高二数学(理科)期末综合练习五-教师用卷

1、高二数学（理科）期末综合练习五一、填空题（本大题共14 小题，共 70.0 分）1. 命题“?2_，? 9 ”的否定是2【答案】 ?， ? 9【解析】 解：命题“22?，? 9 ”的否定是命题“?， ? 9”，2故答案为： ?， ? 9 由已知中的原命题，结合特称命题否定的定义，可得答案本题考查的知识点是特称命题的否定，难度不大，属于基础题2. 抛物线2? = 2?的焦点坐标为 _【答案】 (1, 0)22?1，故焦点坐标为 (12,0)，【解析】 解：抛物线? = 2?的焦点在 x 轴的正半轴上，且 ?= 1，2 =21,0)故答案为： (2?焦点在 x 轴的正半轴上，且?= 1 ，利用焦点

2、为( 2 ,0) ，写出焦点坐标?本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用，求2的值是解题的关键3. 直线 3?- 4?- 12 = 0 与两条坐标轴分别交于点 A， B， O 为坐标原点，则 ?的面积等于 _ 【答案】 6【解析】 解：直线 3?- 4?- 12 = 0与两条坐标轴分别交于点?(4,0) ， ?(0, - 3) ，1? ?= 2 4 3 = 6故答案为： 6直线 3?- 4?- 12 = 0与两条坐标轴分别交于点?(4,0) ， ?(0, - 3) ，即可得出本题考查了直线方程、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题： ?-2?- 1 = 0 和直线 ?

3、： ?- ( ?- 1) ?+ 2 = 0相互平行”的 _ 条件 . (用“充4. “ ? = - 1”是“直线 ?12分不必要”，“必要不充分条件”，“充要”，“既不充分也不必要”填空)【答案】 充分不必要【解析】 解：若直线 ?： ?- 2?-1 = 0和直线 ?： ?- ( ?- 1) ?+ 2 =0相互平行，12则 ?(?- 1) = 2，解得： ? = 2或? = - 1，当?=2时， ?2?- 1 = 0; ?:2 ?-?+ 2 = 0 ， ?/1?21: 2?-当?=- 1时， ?2?+ 2 = 0 ， ?/ ?1: ?+ 2?+ 1 = 0; ?: ?+212故 ? = - 1

4、 是直线平行的充分不必要条件，故答案为：充分不必要求出直线平行的充分必要条件，根据集合的包含关系判断即可本题考查了充分必要条件，考查直线的平行关系，是一道基础题2?- ln ?在区间 1,3 上的最小值等于 _ 5. 函数 ?= ? -【答案】 0【解析】 解： ?=2?- 1 -1(2 ?+1)( ?-1)?=?，由 ? 1,3 ，第1页，共 17页故 ? 0在 1,3 恒成立，故函数在 1,3 递增，?= 1时，函数取最小值，函数的最小值是0，故答案为： 0求出函数的导数，根据x 的范围，求出函数的单调性，从而求出函数的最小值即可本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道基础

5、题6. 如图，四棱锥 ?- ?中， ?底面 ABCD ，底面 ABCD 为正方形，则下列结论： ?/ 平面 PBC； 平面 ?平面 PBD； 平面 ?平面 PAC； 平面 ?平面 PDC 其中正确的结论序号是_【答案】 【解析】 解： 由底面为正方形，可得?/ ?，? 平面 PBC， ? 平面 PBC，可得 ?/ 平面 PBC； 在正方形ABCD 中， ?，?底面 ABCD ，可得 ?，?= ?，可得 ?平面 PAC，? 平面 PBD，即有平面 ?平面 PBD ； ?底面 ABCD ，可得 ?，?，可得 ?为二面角 ?- ?- ?的平面角，PAC显然 ?= 45 ，故平面 ?平面不成立； 在正

6、方形ABCD 中，可得 ?，?底面 ABCD ，可得 ?，?= ?，可得 ?平面 PAD，? 平面 PCD，即有平面 ?平面 PDC 综上可得， 正确故答案为： 运用正方形的性质和线面平行的判定定理，即可判断；运用线面垂直的判定和性质，以及面面垂直的判定定理即可判断；运用线面垂直的性质，可得二面角的平面角，判断即可得到；运用线面垂直的性质和判断，结合面面垂直的判定定理，即可得到结论本题考查线面位置关系的判断，考查线面平行、 线面垂直和面面垂直的判定定理的运用，考查空间想象和推理能力，属于中档题222?+ 1 = 0 上存在两个不同的点关于直线?+ ?-1 = 0对称，过点 ?( - 4, ?)

