九年级数学下册 第29章几何的回顾29.1 几何问题的处理方法（第1课时）课件 华东师大版

1、第29章 几何的回顾 29.1 几何问题的处理方法 (第1课时) 使学生理解推理证明是判断猜想正确与否的重使学生理解推理证明是判断猜想正确与否的重 要手段，明确推理证明所要依据的公理，掌握证明要手段，明确推理证明所要依据的公理，掌握证明 的方法，培养学生的逻辑推理能力的方法，培养学生的逻辑推理能力. . 逻辑推理是研究数学的一逻辑推理是研究数学的一 个重要的基本方法个重要的基本方法. .几何学的几何学的 研究充分运用了这一方法研究充分运用了这一方法. . 这就是中国明代伟大的科学家徐这就是中国明代伟大的科学家徐 光启与他翻译的光启与他翻译的几何原本几何原本. . 哥白尼哥白尼 地球是运动的地球

2、是运动的! ! 缺乏依据缺乏依据, ,无法证明无法证明. . （1 1）通过看一看、画一画、比一比、量一量、算一算、）通过看一看、画一画、比一比、量一量、算一算、 想一想、猜一猜得出结论，并在实验、操作中对结论作出想一想、猜一猜得出结论，并在实验、操作中对结论作出 解释的方法解释的方法. . （2 2）用逻辑推理的方法）用逻辑推理的方法. . 探索几何图形性质常用的两种方法：探索几何图形性质常用的两种方法： 做一张等腰三角形的半透明纸片，每个人的等腰三角形的大小和做一张等腰三角形的半透明纸片，每个人的等腰三角形的大小和 形状可以不一样形状可以不一样. .如图，把纸片对折，让两腰如图，把纸片对折

3、，让两腰ABAB、ACAC重叠在一起，折重叠在一起，折 痕为痕为AD.AD.你能发现什么现象吗？你能发现什么现象吗？ A BC D A BC D 1.1.可以发现折叠的两个部分是互相重合的，所以等腰三角形可以发现折叠的两个部分是互相重合的，所以等腰三角形 是一个轴对称图形，折痕是一个轴对称图形，折痕ADAD所在的直线就是它的对称轴所在的直线就是它的对称轴. . 2.2.由于由于ABAB与与ACAC重合，因此点重合，因此点B B与点与点C C重合，这样线段重合，这样线段BDBD与与CDCD 也重合也重合. .所以所以B=C.B=C. 3.3.等腰三角形的两个底角相等等腰三角形的两个底角相等. .

4、（简写成（简写成“等边对等角等边对等角”） 4.4.这种合情推理的方法是研究几何图形属性的一种基本方法这种合情推理的方法是研究几何图形属性的一种基本方法. . 同时我们也学习了用逻辑推理的方法去探索一些几何图形所同时我们也学习了用逻辑推理的方法去探索一些几何图形所 具有的属性具有的属性. . 等腰三角形是轴对称图形等腰三角形是轴对称图形 B=C, B=C,等腰三角形两个底角相等等腰三角形两个底角相等 BD=CD BD=CD，ADAD为底边上的中线为底边上的中线. . ADB=ADC ADB=ADC ，ADAD为底边上的高线；为底边上的高线； BAD=CAD BAD=CAD，ADAD为顶角的平分

5、线；为顶角的平分线； A BC D ( (简写成简写成“等边对等角等边对等角”) )； 等腰三角形的顶角的平分线、底边上的等腰三角形的顶角的平分线、底边上的 中线、底边上的高互相重合（即等腰三角形三线合一）中线、底边上的高互相重合（即等腰三角形三线合一）. 用逻辑推理的方法去探索一些几何图形所具有的属性用逻辑推理的方法去探索一些几何图形所具有的属性 是研究问题的又一种基本方法是研究问题的又一种基本方法. . 解：解：ABABACAC（已知），（已知）， C CB B 8080（等边对等角），（等边对等角）， A AB BC C180180（三角形的内角和等于（三角形的内角和等于180180），

