, 故ABC 的周长=AB+BC+CD+AD=10+15+6+10=41. 【点评】本题考査了三角形的中位线定理及等腰三角形的判定，注意培养自己的 敏感性，一般出现高、角平分线重合的情况，都需要找到等腰三角形 15. （2016*新媼）如图，四

30、边形ABCD中，ADBC, AE丄AD交BD于点E, CF 求证：四边形ABCD是平行四边形 【分析】山垂直得到ZEAD=ZFCB=90根据AAS可证明RtAAEDRtACFB,得 到AD=BC,根据平行四边形的判定判断即可. 【解答】证明：TAE丄AD, CF丄BC, /. ZEAD=ZFCB=90 /. ZADE=ZCBFr 在 RtAAED 和 RtACFB 中， ZADE 二 ZCBF ZEAD=ZFCB=9O* , AE=CF I /.RtAAEDRtACFB (AAS), /.AD=BCr VAD/7BCr 四边形ABCD是平行四边形. 【点评】本题考査了平行四边形的判定，平行线的

31、性质，全等三角形的性质和判 定等知识点的应用，关键是推出AD二BC,主要考查学生运用性质进行推理的能力 16. （2013*龙岩）如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F是对角线AC _h的两 点，Z1=Z2. （1）求证：AE=CF： （2）求证：四边形EBFD是平行四边形 【分析】（i）通过全等三角形ADE竺CBF的对应边相等证得AE=CF： （2）根据平行四边形的判定定理：对边平行且相等的四边形是平行四边形证得 结论 【解答】（1）证明：如图：四边形ABCD是平行四边形, .AD=BCr ADBC, Z3=Z4, Z1=Z3+Z5, Z2二Z4+Z6, Z1=Z2 .Z5=Z6 V SA

32、ADE 与CBF 中， 乂3 二 Z4 AD 二 BC Z5 二 Z6 AAADEACBF (ASA), /.AE=CF； (2)证明：7Z1=Z2, ADE#BF. 乂 T 山(1)知ADE丝CBF, ADE=BF, 二四边形EBFD是平行四边形 【点评】本题考査了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质.平行 四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要 根据条件合理、灵活地选择方法 17- （2014*丹阳市校级模拟）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点 Or E、 F分别是AB、CD的中点，且AC=BD. 求证: OM=ON 【分析】取AD的

33、中点G,连接EG, FG,构造三角形的中位线，根据三角形的中 位线定理进行证明即可. 【解答】证明: 取AD的中点G,连接EG, FG, TG、F分别为AD、CD的中点, GF是ACD的中位线, /.GF=iAC, 2 同理可得，6E=BD, VAC=BD, GF 二 GE=iAU 丄 BD 2 2 AZGFN=ZGEMr 乂TEGOM, FGON, 二 ZOMN=ZGEM=ZGFN=ZONM, AOM=ON. F 【点评】本题考査了三角形的中位线性质定理，解题的关键是构造三角形的中位 线-运用三角形的中位线的数量关系和位置关系进行分析证明 18. （2015*泰安样卷）已知，点P是直角三角形

34、ABC斜边AB上一动点（不与A, 第1贞（共1贞） B重合人分别过A, B向直线CP作垂线，垂足分别为E、F. （1）当点P为AB的中点时, 连接AF、BE证明：四边形AEBF是平行 四边形; （2）当点P不是AB的中点, 如图2, Q是AB的中点证明：QEF为等腰三 角形 【分析】（1）首先证明BFQAAEQ可得QE二QF,再山AQ=BQ可利用对角线 互相平分的四边形是平行四边形判定四边形AEBF是平行四边形; （2）首先证明FBQ丝DAQ可得QF=QD,再根据直角三角形斜边中线等于斜 边的一半可得QE=QF=QD,进而可得结论 【解答】证明：（1）如图1, TQ为AB中点, AAQ=BQ,

35、 7BF1CP, AE丄CP, BFAE, ZBFQ二ZAEQ, *ZBFQ 二 ZAEQ 在BFQ 和AEQ 中： ZBQF二ZAQE ,BQ二AQ 二BFQ竺AEQ (AAS)r /.QE=QF, 四边形AEBF是平行四边形; (2) QE=QF, 如图2,延长FQ交AE于D, VAE#BF, /. ZQAD=ZFBQ, ZFBQ=ZDAQ 在FBQ 和DAQ 中 AQ二BQ ,ZBQF二 ZAQD FBQ竺DAQ (ASA), AQF=QD, 7AEC P, 二EQ是直角三角形DEF斜边上的中线, AQE=QF=QD,即 QE=QF, QEF是等腰三角形. F 0 馴Q 【点评】此题主要