7、 作圆 C7. 已知圆 C：? + ? - 4?-的切线，切点为B，则 |?| = _ 【答案】6224?- 2?+ 1 = 0，即 (?-2)2+ (?-1)2= 4 ，【解析】 解： 圆 C： ? + ? -表示以 ?(2,1) 为圆心、半径等于2 的圆由题意可得，直线l： ?+ ?-1 = 0 经过圆 C 的圆心 (2,1)，故有2+?-1 =0， ?= - 1，点 ?( - 4, - 1) ?=( -4 -2)2 + (-1 -1) 2= 2 10，?= ?= 2，切线的长 |?| =40 -4 =6故答案为6求出圆的标准方程可得圆心和半径，由直线 l ：?+ ?- 1 = 0 经过圆

8、 C 的圆心 (2,1)，求得 a 的值，可得点 A 的坐标，第2页，共 17页再利用直线和圆相切的性质求得| ?| 的值本题主要考查圆的切线长的求法，解题时要注意圆的标准方程，直线和圆相切的性质的合理运用，属于基础题8.R 等于圆锥乙的底面直径，若圆柱甲的高为R，圆锥乙的侧面积为2已知圆柱甲的底面半径2?，则圆柱甲和圆4锥乙的体积之比为_ 【答案】 24【解析】 解： 圆柱甲的底面半径R 等于圆锥乙的底面直径，圆柱甲的高为 R，圆锥乙的侧面积为22?，4212?，解得?=2?=，?242圆锥乙的高 ?= ( 2?) 2- (1 ?)2 =?，222圆柱甲和圆锥乙的体积之比为：? 2甲? =

9、1 ?2 ?= 24乙?()?3 22故答案为： 24?由圆锥乙的侧面积求出圆锥乙的高为，由此利用圆柱的体积公式和圆锥的体积公式能求出圆柱甲和圆锥乙的体积2之比本题考查的知识点是圆柱和圆锥的体积之比的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆柱的体积公式和圆锥的体积公式的合理运用9. 已知函数 ?( ?) =23-? 在区间 (?,? + 2) 上单调递减，则实数m 的取值范围为 _ ?【答案】 - 1,1【解析】 解： ?(?) =( ?-3)( ?+1)，?令 ?(?) 0，解得： - 1 ? 0时，实数 b 的最小值是 _ 【答案】 - 2【解析】 解： ?= 2?ln ?的导数为 ?=2

10、 ?，?由于直线 ?= 2?+ ?是曲线 ?= 2?ln ?的切线，则设切点为 ( ?,?) ，则 2 =2?， ?= 2?+ ?，?= 2?ln ?，?第4页，共 17页即有 ?= 2?ln ?- 2?( ? 0) ，?= 2(ln ?+ 1) - 2 = 2ln ?，当 ? 1时， ? 0 ，函数 b 递增，当 0 ? 1时， ? 0)?再对 b 求导，求出单调区间，极值也为最值，即可得到所求本题考查导数的运用：求切线方程和求单调区间和极值、最值，考查运算能力，属于中档题13.已知 F 是椭圆?22= 1( ? ? 0)的左焦点，A，B 为椭圆 C 的左、右顶点，点 P 在椭圆 C 上，且

