2019-2020学年高中数学苏教版选修2-1作业：第3章3.2.2空间线面关系的判定Word版含解析

1、?d- 3xX= 1基础达标1若直线I的方向向量为a = (1 , 0, 2)，平面a的法向量为U = (-2 , 0, 4)，则I与a 的位置关系为解析：/ u = ( 2, 0, 4) = 2X (1 , 0, 2)= 2a,u II a, !丄a答案：I丄a2平面a的一个法向量为(1 , 2 , 0)，平面B的一个法向量为(2 , 1 , 0)，则平面a和 平面B的位置关系是解析：平面a与平面B的法向量的数量积为(1 , 2 , 0) (2, 1, 0) = 2 2 + 0= 0,所以 两个法向量垂直，故两个平面互相垂直.答案：垂直3设平面a的法向量为(1 , 2, 2)，平面B的法向量

2、为(2,入，4)，若a/ 3,则入等于.21解析：由题意知，向量(1, 2 , 2)与向量(2 ,入4)共线，= 4.答案：44已知直线I的方向向量为U= (2, 0 , 1),平面a的一个法向量为 v = ( 2 , 1, 4), 则I与a的位置关系为 .解析：/ u v = (2, 0, 1) (- 2, 1, 4) = 4+ 4= 0,U 丄 v, /a或 I? a答案：I I a或 I? a5已知直线I的方向向量为v = (1 , 1, 2)，平面a的法向量为n = (2, 4, 1)，且I? a , 则I与a的位置关系是 .解析：因为v n= 2 4 + 2= 0,所以v丄n,又I?

3、 a,所以I /a. 答案：I I a6已知直线I的方向向量 v = (2, 1, 3)，且过点 A(0, y, 3)和B( 1, 2, z)两点，则yz=-1 y 2 3 z3解析：由已知得BA= (1 , y 2, 3 z),依题意BA I,所以；=.所以y=；, z2 一 132=2，得 y-z= 0.答案：07.已知 AB = (1 , 5, 2), BC = (3, 1 , 2), DE = (x , 3 , 6)，若 DE I 平面 ABC，贝V x解析：若DE I平面ABC,则存在实数对 入，使得De = ?AB+ nBC.即 5入+卩=一 3 ,解得 尸2.一 2 入+ 2 尸

4、 6x= 5答案：58.2如图所示，在正方体 ABCD - AiBiCiDi中，E、F分别在AiD、AC上，且AiE = 3A1D , AF = 1AC,则下列命题中正确的是 . EF至多与AiD、AC之一垂直； EF是AiD、AC的公垂线； EF与BDi相交； EF与BDi异面.解析：设AB= I,以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD i所在 直线为z轴建立空间直角坐标系(图略)贝U Ai(i , 0, i), D(0, 0, 0), A(i , 0, 0), C(0, i, 0), E 3, 0, g, F I，3，0 , B(i , i, 0), Di(0, 0, i

5、),所以A = ( i, 0, i), Ac I I、- i - - - - - =(i , I, 0), EF =3，3， 3 ,BDi=( I, i, i), EF = -BDi,AiDEF = AC EF =0,从而 EF / BDi, EF lAiD , EF _1AC.答案：J29已知正方体 ABCD AiBiCiDi中，E, F分别在DB , DQ上，且DE = DiF = a，其 中a为正方体棱长，求证：EF /平面BBiCiC.证明：建立如图所示空间直角坐标系D xyz,则 e(3, 3，0)，f(0,3,鲁),故 EF = ( 3, 0 , 2f),又AB= (0 , a ,

6、 0)显然为平面BBiCiC的一个法向量， 而Abe! = (0, a, 0) (- , 0,鲁)=0, /ABJEF.又EF?平面BBiCiC ,因此EF /平面BBiCiC.i0.CL如图在正方体 ABCD AiBiCiDi中，E为BBi的中点, 点.求证：平面 ADE丄平面AiFG.F为CD的中点，G为AB的中证明:连结DiF ,以D为原点，DA，DC，DDi所在的直线分别为x, y, z轴建立空间直角坐标系D xyz，设正方体棱长为1.fl1 1 10(0, 0, 0), E(1 , 1, 2), A(1 , 0, 0), A1(1, 0, 1), G(1 , 2，0), F(0,0)