36、考査了平行四边形的判定，直角三角形的性质，全等三角形的 判定和性质，关键是掌握对角线互相平分的四边形是平行四边形 19. （2013春淆水县校级期中）在四边形ABCD中，ADBC,且ADBC, BC=6cm, P、Q分别从A、C同时出发，P以Icm/s的速度iIJ A iH D运动，Q以2cm/s的速 度died!发向B运动，儿秒后四边形ABQP是平行四边形? 【分析】山运动时间为t秒，则AP=t, QC=2t.而四边形ABQP是平行四边形, 所以AP=BQ,则得方程t=6 - 2t求解. 【解答】解：设t秒后，四边形APQB为平行四边形, 则 AP=t, QC=2t, BQ=6 - 2t,

37、TADBC 所以 APBQ, 根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形, 知：AP=BQ即可, 即：t=6 - 2t, At=2, 当 t=2 时，AP=BQ=2BCADr 符合, 综上所述，2秒后四边形ABQP是平行四边形. 【点评】此题主要考查的是平行四边形的性质，难度不大，注意分类讨论 20. （2015春无锡月考）如图，BCD中，点0是AC与BD的交点，过点0的 直线与BA、DC的延长线分别交于点E、F. （1）求证：AOE竺COF； （2）证明.四边形AECF是平行四边形. 【分析】（1）根据平行四边形的性质和全等三角形的证明方法证明即可; （2）请连接EC. AF,山AOE竺CO

38、F,得到OE=OF, 乂 AOCO,所以四边形 AECF是平行四边形. 【解答】解：（1）T四边形ABCD是平行四边形, /.AO=OC, ABCD AZE=ZF. 7SAA0E 与COF 中， ZE=ZF ZA0E=ZC0F AO 二 CO I AOE丝COF (AAS)： （2）如图，连接EC、AF, Ifl (1)可知 AOE竺COF, /.OE=OFr VAO=CO, 四边形AECF是平行四边形. 【点评】本题主要考査了全等三角形的性质与判定、平行四边形的性质，首先利 用平行四边形的性质构造全等条件，然后利用全等三角形的性质解决问题 21. （2016*呼伦贝尔）如图，分别以RtAAB

39、C的直角边AC及斜边AB向外作等 边ACD及等边ABE,已知S ZBA830。，EF丄AB,垂足为F,连接DF. （1）试说明AC=EF； （2）求证：四边形ADFE是平行四边形. 【分析】（1）首先III RtAABC中，山ZBAU30。可以得到AB=2BC, 乂iIiAABE是 等边三角形，EF丄AB, III此得到AE=2AF,并且AB=2AF然后证得AFEABCA, 继而证得结论; 2）根据（1）知道EF=ACr而ACD是等边三角形，所以EF=AC=AD,并且AD 丄AB,而EF丄AB,山此得到EFAD,再根据平行四边形的判定定理即可证明四 边形ADFE是平行四边形. 【解答】证明：（

40、1） VRtAABC中，ZBAC=30 /.AB=2BC, 乂ABE是等边三角形，EF丄AB, AAB=2AF /.AF=BC, 在 RtAAFE 和 RtABCA 中， AF 二 BC, AE二BA I ARtAAFERtABCA (HL), AAC=EF； （2） VAACD是等边三角形, AZDAC=60% AC=AD, 二 Z DAB= Z DAC+ Z BAC=90 乂 TEF 丄 AB, EFAD, VAC=EFr AC=AD, 二 EF二AD, 二四边形ADFE是平行四边形. 【点评】此题考査了平行四边形的判定、等边三角形的性质以及全等三角形的判 定与性质-注意证得RtAAFER

41、tABCA是关键. 22. （2015秋太康县期中）如图，M是ABC的边BC的中点，AN平分ZBAC, 且BN丄AN,垂足为N,且AB=6r BC=10, MN=1.5,求ABC的周长. 【分析】延长线段BN交AC于已 从而构造出全等三角形，（ABN幻AEN）, 进而证明MN是中位线，从而求出CE的长. 【解答】解：延长线段BN交AC于E VAN 平分ZBAC, 在ABN和AEN中， ZBAN二 ZEAK AN=AN ZANB=ZAME=9O 、 ABN丝AEN (ASA), AAE=AB=6, BN=NE, 乂TM是ABC的边BC的中点, ACE=2MN=2X1.5=3, ABC 的周长是