6、）， AA180180B BC C（等式的性质）（等式的性质） 180180808080802020. . 已知：在已知：在ABCABC中，中，ABABACAC，B B8080. .求求C C和和A A的度数的度数. . 【例题例题】 逻辑推理的方法是研究数学的一个重要的基本方法逻辑推理的方法是研究数学的一个重要的基本方法. . 逻辑推理需要依据逻辑推理需要依据, ,我们试图用最少的几条基本事实我们试图用最少的几条基本事实 作为逻辑推理最原始的依据作为逻辑推理最原始的依据, ,因此在前面的学习中因此在前面的学习中, ,给出了给出了 如下的公理如下的公理: : (1)(1)一条直线截两条平行直线

7、所得的同位角相等一条直线截两条平行直线所得的同位角相等. . (2)(2)两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么 这两条直线这两条直线平行平行. . (3)(3)如果两个三角形的两边及其夹角（或两角及其夹边如果两个三角形的两边及其夹角（或两角及其夹边, ,或或 三边）分三边）分别对应相等，那么这两个三角形全等别对应相等，那么这两个三角形全等. . (4)(4)全等三角形的对应边、对应角分别相等全等三角形的对应边、对应角分别相等. . 等式、不等式的有关性质以及等量代换也是推理的等式、不等式的有关性质以及等量代换也是推理的 依据依据. .也将

8、也将“经过两点有且只有一条直线经过两点有且只有一条直线”以及以及“经过直经过直 线外一点有且只有一条直线与已知直线平行（平行公线外一点有且只有一条直线与已知直线平行（平行公 理）理）”作为添加辅助线的依据作为添加辅助线的依据. . 有了上述推理依据，我们就能用逻辑推理的方法证明有了上述推理依据，我们就能用逻辑推理的方法证明 教材中出现的所有的几何图形的属性教材中出现的所有的几何图形的属性. . AB CD E F 2 4 1 3 平行线的性质平行线的性质 如图如图,AB/CD, ,AB/CD, 同位角同位角1 1与与2 2大小大小 有什么关系？其他同位角大小也有这有什么关系？其他同位角大小也有

9、这 样的关系吗？样的关系吗？ 结论：结论：如果两条如果两条 平行直线被第三平行直线被第三 条直线所截，同位角相等条直线所截，同位角相等. . 平行线的性质平行线的性质 AB C D c 2 1 简记：简记：两直线平行同位角相等两直线平行同位角相等. 如图，若如图，若AB/CD,AB/CD,则则1=2.1=2. 讨论讨论: :在这个特征中在这个特征中, ,条件是什么条件是什么? ?结论是什么结论是什么? ? 它与它与“同同 位角相等位角相等, ,两直线平行两直线平行”有什么不同有什么不同? ? 平行线的性质平行线的性质 如图如图,AB/CD, ,AB/CD, 内错角内错角2 2与与3 3的大的大

10、 小有什么关系？小有什么关系？ 如果两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等如果两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等. . 我们可以猜想得到我们可以猜想得到: : AB CD E F 2 4 1 3 同学们，请你们利用刚学的结论同学们，请你们利用刚学的结论 来证明一下来证明一下 ，好吗？，好吗？ 公理：公理：两直线平行，同位角相等两直线平行，同位角相等. . 猜想：猜想：两直线平行，内错角相等两直线平行，内错角相等. . 证明：证明： a/b ( a/b (已已 知知) )， （两直线平行，同位角相等）（两直线平行，同位角相等）. . 又又 1=21=2 （对顶角相等）（对顶角相等）, ,

