广东省揭阳市高三上学期学业水平考试理科数学试题 及答

1、绝密启用前揭阳市2014-2015学年度高中三年级学业水平考试数学(理科)本试卷共4页，21小题，满分150分考试用时120分钟注意事项： 1答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上2选择题每小题选出答案后，用2b铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案答案不能答在试卷上3非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液不按以上要求作答的答案无效4考生必须保持答题卡的整洁考试结束后，将试卷和答题

2、卡一并交回参考公式：样本数据的标准差，其中表示样本均值一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设集合，则a. b. c. d. 2设为虚数单位，复数，则的共轭复数为a. b. c. d3已知命题：四边形确定一个平面；命题：两两相交的三条直线确定一个平面则下列命题为真命题的是a b c d4已知数列的前n项和，则的值为a9 b18 c21 d5已知，与的夹角为120，则的值是.a-84 b144 c-48 d-726若变量满足约束条件，且，则的最大值为a18b2c9d7图1是某小区100户居民月用电量（单位：度）的频率分布直方图，记月

3、用电量在 的用户数为a1，用电量在的用户数为a2，以此类推，用电量在的用户数为a6，图2是统计图1中居民月用电量在一定范围内的用户数的一个算法流程图根据图1提供的信息，则图2中输出的s值为a82 b70 c48 d308已知函数的定义域为r，若、都是奇函数，则a. 是奇函数 b. 是偶函数 c. 是偶函数 d.是奇函数二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分（一）必做题（913题）9一几何体的三视图如图3示, 则该几何体的体积为_.10函数的图象与轴相交于点，则曲线在处的切线方程是 11在的二项展开式中，常数项等于 . 12抛物线上到焦点的距离等于6的点的坐标为 13

4、在区域中随机取一点,则满足的概率为 . （二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14. (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，曲线与的交点的极坐标为 15. （几何证明选讲选做题）如图4，锐角三角形abc是一块钢板的余料，边bc=24cm，bc边上的高ad=12cm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在bc上，其余两个顶点分别在ab、ac上，则这个正方形零件的面积为 cm2三解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16（本小题满分12分）在中，内角a，b，c的对边分别为且，已知的面积，.（1）求和的值；（2）求的值17（本小题满分12分）在某次测

5、验中，有6位同学的平均成绩为75分用表示编号为的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：编号12345成绩7076727072（1）求第6位同学的成绩，及这6位同学成绩的标准差；（2）从这6位同学中，随机地选3位，记成绩落在（70，75）的人数为，求的分布列和数学期望18（本小题满分14分）如图5，四棱锥中，底面为矩形，平面，e为pd的中点（1）证明：平面；（2）已知，设ec与平面abcd所成的角为，且，求二面角的大小 图519（本小题满分14分）已知函数，数列满足（1）求的值；（2）求数列的通项公式；（3）证明：20（本小题满分14分）已知双曲线的焦点分别为,且双曲线经过点.（1）求双曲线的方

6、程；（2）设o为坐标原点，若点a在双曲线c上，点b在直线上，且，是否存在以点o为圆心的定圆恒与直线ab相切？若存在，求出该圆的方程，若不存在，请说明理由.21（本小题满分14分）若实数、满足，则称比更接近.（1）若比1更接近0，求的取值范围；（2）对任意两个正数、，试判断与哪一个更接近？并说明理由；（3）当且时，证明：比更接近.揭阳市2014-2015学年度高中三年级学业水平考试数学(理科)参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变

7、该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数四、只给整数分数一、选择题：dacb cbad解析：7由图2知，输出的，由图1知,故s=100-18=82，选a.8由、都是奇函数得，从而有，故有，即是以4为周期的周期函数，因为奇函数，8也是函数的周期，所以也是奇函数.选d.二、填空题：9.；10.；11. ；12.；13.；14.； 15. 64.解析：13.如图，满足的点落在图中阴影部分，根据对称性易得其面积为，故所求概率.或.三、解答题：16解：（1）0

8、-1分由,得-3分由余弦定理得：,-5分由结合，解得.-7分(2)由正弦定理知，-9分，,-10分-11分.-12分17.解：（1）由，-2分解得，-3分这6位同学成绩的标准差：.-6分（2）这6位同学中，成绩落在（70，75）的有编号为3、5两位同学，故的可能取值为：0，1，2 . -7分且，-8分，-9分 ，-10分012的分布列为-11分 的数学期望：.-12分18.解：(1)证明：连结bd交ac于点o，连接eo.abcd为矩形，o为bd的中点-1分又e为pd的中点，eopb. -2分eo平面aec，pb平面aec，pb平面aec-3分（2）过点e作ef/pa交ad于f，连结fc，平面，

9、ef平面,且-4分由得-5分则，-6分解法一：过d作交ae于点q，连结cq，面，面面，-7分又面面， 面-8分面，且面，故-9分是二面角的平面角. -10分,又e为pd的中点，-11分在中，-13分，即二面角的大小为.-14分【解法二：以a为原点，ab、ad、ap所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，-7分则，-8分故，,，-9分由条件可知，为平面ade的一个法向量，-10分设平面aec的一个法向量为，则由，得，取，得，-12分设二面角的大小为，则，即二面角的大小为-14分】19.解：（1）由得由得解得 ，-2分-3分-4分（2）解法一：由且得：，-5分即，-7分 ，-8分数列是以为

10、首项，公比为的等比数列，.-9分【解法二：由，猜想.-6分下面用数学归纳法证明.当n = 1猜想显然成立；假设当n = k（）结论成立，即，则当时，即当猜想成立. -8分综合、可知猜想对都成立. 即-9分】（3）证法一：由得，-11分-12分命题得证.-14分以下其它解法请参照给分。【证法二：.】【证法三：当时，不等式显然成立，当时，令.综上得命题得证.】【证法四：令下面用数学归纳法证明，当时，结论显然成立假设当时，结论成立，即，当时，左边= 所以当时，结论也成立综合、可知对都成立.】20.解:（1）解法一：依题意知双曲线c的焦点在x轴，设其方程为-1分点在双曲线c上， -3分又，所求双曲线c

11、的方程为-4分解法二：依题意知双曲线c的焦点在x轴，设其方程为-1分点在双曲线c上，-又，-代入去分母整理得：，又，解得-3分所求双曲线c的方程为 -4分(2) 设点a，b的坐标分别为，其中或.-5分当时，直线ab的方程为，即-6分若存在以点o为圆心的定圆与ab相切，则点o到直线ab的距离必为定值，设圆心o到直线ab的距离为，则.-7分， ， ，-8分又，故=-11分此时直线ab与圆相切，-12分当时，代入双曲线c的方程并整理得，即，解得，此时直线ab：.也与圆也相切-13分综上得存在定圆与直线ab相切-14分21.解：（1）依题意可得 -1分或的取值范围为-3分（2）解法一：-5分-6分即比更接近；-7分【解法二：对任意两个正数a、b，有，-4分 即-6分比更接近；-7分】（3）令则在区间上单调递减，且