42、AB+BC+AC=6+10+6+3=25. 【点评】本题主要考査了中位线定理和全等三角形的判定.解决本题的关键是作 出辅助线，利用全等三角形来得出线段相等，进而应用中位线定理解决问题 23-（2012*江阳区校级模拟）如图，分别以RtAABC的直角边AC及斜边AB向 外作等边ACD、等边ABE.已知ZBAC=30 EF丄AB,垂足为F,连接DF.求 证：四边形ADFE是平行四边形. 【分析】根据已知首先判定RtAABCRtAEBF,得出AUEF,进而求出ADEF, 以及AD=EF,利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，问题得证 【解答】证明：在RtAABC, ZBAC=30 AZABC=

43、60 等边ABE 中，ZABE=60 且 AB二BE, / EF 丄 AB, AZEFB=90, 二 RtAABCRtAEBF, /.AC=EFr 乂在等边ACD 中，ZDAC=60 AD二AC, 乂 VZBAC=30 AZDAF=90 二 ADEF, 乂 7AC=EFr /.AD=EF, 二四边形ADFE是平行四边形. 【点评】此题主要考査了平行四边形的判定以及全等三角形的判定与性质，熟练 掌握平行四边形的判定从而发现ADEF是解题关键. 24（2016*徐州）如图，在ABC 中，ZABC=90 ZBAC=60 ACD 是等边三 角形，E是AC的中点，连接BE并延氏，交DC于点F,求证: (

44、1) AABEACFE； （2）四边形ABFD是平行四边形. D S 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到ZDCAM0。等量代换得到ZDCA=ZBAC, 根据全等三角形的判定定理即可得到结论; （2）根据已知条件得到ABE是等边三角形，推出CEF是等边三角形，证得Z CFE二ZCDA,求得BFAD,即可得到结论; 【解答】证明：（1）V AACD是等边三角形, AZDCA=60 / ZBAC=60 /. ZDCA=ZBAC, 在ABE与CFE中, ZDCA=ZBAC AE=CE , Z bea=Zfec 、 A AABEACFE； （2） TE是AC的中点9 /. BE二EA, VZBAE=

45、60, ABE是等边三角形, AACEF是等边三角形, AZCFE=60 ACD是等边三角形, /. ZCDA=ZDCA=60 AZCFE= ZCDA, 二 BFAD, 7ZDCA=ZBAC=60 /.AB#DCr 四边形ABFD是平行四边形. 【点评】本题考査了平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质，等边三角形 的判定和性质，熟练熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键 25. C2015*峨眉山市一模）如图，已知D是ABC的边AB h一点，CEAB, DE 交AC于点6 且OA=OC-求证：四边形ADCE是平行四边形 E 【分析】首先利用AAS得出 AOD竺COE,进而利用全等三角形的性

46、质得出 DO=EO,即可得出四边形ADCE是平行四边形. 【解答】证明CEAB, AZADE=ZCEDr ZADE=ZCED 在AOD 与COE 中 ZA0D二ZC0E, OA=OC 、 AOD幻COE (AAS), /.OD=OEr 二四边形ADCE是平行四边形. 【点评】此题主要考査了平行四边形的判定以及全等三角形的判定与性质，得出 AOD幻COE是解题关键 26. （2015春山亭区期末）如图，在四边形ABCD中，ADBC, AD“2crTb BC“5cm, 点P自点A向D以Icm/s的速度运动，到D点即停止点Q自点C向B以2cm/s 的速度运动，到B点即停止，点P, Q同时出发，设运动

47、时间为t（S）. （1）用含t的代数式表示: AP= t ； DP= 12 - t : BQ= 15 - 2t ； CQ= 2t （2）当t为何值时，四边形APQB是平行四边形? （3）当t为何值时，四边形PDCQ是平行四边形? C 【分析】（2）根据速度、路程以及时间的关系和线段之间的数量关系，即可求出 APr DP, BQ, CQ 的长 （2）当AP二BQ时，四边形APQB是平行四边形，建立关于t的一元一次方程方 程，解方程求出符合题意的t值即可; （3）当PXCQ时，四边形PDCQ是平行四边形；建立关于t的一元一次方程方 程，解方程求出符合题意的t值即可 【解答】解：(1) t, 12-t, 152t, 2t (2)根据题意有 AP=t, CQ=2t, PD=12 - t, BQ=15 - 2t. TADBC,二当AP二BQ时，四边形APQB是平行四边形. /.t=15 - 2t,解得 t=5 运动5s时四边形APQB是平行四边形; (3) ill AP=tcm CQ=2tcmr 7AD=12cmr BC=15cm, PD=AD - AP=12 - t, 如图1当PQCD,且PQ=CD时, VAD/7BCr 即 PDQC, 二四边形PQCD为平行四边形, PQ=CD, PD=CQ, A12 t=2t, 解得t=4Sr 即当t=4s时，四边形PDCQ是平行四边形 【