11、 2=3 2=3 （等量代换）（等量代换）. . 1=3 1=3 2 4 3 a b c 1 平行线的性质平行线的性质 结论：结论：如果两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等如果两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等. . 简记：简记：两直线平行，内错角相等两直线平行，内错角相等 平行线的性质平行线的性质 如图如图,AB/CD, ,AB/CD, 同旁内角同旁内角2 2与与4 4的大的大 小有什么关系？小有什么关系？ 猜想猜想: : 如果两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角如果两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角 互补互补. . AB CD E F 2 4 1 3 同学们，请你们帮忙证明

12、我的结论吧！同学们，请你们帮忙证明我的结论吧！ 呵呵呵呵 猜想：两直线平行，同旁内角互补猜想：两直线平行，同旁内角互补. . 2 4 3 a b c 1 a/b(a/b(已知已知),), 2=32=3 （两直线平行，内错角相等）（两直线平行，内错角相等）. . 证明：证明： 已证：已证：两直线平行，内错角相等两直线平行，内错角相等. . 又又3+4=1803+4=180 （邻补角的定义）（邻补角的定义）, , 2+4=1802+4=180( (等量代换等量代换).). 公理：公理：两直线平行，同位角相等两直线平行，同位角相等. . 平行线的性质平行线的性质 结论：如果两条平行直线被第三条直线所

13、截，同旁内结论：如果两条平行直线被第三条直线所截，同旁内 角互补角互补. . 简记：简记：两直线平行，同旁内角互补两直线平行，同旁内角互补 平行线的性质平行线的性质 1.1.两直线平行，同位角相等两直线平行，同位角相等. . 2.2.两直线平行，内错角相等两直线平行，内错角相等. . 3.3.两直线平行，同旁内角互补两直线平行，同旁内角互补. . 2 4 3 a b c 1 （若（若a/b a/b ，则，则1=3 1=3 ） （若（若a/b a/b ，则，则2=3 2=3 ） （若（若ab ab ，则，则2+4=1802+4=180） 1 1 2 2 a a b b c c 如图如图, ,三根

14、木条相交成三根木条相交成1 1与与2,2,固定木条固定木条b, cb, c，转动，转动 木条木条a.a.并猜想并猜想: 1: 1与与2 2满足什么条件时满足什么条件时, a/b?, a/b? b b 我们以前是怎样过已知直线我们以前是怎样过已知直线a a外一点外一点p p画画a a的平行线的平行线b b的的? ? c c a a p p 两条直线被第三条直线所截两条直线被第三条直线所截, ,如果同位角相等如果同位角相等, ,那么这两条那么这两条 直线平行直线平行. . 平行线的判定方法平行线的判定方法1:1: 同位角相等同位角相等, ,两直线平行两直线平行. . a a b b c c 3 3

15、 2 2 1 1 如图如图: :如何判断这块玻璃板的上、下两边平行？如何判断这块玻璃板的上、下两边平行？ 解：解：1 =31 =3（已知），（已知）， 又又2=32=3 abab 1=21=2 ( (等量代换等量代换) )， （对顶角相等），（对顶角相等）， ( (同位角相等同位角相等, ,两直线平行两直线平行).). 已知已知1 =31 =3，直线，直线a,ba,b会平行吗？会平行吗？ 【想一想想一想】 两条直线被第三条直线所截两条直线被第三条直线所截, ,如果内错角相等如果内错角相等, ,那么这两条那么这两条 直线平行直线平行. . 平行线的判定方法平行线的判定方法2 2： 内错角相等，两

16、直线平行内错角相等，两直线平行. . 解：解： 两条直线被第三条直线所截两条直线被第三条直线所截, ,如果同旁内角互补如果同旁内角互补, ,那么这两条那么这两条 直线平行直线平行. . 平行线的判定方法平行线的判定方法3 3： 同旁内角互补，两直线平行同旁内角互补，两直线平行. . 1+4=1801+4=180 （已知）（已知）, , （平角的定义）（平角的定义）, , 1=21=2（同角的补角相等）（同角的补角相等）, , a/ba/b（同位角相等，两直线平行）（同位角相等，两直线平行）. . 仿照上例仿照上例, ,如果如果1+4=1801+4=180, ,那么那么abab吗吗? ? 又又2