7、.1-1-AE = (0 , 1 , q) , A1G = (0 , 2, 1) , GF = ( 1 , 0 , 0).- -1 1 AE A1G = 0 + 2 2 = 0 , AE Gf = 0+ 0+ 0=0.Ae 丄AG Ae jGf ,A1GnGF = G ,AE丄平面A1GF.又AE?平面ADE ,平面ADE丄平面A1GF.能力提升1若直线a与b是两条异面直线，它们的方向向量分别为 v1= (1, 1, 1)和v2= (2 , 3 , 2),又a与b的公垂线的方向向量为v = (x , y , 5),贝U x+ y=.v V1 = x+ y 5= 0解析：由已知得，|v v2=

8、2x 3y + 10= 0所以 x= 1, y= 4,故 x+ y = 5.答案：52已知正方体 ABCD A1B1C1D1中，直线A1B1与平面AD1C的位置关系是 ;A1B与平面 DD1C1C的位置关系是 .解析：A1B1 与平面 AD1C 相交.由 A1B/CD1,又 A1B?平面 DD1C1C, CD1?平面 DD1C1C,A1B /平面DD1C1C.答案：相交平行3已知正方体 ABCD A1B1C1D1中，AA1= 1,求证：平面 A1BD /平面B1D1C.证明：建立如图所示的空间直角坐标系Di xyz,则各点坐标是 Ai(1, 0, 0), Di(O, 0, 0),Bi(1 ,

9、1 , 0), B(1, 1 , 1), D(0, 0, 1), C(0, 1, 1), 所以 a1b = (0 , 1, 1),BD = ( 1, 1 , 0).设平面A1BD的法向量为 n = (x , y , z),n AiB= 0 ,|y+ z= 0 ,则f即$n BD = 0, x y= 0.不妨取 z= 1,则 n = (1, 1, 1).又由 BD1= ( 1, 1 , 0) , dTc= (0 , 1 , 1),知 n B1D1 = 0, n D1C = 0.所以B1D1和D1C都与n垂直.所以n与平面B1D1C垂直，从而得到平面 A1BD /平面B1D1C.4.(创新题)已知

10、正方体 ABCD A1B1C1D1中，E为棱CC1上的动点，(1)求证：A1E 丄 BD ;若平面 A1BD丄平面EBD ,试确定点 E的位置.解：以D为原点，以DA , DC , DD1所在直线为x , y , z轴，建立如图所示的空间直角 坐标系，设正方体棱长为a ,(1)证明：A(a , 0 , 0) , B(a , a , 0) , C(0 , a , 0) , A1(a , 0 , a) , G(0 , a , a). 设 E(0 , a , m),则aTe = ( a , a , m a) , BD = ( a, a , 0),所以 A1E BD = a2 a2 + 0= 0 ,

11、所以 1 1Bd ,即 A1E JBD.法一：设BD的中点为O ,连结OE , OA1 ,则 0点,；,0),所以 OE = ( 2, 2 , m) , BD = ( a, a , 0),因为 BCEDCE ,所以ED = EB ,所以OE丄BD ,又OA1 = (； , ； , a),所以 OA1BD = 0 ,所以 OAiJBD,所以/ AiOE是二面角 Ai BD E的平面角，n因为平面 AiBD丄平面EBD ,所以/ AiOE = 2 , t ta2 a2a所以 OAi OE = 0,即一 /；/+ am= 0, -mr.442故当E为CCi的中点时，能使平面 AiBD丄平面EBD.法二：E为CCi的中点.a证明如下：由E为CCi的中点得E(0, a,-),设BD的中点为O,连结OE, OAi,则O(|, 2, 0),所以 OE= ( 2，2, 2)， BD = (一 a， 一 a, ),则OE BD = 0, OE JBD