11、?轴，过2 +2：?点 A 的直线与线段PF 交与点 M，与 y 轴交与点 E，直线 BM 与 y 轴交于点 N，若 ?= 2?，则椭圆 C 的离心率为 _ 【答案】12【解析】 【分析】由题意可得 F ，A，B 的坐标，设出直线 AE 的方程为 ?= ?( ?+ ?) ，分别令 ?= -?， ?= 0 ，可得 M， E 的坐标，再由直线 BM 与 y 轴交于点 N， ?= 2?，可得 N 的坐标，运用三点共线的条件：斜率相等，结合离心率公式，即可得到所求值本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用椭圆的方程和性质，以及直线方程的运用和三点共线的条件：斜率相等，考查化简整理的运算能力，属于中档题【解

12、答】解：由题意可设?( -?,0) ， ?( -?,0) ， ?( ?, 0) ，22令 ?= -?，代入椭圆方程可得 ?= ? 1 -= ?，?2?2可得 ?( -?, ?)，设直线 AE 的方程为 ?= ?( ?+ ?) ，令 ?= -?，可得 ?( -?, ?( ?- ?) ，令 ?= 0，可得 ?(0, ?) ，直线 BM 与 y 轴交于点 N， ?= 2?，?(0, 3 ) ，由 B， N， M 三点共线，可得 ? = ? ，? ?即为3= ?(?-?)，-?-?-?-?1化简可得 ?+ ?=3，即为 ?= 2?，可得 ?= ? 1?= 2故答案为： 1 2?14. 已知函数 ?(

13、?) =?,? 012121-?，若关于 x 的方程 ? ?( ?) -1 = ?有两个不同的根?，?，则? + ?的取值范围是2,? 0_【答案】 (- , ln2 -1)第5页，共 17页?,? 0【解析】 解：函数 ?( ?) =1-? ,?0的图象如右：2可令 ?= ?( ?) - 1 ，即 ?( ?) = 1 + ?， ? = ?( ?) ，若? 1，?( ?) 2无解；若?= 0，?= 1，?(?) = 2无解；若 0 ?1时，可得 ?- ln2 ， 0?21，21 可得?(?) 1 -ln2 ， 1 ?(?) 2，则符合题意，且 ?1 ?2 2ln2- 1 ，可得 ?+ ?2 l

14、n(1- ln2) + 1；1若?=21 ，则 ?=-ln2 ， ?( ?) = 1 -ln2 ，可得符合题意，且?1=ln(1 -ln2) ， ?2 =2ln2-1 ，?1 + ?2 =ln4(1-ln2)-1 ；1若2 ?1，则 -ln2 ?0，1 -ln2 ?+11，即1 - ln21，满足题意， ?( ?) 2可得 ln(1-ln2)?- ln2 ， 0 ? 2ln2 -1 ，12可得 ln(1-ln2)?+ ?2 1 ，则 ?(?) 无解综上可得 ?1 + ?2 ln2 -1 ，故答案为： ( - , ln2 - 1)作出 ?( ?)的图象，令 ?= ?( ?) - 1 ，即 ?(

15、?) = 1 +?， ?=?(?)，讨论 m 的范围，求得t 的范围，进而得到满足题意的范围本题考查函数方程的转化思想，以及数形结合思想，考查分类讨论思想，结合不等式的性质，属于难题二、解答题（本大题共9小题，共129.0 分）15. 如图，在四面体ABCD 中， ?= ?，?= 90 ，点 E， F 分别为棱 AB，AC 上的点，点 G 为棱 AD 的中点，且平面?/ 平面 ?.求证：1(1) ?= 2 ?；(2) 平面 ?平面 ABC 【答案】 证明： (1) 因为平面 ?/ 平面 BCD，平面 ?平面 ?= ?，平面 ?平面 ?= ?，所以 ?/ ?， (4 分 )又G为AD的中点，故

16、E为 AB的中点，同理可得， F 为 AC 的中点，所以 ?= 1 ?. (7 分 )2(2) 因为 ?= ?，由 (1) 知， E 为 AB 的中点，第6页，共 17页所以 ?，又 ?= 90 ，即 ?，由 (1) 知， ?/ ?，所以 ?，又 ?= ?，DE ， ? 平面 EFD ，所以 ?平面 EFD ， (12 分 )又 ? 平面 ABC，故平面 ?平面 ?. (14 分)【解析】 (1) 利用平面与平面平行的性质，可得?/ ?，利用 G 为 AD 的中点，可得E 为 AB 的中点，同理可得，1?F 为 AC 的中点，即可证明 ?= 2；(2) 证明 ?平面 EFD ，即可证明平面 ?