17、+4=1802+4=180 a a b b c c 1 1 4 4 2 2 【想一想想一想】 D D C C B B A A 证明证明: :A+ABC+C=180A+ABC+C=180 ( (三角形的内角和等于三角形的内角和等于180180),), AAC C180180- - ABCABC（等式的性质）（等式的性质）. . ABC+CBD=180ABC+CBD=180 ( (平角的定义平角的定义),), CBD=180CBD=180-ABC(-ABC(等式的性质等式的性质),), CBDCBDA AC (C (等量代换等量代换).). 由于这里所证明为正确的命题也经常需要用来作为判断由于这里

18、所证明为正确的命题也经常需要用来作为判断 其他命题真假的依据，因此我们把这一真命题也作为定理其他命题真假的依据，因此我们把这一真命题也作为定理. . 例例1.1.求证：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和求证：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. . 已知：如图，已知：如图，CBDCBD是是ABCABC的一个外角的一个外角. . 求证：求证：CBD=A+C.CBD=A+C. 【例题例题】 如图，如图，1 1是是ABCABC的一个外角的一个外角, 1, 1与图中的其他角有什与图中的其他角有什 么关系么关系? ? 能证明你的结论吗能证明你的结论吗? ? 1+4=1801+4=18

19、0; 12;13; 12;13; 1=2+3.1=2+3. 证明证明: :2+3+4=1802+3+4=180( (三角形的内角和等于三角形的内角和等于180180),), 1+4=180 1+4=180 ( (平角的定义平角的定义),), 1= 2+3( 1= 2+3(等量代换等量代换).). 12,13( 12,13(和大于部分和大于部分).). A BCD 1 2 3 4 用文字表述为用文字表述为: : 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. . 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.

20、 . 在这里在这里, ,我们通过三角形内角和定理直接推导出两个我们通过三角形内角和定理直接推导出两个 新定理新定理. .像这样像这样, ,由一个公理或定理直接推出的定理由一个公理或定理直接推出的定理, ,叫做叫做 这个公理或定理的推论这个公理或定理的推论. . 推论可以当作定理使用推论可以当作定理使用. . 三角形内角和定理的推论三角形内角和定理的推论: : 推论推论1:1: 三角形的一个外角三角形的一个外角 等于和它不相邻的两个内角等于和它不相邻的两个内角 的和的和. . 推论推论2:2: 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内 角角. . A

21、BCD 1 2 34 A A C C D D B B E E 例例2.2.已知已知: :如图如图, ,在在ABCABC中中,AD,AD平分外角平分外角EAC,B=C. EAC,B=C. 求证求证:ADBC.:ADBC. DAE= DAE= EAC(EAC(角平分线的定义角平分线的定义),), 2 1 B=C (B=C (已知已知),), B= EAC(B= EAC(等式性质等式性质).). 2 1 AD AD平分平分 EAC(EAC(已知已知),), DAE=B(DAE=B(等量代换等量代换).). ADBC( ADBC(同位角相等同位角相等, ,两直线平行两直线平行).). 证明证明: :

22、EAC=B+C ( EAC=B+C (三角形的一个外角等于和它不相三角形的一个外角等于和它不相 邻的两个内角的和邻的两个内角的和),), 证法证法1 1 A A C C D D B B E E A C D B E DAC=C,DAC=C, BAC+B+C =180BAC+B+C =180 ( (三角形内角和定理 三角形内角和定理),), BAC+B+DAC =180BAC+B+DAC =180 ( (等量代换等量代换).). ADBC(ADBC(同旁内角互补同旁内角互补, ,两直线平行两直线平行).). ( (也可利用也可利用C =DACC =DAC，利用平行线判定方法，利用平行线判定方法2

23、2证明）证明） 证明证明: :由证法由证法1 1可得可得: : 证法证法2 2 例例3.3.已知已知: :如图如图, ,在在ABCABC中中,1,1是它的一个外角是它的一个外角, E, E为边为边ACAC 上一点上一点, ,延长延长BCBC到到D,D,连结连结DE.DE. 求证求证: 12.: 12. 证明证明: :11是是ABCABC的一个外角的一个外角( (已知已知),), 13(13(三角形的一个外角大于任三角形的一个外角大于任 何一个和它不相邻的内角何一个和它不相邻的内角).). 33是是CDECDE的一个外角的一个外角 ( (外角定义外角定义) )， 32(32(三角形的一个外角大于

24、任何三角形的一个外角大于任何 一个和它不相邻的内角一个和它不相邻的内角).). 12(12(不等式的性质不等式的性质).). A A D D C C B BF F 1 1 3 3 4 4 5 5 E E 2 2 例例4.4.已知已知: :如图所示如图所示, ,在在ABCABC中中, ,外角外角DCA=100DCA=100, , A=45A=45. .求求BB和和ACBACB的大小的大小. . 解解: :DCADCA是是ABCABC的一个外角的一个外角( (已知已知),), DCA=100 DCA=100( (已知已知),), B=100 B=100-45-45=55=55( (三角形的一个外角

25、等于和它三角形的一个外角等于和它 不相邻的两个内角的和不相邻的两个内角的和).). 又又DCA+ACB=180DCA+ACB=180( (平角定义平角定义),), ACB=80 ACB=80( (等式的性质等式的性质).). A=45 A=45( (已知已知),), A B CD 例例5.5.已知已知: :国旗上的正五角星如图所示国旗上的正五角星如图所示. . 求求:A+B+C+D+E:A+B+C+D+E的度数的度数. . 分析分析:设法利用外角把这五个角设法利用外角把这五个角“凑凑”到一个三角形中，到一个三角形中， 运用三角形内角和定理来求解运用三角形内角和定理来求解. A B C D E

26、解解: :如图，如图，1 1是是BDFBDF的一个外角的一个外角 ( (外角的定义外角的定义),), 1=B+D( 1=B+D(三角形的一个外角等三角形的一个外角等 于和它不相邻的两个内角的和于和它不相邻的两个内角的和).). 2=C+E(2=C+E(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内 角的和角的和).). 又又A+1+2=180A+1+2=180( (三角形内角和定理三角形内角和定理) )， 又又2 2是是EHCEHC的一个外角的一个外角( (外角的定义外角的定义),), A+B+C+D+E =180A+B+C+D+E =180( (等式性质等式性质

27、).). A B C D E F2 H 1 1.1.（十堰（十堰中考）如图，直线中考）如图，直线l1 1l2 2，且被直线，且被直线l3 3所截，所截， 1=2=351=2=35，P=90P=90，则，则3=3= . . 【答案答案】5555 l1 l2 l3 3 1 2P 2.2.（贵阳（贵阳中考中考）如图，河岸）如图，河岸ADAD，BCBC互相平行，桥互相平行，桥ABAB 垂直于两岸，从垂直于两岸，从C C处看桥的两端处看桥的两端A A，B B，夹角，夹角BCA=60BCA=60， 测得测得BC=7mBC=7m，则桥长，则桥长AB=AB= m.m.（结果精确到（结果精确到1m1m） 【答案答案】1212 3.3.（河北（河北中考中考）如图，）如图， 在在ABCABC中，中，D D是是BCBC延长延长 线上一点，线上一点，B=40B=40， ACD=120ACD=120，则，则A A 等于（等于（ ） A B C D 40 120 A A6060 B B7070 C C8080 D D9090 【答案答案】C C 图图a a O O 图图b b 4.4.（玉溪（玉溪中考中考）平面内的两条直线有相交和平行两种位置）平面内的两条直线有相交和平行两种位置 关系关系. . （1 1）如图）如图a a，若，若ABCDABCD，点，点P P在在ABAB，CDCD外部，则有外部