17、平面 ABC本题考查平面与平面平行的性质，考查平面与平面垂直的判定，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题16. 已知直线与 x 轴， y 轴分别交于M， N 两点，圆(1) 若直线与圆相切，求实数的值；(2) 若，过点 N 且斜率为k 的直线交圆 C 于 A， B，线段 AB 的中点为T，当时，求 k 的值；(3) 若圆上存在点P 满足，求实数的取值范围【答案】 解： (1) 若直线与圆相切，则，所以(2) 由题意，圆因为，则，所以直线的方程为，由于直线的方程为，所以因为 T 为线段 AB 的中点，所以，所以，第7页，共 17页解得(3)设，由，得，即由题意，解得，或【解析】 本题考查直线与

18、圆的位置关系，(1) 若直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径；(2) 若两条直线平行，则两条直线的斜率相等，根据圆的性质，圆心与弦中点的连线与弦所在直线垂直；(3) 根据两点之间的距离公式以及点在圆上时，点与圆心之前的距离等于半径，即可求解17. 如图，在四棱锥 ?- ?中， ?底面 ABCD ， ?， ?/ ?， ?= ?= ?= 2 ，?= 1 ，点 E 为棱 PC 的中点( ) 证明： ?；( ) 求直线 BE 与平面 PBD 所成角的正弦值；( ) 若 F 为棱 PC 上一点，满足 ?，求二面角 ?- ?- ?的余弦值【答案】 证明： ( ?) ?底面 ABCD ，?，以 A 为坐

19、标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，?= ?= ?= 2 ， ?= 1 ，点 E 为棱 PC 的中点?(1,0， 0) ， ?(2, 2， 0) ， ?(0, 2， 0) ， ?(0, 0， 2) ， ?(1, 1， 1)?= (0, 1，1) ， ?= (2,0， 0)第8页，共 17页?= 0，?；( ) ?= ( - 1， 2， 0) ， ?= (1,0， - 2) ，设平面 PBD 的法向量 ? = (?,y， ?) ，由 ?= 0，得-?+2 ?=0，?- 2?= 0?= 0令 ?= 1，则 ? = (2, 1，1) ，则直线 BE 与平面 PBD 所成角 ?满足：?23，sin?

20、= |?|?|?| =6 2=3故直线 BE 与平面 PBD 所成角的正弦值为33( ) ?= (1 ， 2， 0) ， ?= (- 2, - 2,2) ，?= (2, 2， 0) ，由 F 点在棱 PC 上，设 ?= ?= ( - 2?,- 2?, 2?)(0 ? 1) ，故?+?= (1- 2?,2 -2?,2?)(0 ?1)，=由 ?，得 ?=2(1 -2?) + 2(2- 2?) = 0，解得 ?=3，4即 ?1,1,3)，= ( -222设平面 FBA 的法向量为 ?= ( ?,b， ?)，?=0?= 013由1?+?=0，得 -?+?= 0222令 ?= 1，则 ?= (0, -

21、3,1) ，取平面 ABP 的法向量 ?= (0, 1， 0) ，则二面角 ?-?- ?的平面角 ?满足：|?|3310cos?=| ?| |?|= 10=10 ，故二面角 ?-?-?的余弦值为： 3 1010【解析】 (?) 以 A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出BE， DC 的方向向量，根据 ?= 0，可得 ?；( ?) 求出平面 PBD 的一个法向量，代入向量夹角公式，可得直线BE 与平面 PBD 所成角的正弦值；的坐标，进而求出平面FAB 和平面 ABP 的法向量，代入向量夹角公式，可得二面( )根据 ?，求出向量 ?角 ?- ?- ?的余弦值本题考查的知识点是空间二面

22、角的平面角，建立空间坐标系，将二面角问题转化为向量夹角问题，是解答的关键18. 如图，现要在边长为 100m 的正方形 ABCD 内建一个交通“环岛” .以正方形的四个顶点为圆心在四个角分别建半径为 ?( ?不小于 9) 的扇形花坛，以正方形的中心为圆心建一个半径为12? ?5的圆形草地 .为了保证道路畅通，岛口宽不小于60m，绕岛行驶的路宽均不小于10m(1) 求 x 的取值范围； ( 运算中2 取 1.4)(2)a2，四个花坛的造价为4?2，其余区域的造价为12 ?元/ ?2 ，当 x 取何值时，若中间草地的造价为元/ ?33元/ ?11可使“环岛”的整体造价最低？第9页，共 17页【答案

23、】 解： (1) 由题意可知，? 9100-2? 6012，100 2102- 2?- 25? 9解得， ? 20，- 20 ?1510012又由2- 5? 10，解可得 - 14 ?14，即9 ?14(2) 记“环岛”的整体造价为y 元则由题意得，?= 11 ?(-1 425?+12242?= ?(? )+?+5334324 3?-12 ?) + 12 1012 ? (10 411122-2- ?(?)?)5令?( ?) = -1443225?+3?-12 ?，则 ?(?) = -43224?25 ?+4? -12?+ 6) = - 4?(25 ? -由 ?(?) = 0得，?= 10或 ?

24、= 15x9(9,10)10(10,15)15-0+?( ?)减最小值增当?= 10 时， y 取最小值答：当 ?= 10 ?时，可使“环岛”的整体造价最低【解析】 (1) 根据题目中的不等关系列出关于x 的不等式组，求解即可；(2) 建立“环岛”的整体造价y 与 x 的关系，然后利用导数求出y 取最小值时 x 的取值即可本题主要考查不等关系列不等式，以及导数在函数最值问题中的应用.属于中档题19. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C离心率为，直线l与椭圆C交于AB：，两点 (1) 若 A(0,1) 为椭圆的上顶点，圆： 求椭圆 C 的方程； 设直线与圆交于两点，过点作直线 l 的垂线

25、交椭圆于点，求 面积的最大值；(2) 若直线经过椭圆的右焦点 F ，与 y 轴交于点 P( 异于点 A，B) ，且，() ，求证：为定值第10 页，共 17页【答案】 解： (1) 由题意知解得，所以，椭圆 C 的方程是 由题意知，斜率存在，设直线方程：，则到的距离，故，因为直线的方程为，由联立得，解出或，到的距离，所以.令，则，化简整理得( 当且仅当取等号 )，故 的面积的最大值为(2) 由椭圆的离心率为，得，所以，所以椭圆方程为设直线的方程为，第11 页，共 17页代入椭圆方程，得设，则因为，所以，由，得，所以由，同理可得，所以4所以，为定值 4【解析】 本题重点考查椭圆中的最值和定值问题

26、，根据椭圆的几何性质确定椭圆的方程，从而根据题意设出直线MN 的方程，求出点E 到直线 MN 的距离以及MN 的长，即可表示?的面积，再利用重要不等式求出面积的最大值即可；第二问中把?和 ?都表示出来，结合韦达定理，化简整理，即可求出定值20. 已知函数 ?( ?) =121，其中 ?ln ?+ ?+ 22 ? - 4?+(1) 当 ?= 1时，求函数 ?(?) 在 ?= 1处的切线方程；(2) 记函数 ?( ?)的导函数是 ?(?) ，若不等式 ?(?) 0故 ?(1) =132 -4+2=- 2 ?(?) =?-1 ，4+ ?故?(1) = 1- 4+ 1= - 2，函数函数 ?( ?) 在 ?= 1 处的切线方程为?+ 2 = - 2( ?- 1) ，即 2?+ ?= 0121，可得 ?(?) = ?- 4?+?(2) 由